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1. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用20 m长的栅栏围成一个矩形花园ABCD（栅栏只围AB，BC两边）。设AB = x m，花园的面积为S m²。
(1)当x为何值时，花园的面积S有最大值？最大值为多少？
(2)若点P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是12 m和6 m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），当花园面积S最大时，AB的长为多少？
(1)当x为何值时，花园的面积S有最大值？最大值为多少？
(2)若点P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是12 m和6 m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），当花园面积S最大时，AB的长为多少？
答案
解：
(1) 由题意得，$AB = x\ \mathrm{m}$，则$BC = (20 - x)\ \mathrm{m}$，
花园面积 $S = AB· BC = x(20 - x) = -x^2 + 20x = -(x - 10)^2 + 100$，
$\because$ 二次项系数$-1 ＜ 0$，且$0 ＜ x ＜ 20$，
$\therefore$ 当$x = 10$时，$S$有最大值，最大值为$100$。
(2) 根据树的位置要求，可得不等式组：
$\begin{cases}AB ≥ 6 \\BC ≥ 12\end{cases}$
即
$\begin{cases}x ≥ 6 \\20 - x ≥ 12\end{cases}$
解得 $6 ≤ x ≤ 8$。
$\because$ 二次函数$S = -(x - 10)^2 + 100$的二次项系数为$-1 ＜ 0$，对称轴为直线$x=10$，
$\therefore$ 当$6 ≤ x ≤ 8$时，$S$随$x$的增大而增大，
$\therefore$ 当$x=8$时，$S$取得最大值，此时$AB$的长为$8\ \mathrm{m}$。
答：(1) 当$x$为$10\ \mathrm{m}$时，花园面积$S$最大，最大值为$100\ \mathrm{m}^2$；(2) 花园面积$S$最大时，$AB$的长为$8\ \mathrm{m}$。
(1) 由题意得，$AB = x\ \mathrm{m}$，则$BC = (20 - x)\ \mathrm{m}$，
花园面积 $S = AB· BC = x(20 - x) = -x^2 + 20x = -(x - 10)^2 + 100$，
$\because$ 二次项系数$-1 ＜ 0$，且$0 ＜ x ＜ 20$，
$\therefore$ 当$x = 10$时，$S$有最大值，最大值为$100$。
(2) 根据树的位置要求，可得不等式组：
$\begin{cases}AB ≥ 6 \\BC ≥ 12\end{cases}$
即
$\begin{cases}x ≥ 6 \\20 - x ≥ 12\end{cases}$
解得 $6 ≤ x ≤ 8$。
$\because$ 二次函数$S = -(x - 10)^2 + 100$的二次项系数为$-1 ＜ 0$，对称轴为直线$x=10$，
$\therefore$ 当$6 ≤ x ≤ 8$时，$S$随$x$的增大而增大，
$\therefore$ 当$x=8$时，$S$取得最大值，此时$AB$的长为$8\ \mathrm{m}$。
答：(1) 当$x$为$10\ \mathrm{m}$时，花园面积$S$最大，最大值为$100\ \mathrm{m}^2$；(2) 花园面积$S$最大时，$AB$的长为$8\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
(1) 首先根据栅栏总长度表示出矩形边BC的长度，再结合矩形面积公式列出面积S关于x的二次函数表达式，将表达式配方为顶点式，结合二次函数的开口方向和自变量的取值范围，即可求出面积最大值及对应的x值。
(2) 先根据树的位置确定x的取值范围：树到AD的距离为6m，因此AB长度不小于6m；树到CD的距离为12m，因此BC长度不小于12m，据此列不等式组求出x的取值范围。再结合二次函数的单调性，判断该取值范围内S随x的变化规律，即可求出面积最大时对应的x值。
【解析】
(1) 由题意得，栅栏总长为20m，$AB=x\ \mathrm{m}$，则$BC=(20-x)\ \mathrm{m}$。
矩形花园面积$S=AB· BC=x(20-x)$，整理得：
$S=-x^2+20x=-(x-10)^2+100$，其中$0＜x＜20$。
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$ 当$x=10$时，$S$取得最大值，最大值为$100\ \mathrm{m}^2$。
(2) 要将树围在花园内，需满足AB不小于树到AD的距离、BC不小于树到CD的距离，因此列不等式组：
$\begin{cases}x≥6 \\20-x≥12 \end{cases}$
解得$6≤ x≤8$。
二次函数$S=-(x-10)^2+100$的对称轴为直线$x=10$，且开口向下，因此当$x＜10$时，S随x的增大而增大。
在$6≤ x≤8$范围内，当x取最大值8时，S取得最大值，即此时AB的长为$8\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 当$x=10\ \mathrm{m}$时，花园面积$S$有最大值，最大值为$100\ \mathrm{m}^2$；
(2) 花园面积S最大时，AB的长为$8\ \mathrm{m}$。
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数的图象与性质、一元一次不等式组的应用
【点评】
本题结合实际生活场景考查二次函数的应用，既涉及无限制条件下二次函数最值的求解，也考查了结合实际限制条件求区间内的函数最值，解题核心是准确确定自变量的取值范围，结合函数单调性分析最值，是二次函数应用类的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据栅栏总长度表示出矩形边BC的长度，再结合矩形面积公式列出面积S关于x的二次函数表达式，将表达式配方为顶点式，结合二次函数的开口方向和自变量的取值范围，即可求出面积最大值及对应的x值。
(2) 先根据树的位置确定x的取值范围：树到AD的距离为6m，因此AB长度不小于6m；树到CD的距离为12m，因此BC长度不小于12m，据此列不等式组求出x的取值范围。再结合二次函数的单调性，判断该取值范围内S随x的变化规律，即可求出面积最大时对应的x值。
【解析】
(1) 由题意得，栅栏总长为20m，$AB=x\ \mathrm{m}$，则$BC=(20-x)\ \mathrm{m}$。
矩形花园面积$S=AB· BC=x(20-x)$，整理得：
$S=-x^2+20x=-(x-10)^2+100$，其中$0＜x＜20$。
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$ 当$x=10$时，$S$取得最大值，最大值为$100\ \mathrm{m}^2$。
(2) 要将树围在花园内，需满足AB不小于树到AD的距离、BC不小于树到CD的距离，因此列不等式组：
$\begin{cases}x≥6 \\20-x≥12 \end{cases}$
解得$6≤ x≤8$。
二次函数$S=-(x-10)^2+100$的对称轴为直线$x=10$，且开口向下，因此当$x＜10$时，S随x的增大而增大。
在$6≤ x≤8$范围内，当x取最大值8时，S取得最大值，即此时AB的长为$8\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 当$x=10\ \mathrm{m}$时，花园面积$S$有最大值，最大值为$100\ \mathrm{m}^2$；
(2) 花园面积S最大时，AB的长为$8\ \mathrm{m}$。
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数的图象与性质、一元一次不等式组的应用
【点评】
本题结合实际生活场景考查二次函数的应用，既涉及无限制条件下二次函数最值的求解，也考查了结合实际限制条件求区间内的函数最值，解题核心是准确确定自变量的取值范围，结合函数单调性分析最值，是二次函数应用类的典型题型。
【难度系数】
0.7
2. 提升题 如图，有一块直角梯形苗圃，它的两邻边借用夹角为$135°$的两面墙角（墙足够长），另外两边由总长为$60\ \mathrm{m}$的篱笆围成。
(1)苗圃的面积$y$(单位:$\mathrm{m}^2$)是$BC$的长$x$(单位:$\mathrm{m}$)的函数，求该函数的表达式，并写出自变量$x$的取值范围。
(2)判断苗圃的面积能否达到$660\ \mathrm{m}^2$，并说明理由。
(1)苗圃的面积$y$(单位:$\mathrm{m}^2$)是$BC$的长$x$(单位:$\mathrm{m}$)的函数，求该函数的表达式，并写出自变量$x$的取值范围。
(2)判断苗圃的面积能否达到$660\ \mathrm{m}^2$，并说明理由。
答案
解：
(1) 过点D作DE⊥AB，垂足为E。
由题意可知，两面墙夹角为135°，可得∠DAE=45°，
又DE=BC=x，因此△ADE为等腰直角三角形，AE=DE=x。
由篱笆总长为60 m，得AB + BC = 60，即AB=60 - x。
因为EB=CD，AB=AE+EB，所以CD=AB - AE=60 - x - x=60 - 2x。
由CD＞0，得60-2x＞0，结合x＞0，得自变量x的取值范围是0＜x＜30。
梯形面积：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}(CD+AB)· BC\\&=\frac{1}{2}(60-2x+60-x)· x\\&=-\frac{3}{2}x^2+60x\end{aligned}$
即函数表达式为$y=-\frac{3}{2}x^2+60x$，自变量x的取值范围是$0＜x＜30$。
(2) 苗圃的面积不能达到$660\ \mathrm{m}^2$，理由如下：
将函数配方得：
$y=-\frac{3}{2}(x-20)^2+600$
因为$-\frac{3}{2}＜0$，且$0＜x＜30$，所以当$x=20$时，y取得最大值600。
因为$600＜660$，所以苗圃的面积不能达到$660\ \mathrm{m}^2$。
(1) 过点D作DE⊥AB，垂足为E。
由题意可知，两面墙夹角为135°，可得∠DAE=45°，
又DE=BC=x，因此△ADE为等腰直角三角形，AE=DE=x。
由篱笆总长为60 m，得AB + BC = 60，即AB=60 - x。
因为EB=CD，AB=AE+EB，所以CD=AB - AE=60 - x - x=60 - 2x。
由CD＞0，得60-2x＞0，结合x＞0，得自变量x的取值范围是0＜x＜30。
梯形面积：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}(CD+AB)· BC\\&=\frac{1}{2}(60-2x+60-x)· x\\&=-\frac{3}{2}x^2+60x\end{aligned}$
即函数表达式为$y=-\frac{3}{2}x^2+60x$，自变量x的取值范围是$0＜x＜30$。
(2) 苗圃的面积不能达到$660\ \mathrm{m}^2$，理由如下：
将函数配方得：
$y=-\frac{3}{2}(x-20)^2+600$
因为$-\frac{3}{2}＜0$，且$0＜x＜30$，所以当$x=20$时，y取得最大值600。
因为$600＜660$，所以苗圃的面积不能达到$660\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
(1) 要求面积y关于x的函数表达式，首先明确梯形面积公式需要用上底、下底和高计算。已知高BC=x，可过点D作DE⊥AB构造直角三角形，结合墙角夹角135°可得∠DAE=45°，推出△ADE是等腰直角三角形，AE=DE=x。再根据篱笆总长60m得到AB=60-x，进而推导出上底CD的长度，同时结合边长为正的要求确定自变量x的取值范围，最后代入梯形面积公式即可得到函数表达式。
(2) 要判断面积能否达到660$\mathrm{m}^2$，可通过配方法求出二次函数的最大值，将最大值与660比较即可得出结论，注意要结合自变量的取值范围判断最值的有效性。
【解析】
(1) 过点D作DE⊥AB，垂足为E。
由两面墙夹角为135°，可得$∠ DAE=180°-135°=45°$，又$DE=BC=x$，因此△ADE为等腰直角三角形，故$AE=DE=x$。
已知篱笆总长为60m，即$AB+BC=60$，因此$AB=60-x$。
因为$EB=CD$，且$AB=AE+EB$，所以$CD=AB-AE=(60-x)-x=60-2x$。
由$CD＞0$得$60-2x＞0$，结合$x＞0$，可得自变量x的取值范围是$0＜x＜30$。
根据梯形面积公式：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}(CD+AB)· BC\\&=\frac{1}{2}(60-2x+60-x)· x\\&=-\frac{3}{2}x^2+60x\end{aligned}$
(2) 苗圃的面积不能达到$660\ \mathrm{m}^2$，理由如下：
将函数配方得：
$y=-\frac{3}{2}(x^2-40x)=-\frac{3}{2}(x-20)^2+600$
因为$-\frac{3}{2}＜0$，抛物线开口向下，且自变量取值范围为$0＜x＜30$，所以当$x=20$时，y取得最大值600。
由于$600＜660$，因此苗圃的面积不能达到$660\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) 函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{3}{2}x^2+60x}$，自变量x的取值范围是$\boldsymbol{0＜x＜30}$；
(2) 苗圃的面积不能达到$660\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数的应用、等腰直角三角形的性质、梯形面积计算
【点评】
本题将几何实际问题与二次函数相结合，解题关键是通过作辅助线推导梯形各边的长度，建立正确的函数模型，同时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，再利用二次函数的最值性质求解问题。
【难度系数】
0.6
(1) 要求面积y关于x的函数表达式，首先明确梯形面积公式需要用上底、下底和高计算。已知高BC=x，可过点D作DE⊥AB构造直角三角形，结合墙角夹角135°可得∠DAE=45°，推出△ADE是等腰直角三角形，AE=DE=x。再根据篱笆总长60m得到AB=60-x，进而推导出上底CD的长度，同时结合边长为正的要求确定自变量x的取值范围，最后代入梯形面积公式即可得到函数表达式。
(2) 要判断面积能否达到660$\mathrm{m}^2$，可通过配方法求出二次函数的最大值，将最大值与660比较即可得出结论，注意要结合自变量的取值范围判断最值的有效性。
【解析】
(1) 过点D作DE⊥AB，垂足为E。
由两面墙夹角为135°，可得$∠ DAE=180°-135°=45°$，又$DE=BC=x$，因此△ADE为等腰直角三角形，故$AE=DE=x$。
已知篱笆总长为60m，即$AB+BC=60$，因此$AB=60-x$。
因为$EB=CD$，且$AB=AE+EB$，所以$CD=AB-AE=(60-x)-x=60-2x$。
由$CD＞0$得$60-2x＞0$，结合$x＞0$，可得自变量x的取值范围是$0＜x＜30$。
根据梯形面积公式：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}(CD+AB)· BC\\&=\frac{1}{2}(60-2x+60-x)· x\\&=-\frac{3}{2}x^2+60x\end{aligned}$
(2) 苗圃的面积不能达到$660\ \mathrm{m}^2$，理由如下：
将函数配方得：
$y=-\frac{3}{2}(x^2-40x)=-\frac{3}{2}(x-20)^2+600$
因为$-\frac{3}{2}＜0$，抛物线开口向下，且自变量取值范围为$0＜x＜30$，所以当$x=20$时，y取得最大值600。
由于$600＜660$，因此苗圃的面积不能达到$660\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) 函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{3}{2}x^2+60x}$，自变量x的取值范围是$\boldsymbol{0＜x＜30}$；
(2) 苗圃的面积不能达到$660\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数的应用、等腰直角三角形的性质、梯形面积计算
【点评】
本题将几何实际问题与二次函数相结合，解题关键是通过作辅助线推导梯形各边的长度，建立正确的函数模型，同时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，再利用二次函数的最值性质求解问题。
【难度系数】
0.6
