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9. 已知三条不同的直线$a$,$b$,$c$在同一平面内,有下列命题：①如果$a// b$,$a\perp c$,那么$b\perp c$；②如果$b// a$,$c// a$,那么$b// c$；③如果$b\perp a$,$c\perp a$,那么$b\perp c$；④如果$b\perp a$,$c\perp a$,那么$b// c$。其中是真命题的是
①②④
。(填序号)答案
①②④
10. 如图,已知点$B$,$F$,$C$,$E$在一条直线上,$FB = CE$,$AC = DF$。请从下列三个条件中选择一个合适的条件,添加到已知条件中,使$AB// ED$成立,并给出证明。
供选择的三个条件：①$\angle A= \angle D$；②$BC = EF$；③$AB = DE$。
供选择的三个条件：①$\angle A= \angle D$；②$BC = EF$；③$AB = DE$。
答案
解:选择③AB=DE。
∵FB=CE，
∴FB+CF=CE+CF，
∴BC=EF。在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，AB=DE，
∴△ABC≌△DEF(SSS)，
∴∠B=∠E，
∴AB//ED。
∵FB=CE，
∴FB+CF=CE+CF，
∴BC=EF。在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，AB=DE，
∴△ABC≌△DEF(SSS)，
∴∠B=∠E，
∴AB//ED。
11. 【综合与实践】如图①,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$D是AB$上一点,且$\angle ACD= \angle B$。
(1)求证：$CD\perp AB$,并指出你在证明过程中应用了哪两个真命题。
(2)如图②,若$AE平分\angle BAC$,交$CD于点F$,交$BC于点E$。求证：$\angle AEC= \angle CFE$。
(3)如图③,若$E为BC$上一点,$AE交CD于点F$,$BC = 3CE$,$AB = 4AD$,$\triangle ABC$,$\triangle CEF$,$\triangle ADF的面积分别为S_{\triangle ABC}$,$S_{\triangle CEF}$,$S_{\triangle ADF}$,且$S_{\triangle ABC}= 36$,则$S_{\triangle CEF}-S_{\triangle ADF}= $
(1)求证：$CD\perp AB$,并指出你在证明过程中应用了哪两个真命题。
(2)如图②,若$AE平分\angle BAC$,交$CD于点F$,交$BC于点E$。求证：$\angle AEC= \angle CFE$。
(3)如图③,若$E为BC$上一点,$AE交CD于点F$,$BC = 3CE$,$AB = 4AD$,$\triangle ABC$,$\triangle CEF$,$\triangle ADF的面积分别为S_{\triangle ABC}$,$S_{\triangle CEF}$,$S_{\triangle ADF}$,且$S_{\triangle ABC}= 36$,则$S_{\triangle CEF}-S_{\triangle ADF}= $
3
(仅填结果)。答案
(1)证明:
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°。
∵∠ACD=∠B，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，即CD⊥AB。证明时应用了“直角三角形中两锐角互余”和“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”。
(2)证明:由
(1)知CD⊥AB。
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE。
∵∠CAE+∠AEC=90°，∠BAE+∠AFD=90°，
∴∠AEC=∠AFD。
∵∠AFD=∠CFE，
∴∠AEC=∠CFE。
(3)3
