登录
1.在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度$y$(单位:m)与飞行时间$x$(单位:s)之间的关系式为$y=-\frac{1}{5}x^2 +10x$。一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为()
A.10 s
B.25 s
C.50 s
D.100 s
A.10 s
B.25 s
C.50 s
D.100 s
答案
C
解析
【分析】
要解答本题，首先明确炮弹落地时的飞行高度为0，因此只需将y=0代入给出的二次函数关系式，得到关于x的一元二次方程，求解方程后，舍去代表发射初始时刻的x=0的解，剩余的正解即为炮弹从发射到落地经过的时间。
【解析】
炮弹落地时飞行高度y=0，将y=0代入$y=-\frac{1}{5}x^2 +10x$得：
$-\frac{1}{5}x^2 +10x=0$
方程两边同乘-5，整理得：
$x^2 -50x=0$
因式分解得：
$x(x-50)=0$
解得$x_1=0$，$x_2=50$。
其中x=0对应炮弹发射的初始时刻，不符合落地的题意，故舍去，因此炮弹从发射到落地经过的时间为50s。
【答案】
C
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数与一元二次方程的联系，解题关键是准确把握“落地”对应函数值y=0的特征，求出方程的解后要结合实际意义舍去不符合要求的根，避免错选。
【难度系数】
0.8
要解答本题，首先明确炮弹落地时的飞行高度为0，因此只需将y=0代入给出的二次函数关系式，得到关于x的一元二次方程，求解方程后，舍去代表发射初始时刻的x=0的解，剩余的正解即为炮弹从发射到落地经过的时间。
【解析】
炮弹落地时飞行高度y=0，将y=0代入$y=-\frac{1}{5}x^2 +10x$得：
$-\frac{1}{5}x^2 +10x=0$
方程两边同乘-5，整理得：
$x^2 -50x=0$
因式分解得：
$x(x-50)=0$
解得$x_1=0$，$x_2=50$。
其中x=0对应炮弹发射的初始时刻，不符合落地的题意，故舍去，因此炮弹从发射到落地经过的时间为50s。
【答案】
C
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数与一元二次方程的联系，解题关键是准确把握“落地”对应函数值y=0的特征，求出方程的解后要结合实际意义舍去不符合要求的根，避免错选。
【难度系数】
0.8
2.若抛物线$y=x^2 -4x -a$与x轴没有交点，则a的取值范围是。
答案
解：
∵ 抛物线$y=x^2 -4x -a$与x轴没有交点，
∴ 对应的一元二次方程$x^2 -4x -a=0$没有实数根，
∴ 判别式$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(-a) ＜ 0$，
即$16 + 4a ＜ 0$，
解得$a ＜ -4$。
∵ 抛物线$y=x^2 -4x -a$与x轴没有交点，
∴ 对应的一元二次方程$x^2 -4x -a=0$没有实数根，
∴ 判别式$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(-a) ＜ 0$，
即$16 + 4a ＜ 0$，
解得$a ＜ -4$。
解析
【分析】
要解决抛物线与x轴无交点时参数a的取值范围问题，首先要明确二次函数与x轴交点个数和对应一元二次方程根的关系：抛物线与x轴没有交点，等价于对应的一元二次方程没有实数根，此时方程的判别式Δ＜0。接下来先写出二次函数对应的一元二次方程，代入判别式公式列出关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围，计算时要注意各项系数的符号不能出错。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=x^2 -4x -a$与x轴没有交点，
∴ 对应的一元二次方程$x^2 -4x -a=0$没有实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2-4ac ＜ 0$，其中二次项系数为1，一次项系数为-4，常数项为$-a$，
代入得：$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(-a) ＜ 0$，
即$16 + 4a ＜ 0$，
移项化简得$4a ＜ -16$，
解得$a ＜ -4$。
【答案】
$a ＜ -4$
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，核心考点是二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的对应关系，解题时要格外注意代入判别式时常数项的符号，避免因符号计算错误失分。
【难度系数】
0.8
要解决抛物线与x轴无交点时参数a的取值范围问题，首先要明确二次函数与x轴交点个数和对应一元二次方程根的关系：抛物线与x轴没有交点，等价于对应的一元二次方程没有实数根，此时方程的判别式Δ＜0。接下来先写出二次函数对应的一元二次方程，代入判别式公式列出关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围，计算时要注意各项系数的符号不能出错。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=x^2 -4x -a$与x轴没有交点，
∴ 对应的一元二次方程$x^2 -4x -a=0$没有实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2-4ac ＜ 0$，其中二次项系数为1，一次项系数为-4，常数项为$-a$，
代入得：$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(-a) ＜ 0$，
即$16 + 4a ＜ 0$，
移项化简得$4a ＜ -16$，
解得$a ＜ -4$。
【答案】
$a ＜ -4$
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，核心考点是二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的对应关系，解题时要格外注意代入判别式时常数项的符号，避免因符号计算错误失分。
【难度系数】
0.8
3.已知抛物线$y=-x^2+bx+c$的部分图象如图所示，则关于$x$的一元二次方程$-x^2+bx+c=0$的解为 。
答案
解：
由题图可得抛物线$y=-x^2+bx+c$的对称轴为直线$x=-1$，且抛物线与$x$轴的一个交点坐标为$(1,0)$。
根据二次函数图象的对称性，该交点关于对称轴$x=-1$的对称点的横坐标为$2×(-1)-1=-3$，即抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为$(-3,0)$。
一元二次方程$-x^2+bx+c=0$的解就是抛物线$y=-x^2+bx+c$与$x$轴交点的横坐标，因此方程的解为$x_1=1$，$x_2=-3$。
由题图可得抛物线$y=-x^2+bx+c$的对称轴为直线$x=-1$，且抛物线与$x$轴的一个交点坐标为$(1,0)$。
根据二次函数图象的对称性，该交点关于对称轴$x=-1$的对称点的横坐标为$2×(-1)-1=-3$，即抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为$(-3,0)$。
一元二次方程$-x^2+bx+c=0$的解就是抛物线$y=-x^2+bx+c$与$x$轴交点的横坐标，因此方程的解为$x_1=1$，$x_2=-3$。
解析
【分析】
要解一元二次方程$-x^2+bx+c=0$的解，首先要明确该方程的解对应抛物线$y=-x^2+bx+c$与x轴交点的横坐标。首先从图象中读取已知信息：抛物线的对称轴为直线$x=-1$，且抛物线与x轴的一个交点为$(1,0)$。再根据二次函数图象的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，即可求出另一个交点的横坐标，最终得到方程的两个解。
【解析】
由图象可得抛物线$y=-x^2+bx+c$的对称轴为直线$x=-1$，且抛物线与x轴的一个交点坐标为$(1,0)$。
根据二次函数图象的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴$x=-1$对称，因此另一个交点的横坐标为$2×(-1)-1=-3$，即抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(-3,0)$。
因为一元二次方程$-x^2+bx+c=0$的解就是抛物线$y=-x^2+bx+c$与x轴交点的横坐标，因此方程的解为$x_1=1$，$x_2=-3$。
【答案】
$x_1=1$，$x_2=-3$
【知识点】
1. 二次函数的对称性 2. 二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题解题的核心是掌握二次函数图象与对应一元二次方程的关系，结合抛物线的对称性即可快速求解，属于基础题型，需熟练运用二次函数的图象性质。
【难度系数】
0.8
要解一元二次方程$-x^2+bx+c=0$的解，首先要明确该方程的解对应抛物线$y=-x^2+bx+c$与x轴交点的横坐标。首先从图象中读取已知信息：抛物线的对称轴为直线$x=-1$，且抛物线与x轴的一个交点为$(1,0)$。再根据二次函数图象的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，即可求出另一个交点的横坐标，最终得到方程的两个解。
【解析】
由图象可得抛物线$y=-x^2+bx+c$的对称轴为直线$x=-1$，且抛物线与x轴的一个交点坐标为$(1,0)$。
根据二次函数图象的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴$x=-1$对称，因此另一个交点的横坐标为$2×(-1)-1=-3$，即抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(-3,0)$。
因为一元二次方程$-x^2+bx+c=0$的解就是抛物线$y=-x^2+bx+c$与x轴交点的横坐标，因此方程的解为$x_1=1$，$x_2=-3$。
【答案】
$x_1=1$，$x_2=-3$
【知识点】
1. 二次函数的对称性 2. 二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题解题的核心是掌握二次函数图象与对应一元二次方程的关系，结合抛物线的对称性即可快速求解，属于基础题型，需熟练运用二次函数的图象性质。
【难度系数】
0.8
4.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的一边AB在x轴上,顶点B在x轴正半轴上。若抛物线$y=x^2 + x -6$经过点A,B,则点C的坐标为。
答案
解：
令$y=0$，即$x^2 + x -6=0$，
因式分解得$(x+3)(x-2)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=2$。
结合图像得点A坐标为$(-3,0)$，点B坐标为$(2,0)$，
则$AB=2 - (-3)=5$。
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AD=AB=CD=5$，且$CD// AB$。
设点D坐标为$(0,m)$，$m＞0$，在$Rt△ AOD$中，$OA=3$，$AD=5$，
由勾股定理得$OD=\sqrt{AD^2 - OA^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$，
即$D(0,4)$。
∵$CD// AB$，$CD=5$，
∴点C的横坐标为$0+5=5$，纵坐标与点D相等为4，
即点C的坐标为$(5,4)$。
令$y=0$，即$x^2 + x -6=0$，
因式分解得$(x+3)(x-2)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=2$。
结合图像得点A坐标为$(-3,0)$，点B坐标为$(2,0)$，
则$AB=2 - (-3)=5$。
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AD=AB=CD=5$，且$CD// AB$。
设点D坐标为$(0,m)$，$m＞0$，在$Rt△ AOD$中，$OA=3$，$AD=5$，
由勾股定理得$OD=\sqrt{AD^2 - OA^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$，
即$D(0,4)$。
∵$CD// AB$，$CD=5$，
∴点C的横坐标为$0+5=5$，纵坐标与点D相等为4，
即点C的坐标为$(5,4)$。
解析
【分析】
要得到点C的坐标，我们可以按以下思路推导：首先，AB是抛物线与x轴的交点，令抛物线解析式中y=0，解一元二次方程即可得到A、B两点的坐标，算出菱形的边长AB；其次，D点在y轴上，菱形边长AD等于AB，可在Rt△AOD中用勾股定理求出OD的长度，得到D点坐标；最后根据菱形对边平行且相等的性质，CD平行于x轴、长度等于AB，即可推出C点的坐标。
【解析】
令$y=0$，即$x^2 + x -6=0$，
因式分解得$(x+3)(x-2)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=2$。
结合图像得点A坐标为$(-3,0)$，点B坐标为$(2,0)$，
则$AB=2 - (-3)=5$。
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AD=AB=CD=5$，且$CD// AB$。
由图可知点D在y轴上，设点D坐标为$(0,m)$，$m＞0$，在$Rt△ AOD$中，$OA=3$，$AD=5$，
由勾股定理得$OD=\sqrt{AD^2 - OA^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$，
即$D(0,4)$。
∵$CD// AB$，$CD=5$，
∴点C的横坐标为$0+5=5$，纵坐标与点D相等为4，
即点C的坐标为$(5,4)$。
【答案】
$(5,4)$
【知识点】
二次函数与坐标轴交点、菱形的性质、勾股定理
【点评】
本题是二次函数与几何图形结合的基础综合题，解题核心是先通过二次函数解析式确定A、B坐标得到菱形边长，再结合菱形性质和勾股定理求出D点坐标，最终推导得到C点坐标，注重对基础知识综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
要得到点C的坐标，我们可以按以下思路推导：首先，AB是抛物线与x轴的交点，令抛物线解析式中y=0，解一元二次方程即可得到A、B两点的坐标，算出菱形的边长AB；其次，D点在y轴上，菱形边长AD等于AB，可在Rt△AOD中用勾股定理求出OD的长度，得到D点坐标；最后根据菱形对边平行且相等的性质，CD平行于x轴、长度等于AB，即可推出C点的坐标。
【解析】
令$y=0$，即$x^2 + x -6=0$，
因式分解得$(x+3)(x-2)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=2$。
结合图像得点A坐标为$(-3,0)$，点B坐标为$(2,0)$，
则$AB=2 - (-3)=5$。
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AD=AB=CD=5$，且$CD// AB$。
由图可知点D在y轴上，设点D坐标为$(0,m)$，$m＞0$，在$Rt△ AOD$中，$OA=3$，$AD=5$，
由勾股定理得$OD=\sqrt{AD^2 - OA^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$，
即$D(0,4)$。
∵$CD// AB$，$CD=5$，
∴点C的横坐标为$0+5=5$，纵坐标与点D相等为4，
即点C的坐标为$(5,4)$。
【答案】
$(5,4)$
【知识点】
二次函数与坐标轴交点、菱形的性质、勾股定理
【点评】
本题是二次函数与几何图形结合的基础综合题，解题核心是先通过二次函数解析式确定A、B坐标得到菱形边长，再结合菱形性质和勾股定理求出D点坐标，最终推导得到C点坐标，注重对基础知识综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
5.如图,已知抛物线 $ y=-x^2+mx+3 $ 经过点 $ M(-2,3) $。
(1)求 $ m $ 的值。
(2)求此抛物线的顶点坐标及与 $ x $ 轴的两个交点坐标。
(1)求 $ m $ 的值。
(2)求此抛物线的顶点坐标及与 $ x $ 轴的两个交点坐标。
答案
解：
(1) 将点$M(-2, 3)$代入抛物线解析式$y = -x^2 + mx + 3$，得：
$3 = -(-2)^2 + m·(-2) + 3$
化简得：$3 = -2m -1$
解得 $m = -2$。
(2) 由(1)得抛物线的解析式为$y = -x^2 - 2x + 3$，
对解析式配方得：
$y = -(x+1)^2 + 4$
因此抛物线的顶点坐标为$(-1, 4)$。
令$y=0$，即$-x^2 - 2x + 3 = 0$，
整理得$x^2 + 2x - 3 = 0$，
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=1$，
所以抛物线与$x$轴的两个交点坐标为$(-3, 0)$和$(1, 0)$。
(1) 将点$M(-2, 3)$代入抛物线解析式$y = -x^2 + mx + 3$，得：
$3 = -(-2)^2 + m·(-2) + 3$
化简得：$3 = -2m -1$
解得 $m = -2$。
(2) 由(1)得抛物线的解析式为$y = -x^2 - 2x + 3$，
对解析式配方得：
$y = -(x+1)^2 + 4$
因此抛物线的顶点坐标为$(-1, 4)$。
令$y=0$，即$-x^2 - 2x + 3 = 0$，
整理得$x^2 + 2x - 3 = 0$，
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=1$，
所以抛物线与$x$轴的两个交点坐标为$(-3, 0)$和$(1, 0)$。
解析
【分析】
(1) 函数图象上的点的坐标必然满足对应的函数解析式，因此将点M的横、纵坐标代入抛物线表达式，即可得到关于m的一元一次方程，解方程就能求出m的值。
(2) 得到完整的抛物线解析式后，求顶点坐标可以通过配方法将一般式转化为顶点式，直接读出顶点坐标；求抛物线与x轴的交点时，由于x轴上点的纵坐标为0，因此令y=0，解对应的一元二次方程，所得的解就是交点的横坐标，进而得到交点坐标。
【解析】
(1) 将点$M(-2, 3)$代入抛物线解析式$y = -x^2 + mx + 3$，得：
$3 = -(-2)^2 + m×(-2) + 3$
化简得：$3 = -2m -1$
解得 $m = -2$。
(2) 由(1)得抛物线的解析式为$y = -x^2 - 2x + 3$，
对解析式配方得：
$y = -(x^2+2x)+3 = -(x^2+2x+1-1)+3 = -(x+1)^2 + 4$
因此抛物线的顶点坐标为$(-1, 4)$。
令$y=0$，即$-x^2 - 2x + 3 = 0$，
整理得$x^2 + 2x - 3 = 0$，
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=1$，
所以抛物线与$x$轴的两个交点坐标为$(-3, 0)$和$(1, 0)$。
【答案】
(1) $m=-2$；
(2) 顶点坐标为$(-1,4)$，与x轴的两个交点坐标为$(-3,0)$、$(1,0)$。
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征，配方法求二次函数顶点，抛物线与x轴交点求解
【点评】
本题属于二次函数基础习题，考察的都是二次函数的核心基础知识点，熟练掌握代入求参、配方法变形解析式、解一元二次方程的方法就能顺利解答，适合巩固二次函数基础概念。
【难度系数】
0.85
(1) 函数图象上的点的坐标必然满足对应的函数解析式，因此将点M的横、纵坐标代入抛物线表达式，即可得到关于m的一元一次方程，解方程就能求出m的值。
(2) 得到完整的抛物线解析式后，求顶点坐标可以通过配方法将一般式转化为顶点式，直接读出顶点坐标；求抛物线与x轴的交点时，由于x轴上点的纵坐标为0，因此令y=0，解对应的一元二次方程，所得的解就是交点的横坐标，进而得到交点坐标。
【解析】
(1) 将点$M(-2, 3)$代入抛物线解析式$y = -x^2 + mx + 3$，得：
$3 = -(-2)^2 + m×(-2) + 3$
化简得：$3 = -2m -1$
解得 $m = -2$。
(2) 由(1)得抛物线的解析式为$y = -x^2 - 2x + 3$，
对解析式配方得：
$y = -(x^2+2x)+3 = -(x^2+2x+1-1)+3 = -(x+1)^2 + 4$
因此抛物线的顶点坐标为$(-1, 4)$。
令$y=0$，即$-x^2 - 2x + 3 = 0$，
整理得$x^2 + 2x - 3 = 0$，
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=1$，
所以抛物线与$x$轴的两个交点坐标为$(-3, 0)$和$(1, 0)$。
【答案】
(1) $m=-2$；
(2) 顶点坐标为$(-1,4)$，与x轴的两个交点坐标为$(-3,0)$、$(1,0)$。
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征，配方法求二次函数顶点，抛物线与x轴交点求解
【点评】
本题属于二次函数基础习题，考察的都是二次函数的核心基础知识点，熟练掌握代入求参、配方法变形解析式、解一元二次方程的方法就能顺利解答，适合巩固二次函数基础概念。
【难度系数】
0.85
6. 提升题已知二次函数图象的顶点坐标为$(2,-1)$，且经过点$(-3,24)$。
(1)求该二次函数的表达式。
(2)求该函数的图象与坐标轴交点的坐标。
(1)求该二次函数的表达式。
(2)求该函数的图象与坐标轴交点的坐标。
答案
解：
(1) ∵二次函数图象的顶点坐标为$(2,-1)$，
∴设该二次函数的表达式为$y=a(x-2)^2 -1$。
将点$(-3,24)$代入表达式，得：
$24=a(-3-2)^2 -1$，
即$24=25a -1$，
解得$a=1$。
∴该二次函数的表达式为$y=(x-2)^2 -1$，整理得$y=x^2 -4x +3$。
(2) 求函数图象与y轴的交点：
令$x=0$，代入$y=x^2 -4x +3$，得$y=3$，
∴函数图象与y轴的交点坐标为$(0,3)$。
求函数图象与x轴的交点：
令$y=0$，即$x^2 -4x +3=0$，
因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=3$，
∴函数图象与x轴的交点坐标为$(1,0)$和$(3,0)$。
综上，该函数图象与坐标轴的交点坐标为$(0,3)$、$(1,0)$、$(3,0)$。
(1) ∵二次函数图象的顶点坐标为$(2,-1)$，
∴设该二次函数的表达式为$y=a(x-2)^2 -1$。
将点$(-3,24)$代入表达式，得：
$24=a(-3-2)^2 -1$，
即$24=25a -1$，
解得$a=1$。
∴该二次函数的表达式为$y=(x-2)^2 -1$，整理得$y=x^2 -4x +3$。
(2) 求函数图象与y轴的交点：
令$x=0$，代入$y=x^2 -4x +3$，得$y=3$，
∴函数图象与y轴的交点坐标为$(0,3)$。
求函数图象与x轴的交点：
令$y=0$，即$x^2 -4x +3=0$，
因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=3$，
∴函数图象与x轴的交点坐标为$(1,0)$和$(3,0)$。
综上，该函数图象与坐标轴的交点坐标为$(0,3)$、$(1,0)$、$(3,0)$。
解析
【分析】
（1）已知二次函数的顶点坐标，优先选用顶点式设函数解析式，仅需求解一个未知系数a，计算更简便；设好顶点式后将已知点$(-3,24)$代入，解方程求出a的值，即可得到函数表达式，可根据需求整理为一般式。（2）求函数图象与坐标轴交点时，分两类处理：与y轴交点令$x=0$，代入解析式求出对应y值即可得到交点坐标；与x轴交点令$y=0$，得到一元二次方程，求解方程的根即为交点横坐标，最后汇总所有交点坐标即可。
【解析】
(1)
∵二次函数图象的顶点坐标为$(2,-1)$，
∴设该二次函数的表达式为$y=a(x-2)^2 -1$。
将点$(-3,24)$代入表达式，得：
$24=a(-3-2)^2 -1$，
即$24=25a -1$，
解得$a=1$。
∴该二次函数的表达式为$y=(x-2)^2 -1$，整理得$y=x^2 -4x +3$。
(2) 求函数图象与y轴的交点：
令$x=0$，代入$y=x^2 -4x +3$，得$y=3$，
∴函数图象与y轴的交点坐标为$(0,3)$。
求函数图象与x轴的交点：
令$y=0$，即$x^2 -4x +3=0$，
因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=3$，
∴函数图象与x轴的交点坐标为$(1,0)$和$(3,0)$。
综上，该函数图象与坐标轴的交点坐标为$(0,3)$、$(1,0)$、$(3,0)$。
【答案】
(1) $y=x^2 -4x +3$；
(2) 与坐标轴交点坐标为$(0,3)$、$(1,0)$、$(3,0)$。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数与坐标轴交点求解
3. 因式分解解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的基础提升题，重点考察顶点式的灵活运用和函数与坐标轴交点的求解逻辑，掌握不同形式的二次函数解析式的适用场景，能有效简化计算，相关方法是解决二次函数综合问题的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
（1）已知二次函数的顶点坐标，优先选用顶点式设函数解析式，仅需求解一个未知系数a，计算更简便；设好顶点式后将已知点$(-3,24)$代入，解方程求出a的值，即可得到函数表达式，可根据需求整理为一般式。（2）求函数图象与坐标轴交点时，分两类处理：与y轴交点令$x=0$，代入解析式求出对应y值即可得到交点坐标；与x轴交点令$y=0$，得到一元二次方程，求解方程的根即为交点横坐标，最后汇总所有交点坐标即可。
【解析】
(1)
∵二次函数图象的顶点坐标为$(2,-1)$，
∴设该二次函数的表达式为$y=a(x-2)^2 -1$。
将点$(-3,24)$代入表达式，得：
$24=a(-3-2)^2 -1$，
即$24=25a -1$，
解得$a=1$。
∴该二次函数的表达式为$y=(x-2)^2 -1$，整理得$y=x^2 -4x +3$。
(2) 求函数图象与y轴的交点：
令$x=0$，代入$y=x^2 -4x +3$，得$y=3$，
∴函数图象与y轴的交点坐标为$(0,3)$。
求函数图象与x轴的交点：
令$y=0$，即$x^2 -4x +3=0$，
因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=3$，
∴函数图象与x轴的交点坐标为$(1,0)$和$(3,0)$。
综上，该函数图象与坐标轴的交点坐标为$(0,3)$、$(1,0)$、$(3,0)$。
【答案】
(1) $y=x^2 -4x +3$；
(2) 与坐标轴交点坐标为$(0,3)$、$(1,0)$、$(3,0)$。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数与坐标轴交点求解
3. 因式分解解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的基础提升题，重点考察顶点式的灵活运用和函数与坐标轴交点的求解逻辑，掌握不同形式的二次函数解析式的适用场景，能有效简化计算，相关方法是解决二次函数综合问题的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
