登录
1. 如图，在$△ ABC$中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列线段中，最短的是（
A. AB；
B. AD；
C. AE；
D. AF.
B
）A. AB；
B. AD；
C. AE；
D. AF.
答案
1. B.
解析
【分析】
解题时首先明确各线段的定义：AD是三角形的高，说明AD垂直于BC，是点A到直线BC的垂线段；AB、AE、AF都是连接点A与BC上点的斜线段。再结合“垂线段最短”的性质，即可判断出最短的线段。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，即AD是点A到直线BC的垂线段。
根据“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”的性质可知，点A到BC上各点的线段中，AD的长度最短。
AB、AE、AF均为点A到直线BC上点的斜线段，长度都大于AD，因此最短的线段是AD。
【答案】
B
【知识点】
1. 垂线段最短
2. 三角形的高、中线与角平分线
【点评】
本题是基础考查题，重点考查垂线段最短的性质，只要明确三角形的高是对应边上的垂线段，结合性质即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确各线段的定义：AD是三角形的高，说明AD垂直于BC，是点A到直线BC的垂线段；AB、AE、AF都是连接点A与BC上点的斜线段。再结合“垂线段最短”的性质，即可判断出最短的线段。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，即AD是点A到直线BC的垂线段。
根据“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”的性质可知，点A到BC上各点的线段中，AD的长度最短。
AB、AE、AF均为点A到直线BC上点的斜线段，长度都大于AD，因此最短的线段是AD。
【答案】
B
【知识点】
1. 垂线段最短
2. 三角形的高、中线与角平分线
【点评】
本题是基础考查题，重点考查垂线段最短的性质，只要明确三角形的高是对应边上的垂线段，结合性质即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
2. 如图，有一个居民点A和一条公路. 如果从居民点A修一条人行道与公路相连，应如何修建才能使这条人行道的长度最短呢？请在图中画出这条最短的人行道.
答案
2. 因为“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，所以只要作点A到公路的垂线段即可，如图所示。
解析
【分析】
我们可以先将公路抽象为一条直线，居民点A看作这条直线外的一点，题目要求修建最短的人行道，本质就是求直线外一点到这条直线的最短连接线段。根据已学的线段性质，直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短，因此只需要过点A向公路所在直线作垂线段，该垂线段就是长度最短的人行道。
【解析】
首先把公路看作一条直线，点A是该直线外的点，根据“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”的性质，使用三角尺或量角器过点A向公路所在的直线作垂线，点A到垂足之间的线段即为最短的人行道，按要求画出该线段即可。
【答案】
因为“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，所以只要作点A到公路的垂线段即可，如图所示。
【知识点】
垂线段最短；垂线的画法
【点评】
这是几何性质在实际生活中的基础应用题，解题关键是将实际问题转化为点到直线的距离的数学模型，掌握垂线段的性质就能快速解题。
【难度系数】
0.9
我们可以先将公路抽象为一条直线，居民点A看作这条直线外的一点，题目要求修建最短的人行道，本质就是求直线外一点到这条直线的最短连接线段。根据已学的线段性质，直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短，因此只需要过点A向公路所在直线作垂线段，该垂线段就是长度最短的人行道。
【解析】
首先把公路看作一条直线，点A是该直线外的点，根据“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”的性质，使用三角尺或量角器过点A向公路所在的直线作垂线，点A到垂足之间的线段即为最短的人行道，按要求画出该线段即可。
【答案】
因为“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，所以只要作点A到公路的垂线段即可，如图所示。
【知识点】
垂线段最短；垂线的画法
【点评】
这是几何性质在实际生活中的基础应用题，解题关键是将实际问题转化为点到直线的距离的数学模型，掌握垂线段的性质就能快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ C=90°$，$AB=c$，$AC=b$，$BC=a$.
（1）已知 $a=5$，$c=13$，求 $b$；
（2）已知 $a=\dfrac{3}{2}$，$b=2$，求 $c$；
（3）已知 $b=40$，$c=41$，求 $a$.
（1）已知 $a=5$，$c=13$，求 $b$；
（2）已知 $a=\dfrac{3}{2}$，$b=2$，求 $c$；
（3）已知 $b=40$，$c=41$，求 $a$.
答案
3. (1) $b=12$.
(2) $c=\dfrac{5}{2}$.
(3) $a=9$.
(2) $c=\dfrac{5}{2}$.
(3) $a=9$.
解析
【分析】
本题是直角三角形已知两边求第三边的基础题型，核心依据是勾股定理。首先明确Rt△ABC中∠C=90°，因此斜边为AB=c，两条直角边为BC=a、AC=b，勾股定理公式为$a^2+b^2=c^2$。解题时可根据已知条件对公式变形：求斜边时直接计算两直角边平方和再开方，求直角边时用斜边平方减去已知直角边的平方再开方，注意边长为正数，开方后仅取正根即可。
【解析】
（1）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得$a^2+b^2=c^2$。
将$a=5$，$c=13$代入得：$5^2+b^2=13^2$，
计算得：$25+b^2=169$，
移项得：$b^2=169-25=144$，
因为边长为正数，所以$b=\sqrt{144}=12$。
（2）由勾股定理得$a^2+b^2=c^2$，
将$a=\dfrac{3}{2}$，$b=2$代入得：$(\dfrac{3}{2})^2+2^2=c^2$，
计算得：$\dfrac{9}{4}+4=c^2$，即$c^2=\dfrac{25}{4}$，
因为边长为正数，所以$c=\sqrt{\dfrac{25}{4}}=\dfrac{5}{2}$。
（3）由勾股定理得$a^2+b^2=c^2$，
将$b=40$，$c=41$代入得：$a^2+40^2=41^2$，
计算得：$a^2+1600=1681$，
移项得：$a^2=1681-1600=81$，
因为边长为正数，所以$a=\sqrt{81}=9$。
【答案】
(1) $b=12$；(2) $c=\dfrac{5}{2}$；(3) $a=9$
【知识点】
1. 勾股定理 2. 开平方运算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用类题目，主要考察对勾股定理公式及变形的掌握程度，解题时注意区分直角边和斜边，计算时仔细即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
本题是直角三角形已知两边求第三边的基础题型，核心依据是勾股定理。首先明确Rt△ABC中∠C=90°，因此斜边为AB=c，两条直角边为BC=a、AC=b，勾股定理公式为$a^2+b^2=c^2$。解题时可根据已知条件对公式变形：求斜边时直接计算两直角边平方和再开方，求直角边时用斜边平方减去已知直角边的平方再开方，注意边长为正数，开方后仅取正根即可。
【解析】
（1）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得$a^2+b^2=c^2$。
将$a=5$，$c=13$代入得：$5^2+b^2=13^2$，
计算得：$25+b^2=169$，
移项得：$b^2=169-25=144$，
因为边长为正数，所以$b=\sqrt{144}=12$。
（2）由勾股定理得$a^2+b^2=c^2$，
将$a=\dfrac{3}{2}$，$b=2$代入得：$(\dfrac{3}{2})^2+2^2=c^2$，
计算得：$\dfrac{9}{4}+4=c^2$，即$c^2=\dfrac{25}{4}$，
因为边长为正数，所以$c=\sqrt{\dfrac{25}{4}}=\dfrac{5}{2}$。
（3）由勾股定理得$a^2+b^2=c^2$，
将$b=40$，$c=41$代入得：$a^2+40^2=41^2$，
计算得：$a^2+1600=1681$，
移项得：$a^2=1681-1600=81$，
因为边长为正数，所以$a=\sqrt{81}=9$。
【答案】
(1) $b=12$；(2) $c=\dfrac{5}{2}$；(3) $a=9$
【知识点】
1. 勾股定理 2. 开平方运算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用类题目，主要考察对勾股定理公式及变形的掌握程度，解题时注意区分直角边和斜边，计算时仔细即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
