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4. 如图，已知：在△ABC中，∠B=90°，D是边AB的中点，点E、F分别在边BC、AC上，且EF=EC，DF=DA. 求证：点D在∠BEF的平分线上.
答案
4. 提示：先证明∠DFE=90°，再推出DF=DB.
解析
【分析】
要证明点D在∠BEF的平分线上，根据角平分线的判定定理，需证明点D到∠BEF两边的距离相等。首先观察到∠B=90°，即DB⊥BE，因此只需证明DF⊥EF且DF=DB即可。第一步，利用等腰三角形等边对等角的性质，结合直角三角形两锐角互余，推导∠DFE的度数；第二步，结合中点的性质，证明DF与DB相等，最后用角平分线判定定理得出结论。
【解析】
证明：
∵ 在△ABC中，∠B=90°，
∴ ∠A + ∠C = 90°，
∵ DF=DA，
∴ ∠A=∠DFA（等边对等角），
∵ EF=EC，
∴ ∠C=∠EFC（等边对等角），
∴ ∠DFA + ∠EFC = ∠A + ∠C = 90°，
又
∵ ∠DFA + ∠EFC + ∠DFE = 180°（平角的定义），
∴ ∠DFE = 180° - 90° = 90°，即DF⊥EF，
∵ ∠B=90°，
∴ DB⊥BE，
∵ D是AB的中点，
∴ DA=DB，
又
∵ DF=DA，
∴ DF=DB，
∵ 点D在∠BEF的内部，且DF⊥EF、DB⊥BE，DF=DB，
∴ 点D在∠BEF的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
【答案】
点D在∠BEF的平分线上，得证。
【知识点】
角平分线的判定；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题的核心是明确角平分线的判定条件，结合等腰三角形、直角三角形的相关性质推导得出所需的垂直关系和线段相等关系，能够很好地考察学生对基础定理的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
要证明点D在∠BEF的平分线上，根据角平分线的判定定理，需证明点D到∠BEF两边的距离相等。首先观察到∠B=90°，即DB⊥BE，因此只需证明DF⊥EF且DF=DB即可。第一步，利用等腰三角形等边对等角的性质，结合直角三角形两锐角互余，推导∠DFE的度数；第二步，结合中点的性质，证明DF与DB相等，最后用角平分线判定定理得出结论。
【解析】
证明：
∵ 在△ABC中，∠B=90°，
∴ ∠A + ∠C = 90°，
∵ DF=DA，
∴ ∠A=∠DFA（等边对等角），
∵ EF=EC，
∴ ∠C=∠EFC（等边对等角），
∴ ∠DFA + ∠EFC = ∠A + ∠C = 90°，
又
∵ ∠DFA + ∠EFC + ∠DFE = 180°（平角的定义），
∴ ∠DFE = 180° - 90° = 90°，即DF⊥EF，
∵ ∠B=90°，
∴ DB⊥BE，
∵ D是AB的中点，
∴ DA=DB，
又
∵ DF=DA，
∴ DF=DB，
∵ 点D在∠BEF的内部，且DF⊥EF、DB⊥BE，DF=DB，
∴ 点D在∠BEF的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
【答案】
点D在∠BEF的平分线上，得证。
【知识点】
角平分线的判定；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题的核心是明确角平分线的判定条件，结合等腰三角形、直角三角形的相关性质推导得出所需的垂直关系和线段相等关系，能够很好地考察学生对基础定理的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B=60°$，AD、CE是$△ ABC$的角平分线，AD、CE相交于点F.
（1）当$△ ABC$是等边三角形时，求证：$FE=FD$；
（2）当$AB≠BC$时，$FE=FD$是否还成立？
拓展与思考
（1）当$△ ABC$是等边三角形时，求证：$FE=FD$；
（2）当$AB≠BC$时，$FE=FD$是否还成立？
拓展与思考
答案
5. (1) 连接BF. 由题意，可知F是△ABC的内心，BF是△ABC的角平分线. 因为△ABC是等边三角形，所以可以推出AD⊥BC，CE⊥AB. 根据角平分线的性质定理，可得FE=FD.
(2) 仍然成立. 提示：当AB≠BC时，∠BAC≠∠BCA，如图
，过点F作FG⊥AB，FH⊥BC，垂足分别为G、H，则∠FGE=∠FHD=90°. 根据角平分线的性质，得到F是△ABC的内心，进而得到FG=FH. 由已知条件、“三角形的内角和等于180°”以及三角形的外角的性质，可推得∠AFE=60°，进一步可推得∠GEF=∠HDF，从而可证△EFG≌△DFH，得到FE=FD.解析
【分析】
（1）针对等边三角形的特殊情况，首先明确等边三角形的角平分线同时是对边上的高，AD、CE的交点F是△ABC的内心，因此BF平分∠ABC，再结合角平分线上的点到角两边距离相等的性质，即可直接证明FE=FD。
（2）针对AB≠BC的一般情况，无法直接利用等边三角形的特殊性，因此构造全等三角形证明线段相等：过F作AB、BC的垂线段FG、FH，由角平分线性质可得FG=FH；再结合∠B=60°，利用三角形内角和、角的和差关系推导得到△EFG和△DFH的对应角相等，证明两三角形全等即可得到FE=FD。
【解析】
（1）证明：连接BF。
∵△ABC是等边三角形，AD、CE是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，CE⊥AB，F是△ABC的内心，即BF为∠ABC的角平分线。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，F到AB边的距离为FE，到BC边的距离为FD，
∴FE=FD。
（2）FE=FD仍然成立，证明如下：
过点F作FG⊥AB于G，FH⊥BC于H，
∴∠FGE=∠FHD=90°。
∵AD、CE是△ABC的角平分线，交点为F，
∴F是△ABC的内心，即F在∠ABC的角平分线上，由角平分线性质得FG=FH。
在△ABC中，∠B=60°，
∴∠BAC+∠BCA=120°，
∵AD平分∠BAC，CE平分∠BCA，
∴∠FAC+∠FCA=$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠BCA)=60°，
∴∠AFC=120°，即∠EFD=120°。
在四边形BGFH中，∠B=60°，∠FGB=∠FHB=90°，
∴∠GFH=360°-90°-90°-60°=120°，
∴∠EFG=∠DFH。
在△EFG和△DFH中：
$\{\begin{array}{l}∠FGE=∠FHD \\FG=FH \\∠EFG=∠DFH\end{array} $
∴△EFG≌△DFH（ASA），
∴FE=FD。
【答案】
(1) 连接BF. 由题意，可知F是△ABC的内心，BF是△ABC的角平分线. 因为△ABC是等边三角形，所以可以推出AD⊥BC，CE⊥AB. 根据角平分线的性质定理，可得FE=FD.
(2) 仍然成立. 提示：当AB≠BC时，∠BAC≠∠BCA，如图，过点F作FG⊥AB，FH⊥BC，垂足分别为G、H，则∠FGE=∠FHD=90°. 根据角平分线的性质，得到F是△ABC的内心，进而得到FG=FH. 由已知条件、“三角形的内角和等于180°”以及三角形的外角的性质，可推得∠AFE=60°，进一步可推得∠GEF=∠HDF，从而可证△EFG≌△DFH，得到FE=FD.
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质
【点评】
本题从等边三角形的特殊情况推广到一般三角形，体现了从特殊到一般的数学思想，解题的核心是合理构造垂线作为辅助线，结合角平分线性质和全等三角形判定证明线段相等，能够有效训练几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
（1）针对等边三角形的特殊情况，首先明确等边三角形的角平分线同时是对边上的高，AD、CE的交点F是△ABC的内心，因此BF平分∠ABC，再结合角平分线上的点到角两边距离相等的性质，即可直接证明FE=FD。
（2）针对AB≠BC的一般情况，无法直接利用等边三角形的特殊性，因此构造全等三角形证明线段相等：过F作AB、BC的垂线段FG、FH，由角平分线性质可得FG=FH；再结合∠B=60°，利用三角形内角和、角的和差关系推导得到△EFG和△DFH的对应角相等，证明两三角形全等即可得到FE=FD。
【解析】
（1）证明：连接BF。
∵△ABC是等边三角形，AD、CE是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，CE⊥AB，F是△ABC的内心，即BF为∠ABC的角平分线。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，F到AB边的距离为FE，到BC边的距离为FD，
∴FE=FD。
（2）FE=FD仍然成立，证明如下：
过点F作FG⊥AB于G，FH⊥BC于H，
∴∠FGE=∠FHD=90°。
∵AD、CE是△ABC的角平分线，交点为F，
∴F是△ABC的内心，即F在∠ABC的角平分线上，由角平分线性质得FG=FH。
在△ABC中，∠B=60°，
∴∠BAC+∠BCA=120°，
∵AD平分∠BAC，CE平分∠BCA，
∴∠FAC+∠FCA=$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠BCA)=60°，
∴∠AFC=120°，即∠EFD=120°。
在四边形BGFH中，∠B=60°，∠FGB=∠FHB=90°，
∴∠GFH=360°-90°-90°-60°=120°，
∴∠EFG=∠DFH。
在△EFG和△DFH中：
$\{\begin{array}{l}∠FGE=∠FHD \\FG=FH \\∠EFG=∠DFH\end{array} $
∴△EFG≌△DFH（ASA），
∴FE=FD。
【答案】
(1) 连接BF. 由题意，可知F是△ABC的内心，BF是△ABC的角平分线. 因为△ABC是等边三角形，所以可以推出AD⊥BC，CE⊥AB. 根据角平分线的性质定理，可得FE=FD.
(2) 仍然成立. 提示：当AB≠BC时，∠BAC≠∠BCA，如图
，过点F作FG⊥AB，FH⊥BC，垂足分别为G、H，则∠FGE=∠FHD=90°. 根据角平分线的性质，得到F是△ABC的内心，进而得到FG=FH. 由已知条件、“三角形的内角和等于180°”以及三角形的外角的性质，可推得∠AFE=60°，进一步可推得∠GEF=∠HDF，从而可证△EFG≌△DFH，得到FE=FD.【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质
【点评】
本题从等边三角形的特殊情况推广到一般三角形，体现了从特殊到一般的数学思想，解题的核心是合理构造垂线作为辅助线，结合角平分线性质和全等三角形判定证明线段相等，能够有效训练几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
