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1.小颖用计算器探索方程$ax^2+bx+c=0$的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根$x=-3.4$，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（）
A.4.4
B.3.4
C.2.4
D.1.4
A.4.4
B.3.4
C.2.4
D.1.4
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确一元二次方程的根与对应二次函数图象的关系：方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标。其次抛物线是轴对称图形，本题对称轴为直线$x=-1$，因此抛物线与x轴的两个交点关于直线$x=-1$对称，即两个交点横坐标的平均值等于对称轴对应的x值，已知一个根为$x=-3.4$，利用对称性即可求出另一个根。
【解析】
设方程的另一个近似根为$x$，
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴的两个交点关于对称轴$x=-1$对称，
∴ 两个交点横坐标的算术平均数等于对称轴的横坐标，可得：
$\frac{x + (-3.4)}{2} = -1$
解方程：
$x - 3.4 = -2$
$x = 3.4 - 2 = 1.4$
因此方程的另一个近似根为1.4。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.二次函数的轴对称性
3.对称点坐标计算
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，不需要求解函数解析式，仅通过二次函数的对称性即可快速求出方程的未知根，简化了计算过程，能很好地考查对二次函数性质和一元二次方程根的理解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确一元二次方程的根与对应二次函数图象的关系：方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标。其次抛物线是轴对称图形，本题对称轴为直线$x=-1$，因此抛物线与x轴的两个交点关于直线$x=-1$对称，即两个交点横坐标的平均值等于对称轴对应的x值，已知一个根为$x=-3.4$，利用对称性即可求出另一个根。
【解析】
设方程的另一个近似根为$x$，
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴的两个交点关于对称轴$x=-1$对称，
∴ 两个交点横坐标的算术平均数等于对称轴的横坐标，可得：
$\frac{x + (-3.4)}{2} = -1$
解方程：
$x - 3.4 = -2$
$x = 3.4 - 2 = 1.4$
因此方程的另一个近似根为1.4。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.二次函数的轴对称性
3.对称点坐标计算
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，不需要求解函数解析式，仅通过二次函数的对称性即可快速求出方程的未知根，简化了计算过程，能很好地考查对二次函数性质和一元二次方程根的理解。
【难度系数】
0.7
2.已知二次函数$y=x^2+5x-3$中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，则方程$x^2+5x-3=0$的一个根x的取值范围是。
答案
解：
方程$x^2+5x-3=0$的根是二次函数$y=x^2+5x-3$中函数值$y=0$时对应的自变量$x$的值。
由表格数据可知：
当$x=0.5$时，$y=-0.25＜0$，
当$x=0.75$时，$y=1.3125＞0$，
二次函数$y=x^2+5x-3$是连续函数，因此在$0.5＜x＜0.75$区间内，必然存在一个$x$使得$y=0$。
即方程$x^2+5x-3=0$的一个根$x$的取值范围是$\boldsymbol{0.5＜x＜0.75}$。
方程$x^2+5x-3=0$的根是二次函数$y=x^2+5x-3$中函数值$y=0$时对应的自变量$x$的值。
由表格数据可知：
当$x=0.5$时，$y=-0.25＜0$，
当$x=0.75$时，$y=1.3125＞0$，
二次函数$y=x^2+5x-3$是连续函数，因此在$0.5＜x＜0.75$区间内，必然存在一个$x$使得$y=0$。
即方程$x^2+5x-3=0$的一个根$x$的取值范围是$\boldsymbol{0.5＜x＜0.75}$。
解析
【分析】
解题时首先要明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，就是对应的二次函数$y=ax^2+bx+c$中函数值$y=0$时自变量$x$的取值。因为二次函数的图象是连续的曲线，所以当两个相邻自变量对应的函数值一正一负时，这两个自变量之间必然存在一个值使得函数值为0，也就是方程的一个根。因此我们只需要在表格中找到$y$值由负变正（或正变负）对应的两个相邻$x$值，即可确定根的取值范围。
【解析】
方程$x^2+5x-3=0$的根是二次函数$y=x^2+5x-3$中函数值$y=0$时对应的自变量$x$的值。
由表格中的数据可得：
当$x=0.5$时，$y=-0.25＜0$，
当$x=0.75$时，$y=1.3125＞0$，
由于二次函数的图象是连续的曲线，因此在$0.5＜x＜0.75$的区间内，必然存在一个$x$使得$y=0$，即方程$x^2+5x-3=0$的一个根落在这个区间内。
【答案】
$0.5＜x＜0.75$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系 2. 估算一元二次方程的近似根
【点评】
本题考查利用二次函数的函数值变化确定一元二次方程根的范围，解题核心是理解方程的根与对应函数零点的关系，只要结合表格中$y$的正负变化即可快速判断根的区间，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，就是对应的二次函数$y=ax^2+bx+c$中函数值$y=0$时自变量$x$的取值。因为二次函数的图象是连续的曲线，所以当两个相邻自变量对应的函数值一正一负时，这两个自变量之间必然存在一个值使得函数值为0，也就是方程的一个根。因此我们只需要在表格中找到$y$值由负变正（或正变负）对应的两个相邻$x$值，即可确定根的取值范围。
【解析】
方程$x^2+5x-3=0$的根是二次函数$y=x^2+5x-3$中函数值$y=0$时对应的自变量$x$的值。
由表格中的数据可得：
当$x=0.5$时，$y=-0.25＜0$，
当$x=0.75$时，$y=1.3125＞0$，
由于二次函数的图象是连续的曲线，因此在$0.5＜x＜0.75$的区间内，必然存在一个$x$使得$y=0$，即方程$x^2+5x-3=0$的一个根落在这个区间内。
【答案】
$0.5＜x＜0.75$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系 2. 估算一元二次方程的近似根
【点评】
本题考查利用二次函数的函数值变化确定一元二次方程根的范围，解题核心是理解方程的根与对应函数零点的关系，只要结合表格中$y$的正负变化即可快速判断根的区间，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
3. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的部分图象如图所示。当$ax^2+bx+c＞0$时，$x$的取值范围是；当$ax^2+bx+c＜-1$时，$x$的取值范围是。
答案
$\boldsymbol{x＜-1或x＞3}$；$\boldsymbol{0＜x＜2}$
解析
【分析】
解题时先利用二次函数的轴对称性找到未知的交点坐标：①求$ax^2+bx+c＞0$的$x$范围，需要先确定抛物线与$x$轴的两个交点坐标，已知对称轴为$x=1$，其中一个交点是$(3,0)$，根据对称轴是抛物线与$x$轴两交点的中点，即可算出另一个交点坐标，$y＞0$对应图像在$x$轴上方的部分，直接读出$x$的范围即可；②求$ax^2+bx+c＜-1$的$x$范围，观察图像可知点$(0,-1)$在抛物线上，利用对称轴算出它的对称点坐标，$y＜-1$对应图像在直线$y=-1$下方的部分，即可得到对应的$x$范围。
【解析】
1. 求$ax^2+bx+c＞0$时$x$的取值范围：
由图可知二次函数的对称轴为直线$x=1$，抛物线与$x$轴的一个交点为$(3,0)$。
根据二次函数的对称性，设抛物线与$x$轴的另一个交点横坐标为$x$，则$\frac{x+3}{2}=1$，解得$x=-1$，即另一个交点为$(-1,0)$。
$ax^2+bx+c＞0$对应函数图像在$x$轴上方的部分，因此$x$的取值范围是$x＜-1$或$x＞3$。
2. 求$ax^2+bx+c＜-1$时$x$的取值范围：
由图可知抛物线过点$(0,-1)$，根据对称轴$x=1$，可得点$(0,-1)$关于直线$x=1$的对称点为$(2,-1)$。
$ax^2+bx+c＜-1$对应函数图像在直线$y=-1$下方的部分，因此$x$的取值范围是$0＜x＜2$。
【答案】
$x＜-1$或$x＞3$；$0＜x＜2$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与不等式；二次函数图像性质
【点评】
本题结合二次函数图像考查不等式解集的求解，核心是利用二次函数的对称性得到对应对称点的坐标，再结合图像读取解集，充分体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
解题时先利用二次函数的轴对称性找到未知的交点坐标：①求$ax^2+bx+c＞0$的$x$范围，需要先确定抛物线与$x$轴的两个交点坐标，已知对称轴为$x=1$，其中一个交点是$(3,0)$，根据对称轴是抛物线与$x$轴两交点的中点，即可算出另一个交点坐标，$y＞0$对应图像在$x$轴上方的部分，直接读出$x$的范围即可；②求$ax^2+bx+c＜-1$的$x$范围，观察图像可知点$(0,-1)$在抛物线上，利用对称轴算出它的对称点坐标，$y＜-1$对应图像在直线$y=-1$下方的部分，即可得到对应的$x$范围。
【解析】
1. 求$ax^2+bx+c＞0$时$x$的取值范围：
由图可知二次函数的对称轴为直线$x=1$，抛物线与$x$轴的一个交点为$(3,0)$。
根据二次函数的对称性，设抛物线与$x$轴的另一个交点横坐标为$x$，则$\frac{x+3}{2}=1$，解得$x=-1$，即另一个交点为$(-1,0)$。
$ax^2+bx+c＞0$对应函数图像在$x$轴上方的部分，因此$x$的取值范围是$x＜-1$或$x＞3$。
2. 求$ax^2+bx+c＜-1$时$x$的取值范围：
由图可知抛物线过点$(0,-1)$，根据对称轴$x=1$，可得点$(0,-1)$关于直线$x=1$的对称点为$(2,-1)$。
$ax^2+bx+c＜-1$对应函数图像在直线$y=-1$下方的部分，因此$x$的取值范围是$0＜x＜2$。
【答案】
$x＜-1$或$x＞3$；$0＜x＜2$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与不等式；二次函数图像性质
【点评】
本题结合二次函数图像考查不等式解集的求解，核心是利用二次函数的对称性得到对应对称点的坐标，再结合图像读取解集，充分体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
4. 提升题 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $（$ a ≠ 0 $）的部分图象和对称轴如图所示。
(1) 求该二次函数的表达式。
(2) 当 $ y ≥ 0 $ 时，直接写出 $ x $ 的取值范围。
(3) 若关于 $ x $ 的方程 $ ax^2 + bx + c = k $ 总有两个不相等的正实数根，直接写出 $ k $ 的取值范围。
(1) 求该二次函数的表达式。
(2) 当 $ y ≥ 0 $ 时，直接写出 $ x $ 的取值范围。
(3) 若关于 $ x $ 的方程 $ ax^2 + bx + c = k $ 总有两个不相等的正实数根，直接写出 $ k $ 的取值范围。
答案
解：
(1) 由图象可知，二次函数图象的对称轴为直线$x=1$，且过点$(-1,0)$和$(0,3)$。
由对称轴公式得：$-\dfrac{b}{2a}=1$，即$b=-2a$。
将点$(0,3)$代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=3$。
将点$(-1,0)$、$b=-2a$、$c=3$代入解析式，得：
$a - (-2a) + 3 = 0$，
解得$a=-1$，则$b=-2a=2$。
所以该二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) $x$的取值范围是$-1≤ x≤ 3$。
(3) $k$的取值范围是$3＜k＜4$。
(1) 由图象可知，二次函数图象的对称轴为直线$x=1$，且过点$(-1,0)$和$(0,3)$。
由对称轴公式得：$-\dfrac{b}{2a}=1$，即$b=-2a$。
将点$(0,3)$代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=3$。
将点$(-1,0)$、$b=-2a$、$c=3$代入解析式，得：
$a - (-2a) + 3 = 0$，
解得$a=-1$，则$b=-2a=2$。
所以该二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) $x$的取值范围是$-1≤ x≤ 3$。
(3) $k$的取值范围是$3＜k＜4$。
解析
【分析】
(1) 求二次函数表达式采用待定系数法：首先从图象提取已知条件，对称轴为直线$x=1$，函数过点$(-1,0)$、$(0,3)$；先通过对称轴公式得到$a$和$b$的关系，再代入已知点坐标即可求出$a、b、c$的值。
(2) $y≥0$对应二次函数图象在$x$轴及上方的部分，已知一个零点为$x=-1$，结合对称轴$x=1$，利用对称性求出另一个零点，就能直接写出$x$的取值范围。
(3) 方程$ax^2+bx+c=k$有两个不相等的正实数根，等价于二次函数图象和直线$y=k$有两个交点，且交点横坐标都为正数；先求出二次函数顶点纵坐标，再结合图象判断$k$的范围即可。
【解析】
(1) 由图象可知：二次函数对称轴为直线$x=1$，且图象过点$(-1,0)$和$(0,3)$。
根据对称轴公式$-\dfrac{b}{2a}=1$，化简得$b=-2a$。
将点$(0,3)$代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=3$。
把点$(-1,0)$、$b=-2a$、$c=3$代入解析式，得：
$a× (-1)^2 + b× (-1) + c = 0$，即$a - (-2a) + 3 = 0$，
解得$a=-1$，则$b=-2a=2$。
因此二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) 二次函数的一个零点为$x=-1$，对称轴为$x=1$，由对称性可得另一个零点为$x=1+[1-(-1)]=3$。
$y≥0$对应图象在$x$轴及上方的部分，因此$x$的取值范围是$-1≤ x≤ 3$。
(3) 将二次函数配方得$y=-(x-1)^2+4$，可知顶点坐标为$(1,4)$，函数最大值为4。
当$y=k$与函数图象有两个交点时，$k＜4$；当$k=3$时，方程$-x^2+2x+3=3$的根为$x=0$和$x=2$，此时有一个根为0，不符合正实数根的要求，因此要保证两个根都是正实数，需$k＞3$。
综上，$k$的取值范围是$3＜k＜4$。
【答案】
(1) $y=-x^2+2x+3$
(2) $-1≤ x≤ 3$
(3) $3＜k＜4$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系
【点评】
本题属于二次函数综合基础题，解题时要结合图象提取有效信息，灵活运用数形结合思想分析问题，掌握二次函数的对称性、与一元二次方程的联系是解题的核心。
【难度系数】
0.6
(1) 求二次函数表达式采用待定系数法：首先从图象提取已知条件，对称轴为直线$x=1$，函数过点$(-1,0)$、$(0,3)$；先通过对称轴公式得到$a$和$b$的关系，再代入已知点坐标即可求出$a、b、c$的值。
(2) $y≥0$对应二次函数图象在$x$轴及上方的部分，已知一个零点为$x=-1$，结合对称轴$x=1$，利用对称性求出另一个零点，就能直接写出$x$的取值范围。
(3) 方程$ax^2+bx+c=k$有两个不相等的正实数根，等价于二次函数图象和直线$y=k$有两个交点，且交点横坐标都为正数；先求出二次函数顶点纵坐标，再结合图象判断$k$的范围即可。
【解析】
(1) 由图象可知：二次函数对称轴为直线$x=1$，且图象过点$(-1,0)$和$(0,3)$。
根据对称轴公式$-\dfrac{b}{2a}=1$，化简得$b=-2a$。
将点$(0,3)$代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=3$。
把点$(-1,0)$、$b=-2a$、$c=3$代入解析式，得：
$a× (-1)^2 + b× (-1) + c = 0$，即$a - (-2a) + 3 = 0$，
解得$a=-1$，则$b=-2a=2$。
因此二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) 二次函数的一个零点为$x=-1$，对称轴为$x=1$，由对称性可得另一个零点为$x=1+[1-(-1)]=3$。
$y≥0$对应图象在$x$轴及上方的部分，因此$x$的取值范围是$-1≤ x≤ 3$。
(3) 将二次函数配方得$y=-(x-1)^2+4$，可知顶点坐标为$(1,4)$，函数最大值为4。
当$y=k$与函数图象有两个交点时，$k＜4$；当$k=3$时，方程$-x^2+2x+3=3$的根为$x=0$和$x=2$，此时有一个根为0，不符合正实数根的要求，因此要保证两个根都是正实数，需$k＞3$。
综上，$k$的取值范围是$3＜k＜4$。
【答案】
(1) $y=-x^2+2x+3$
(2) $-1≤ x≤ 3$
(3) $3＜k＜4$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系
【点评】
本题属于二次函数综合基础题，解题时要结合图象提取有效信息，灵活运用数形结合思想分析问题，掌握二次函数的对称性、与一元二次方程的联系是解题的核心。
【难度系数】
0.6
