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知识点一 三角形全等的判定（边边边－SSS）
基本事实：三边分别
例1 如图，已知$AB = AC$，$AD = AE$，$BD = CE$。求证：$△ ABE ≌ △ ACD$。
证明 因为$BD = CE$，所以$BE = CD$。在$△ ABE$和$△ ACD$中，$\begin{cases} AB = AC, \\ AE = AD, \\ BE = CD, \end{cases}$所以$△ ABE ≌ △ ACD$（SSS）。
基本事实：三边分别
相等
的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。例1 如图，已知$AB = AC$，$AD = AE$，$BD = CE$。求证：$△ ABE ≌ △ ACD$。
证明 因为$BD = CE$，所以$BE = CD$。在$△ ABE$和$△ ACD$中，$\begin{cases} AB = AC, \\ AE = AD, \\ BE = CD, \end{cases}$所以$△ ABE ≌ △ ACD$（SSS）。
答案
1. 相等
解析
【分析】
本题包含两部分内容，第一部分是对“边边边”全等判定基本概念的直接考查，回忆相关定义即可填空；第二部分是SSS判定的证明应用：要证明△ABE≌△ACD，首先梳理已知的边相等条件：已有AB=AC、AD=AE，还缺一组对应边BE=CD，我们可以利用已知的BD=CE，根据等式的性质，两边同时加上公共线段DE，就能推导出BE=CD，凑齐三组对应边相等后，即可用SSS判定完成证明。
【解析】
1. 填空部分：根据三角形全等的“边边边”判定基本事实，三边分别相等的两个三角形全等，因此应填“相等”。
2. 证明部分推导：
已知BD=CE，根据等式的性质，在等式两边同时加DE，可得：
$BD+DE = CE+DE$，即$BE=CD$。
在$△ABE$和$△ACD$中：
$\begin{cases} AB = AC \quad (\mathrm{已知}), \\ AE = AD \quad (\mathrm{已知}), \\ BE = CD \quad (\mathrm{已证}), \end{cases}$
根据“边边边”判定定理，可得$△ABE ≌ △ACD$（SSS）。
【答案】
相等
【知识点】
SSS全等判定，等式的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，既考查了核心概念的记忆，也训练了通过线段和差推导对应边相等的基本能力，是后续复杂全等证明的基础，熟练掌握三组对应边相等的判定条件是解题关键。
【难度系数】
0.85
本题包含两部分内容，第一部分是对“边边边”全等判定基本概念的直接考查，回忆相关定义即可填空；第二部分是SSS判定的证明应用：要证明△ABE≌△ACD，首先梳理已知的边相等条件：已有AB=AC、AD=AE，还缺一组对应边BE=CD，我们可以利用已知的BD=CE，根据等式的性质，两边同时加上公共线段DE，就能推导出BE=CD，凑齐三组对应边相等后，即可用SSS判定完成证明。
【解析】
1. 填空部分：根据三角形全等的“边边边”判定基本事实，三边分别相等的两个三角形全等，因此应填“相等”。
2. 证明部分推导：
已知BD=CE，根据等式的性质，在等式两边同时加DE，可得：
$BD+DE = CE+DE$，即$BE=CD$。
在$△ABE$和$△ACD$中：
$\begin{cases} AB = AC \quad (\mathrm{已知}), \\ AE = AD \quad (\mathrm{已知}), \\ BE = CD \quad (\mathrm{已证}), \end{cases}$
根据“边边边”判定定理，可得$△ABE ≌ △ACD$（SSS）。
【答案】
相等
【知识点】
SSS全等判定，等式的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，既考查了核心概念的记忆，也训练了通过线段和差推导对应边相等的基本能力，是后续复杂全等证明的基础，熟练掌握三组对应边相等的判定条件是解题关键。
【难度系数】
0.85
例2 如图，按括号内全等的判定依据，在每条横线上添加一个适当条件，使$△ ABC≌△ ABD$.
(1) , (SSS);
(2) $∠1=∠2$, (SAS);
(3) , (ASA);
(4) , $∠3=∠4$ (AAS).
答案 (1) $BC=BD$ $AC=AD$ (2) $BC=BD$
(3) $∠3=∠4$ $∠1=∠2$ (4) $∠ C=∠ D$
—特别提醒
三角分别相等的两个三角形不一定全等.
—解题要点
判定三角形全等选用哪种方法，取决于题目中的已知条件. 若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组边对应相等；若已知一边一角，则找另一组角，当已知边为该已知角的邻边时，也可以找已知角的另一组对应邻边.
(1) , (SSS);
(2) $∠1=∠2$, (SAS);
(3) , (ASA);
(4) , $∠3=∠4$ (AAS).
答案 (1) $BC=BD$ $AC=AD$ (2) $BC=BD$
(3) $∠3=∠4$ $∠1=∠2$ (4) $∠ C=∠ D$
—特别提醒
三角分别相等的两个三角形不一定全等.
—解题要点
判定三角形全等选用哪种方法，取决于题目中的已知条件. 若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组边对应相等；若已知一边一角，则找另一组角，当已知边为该已知角的邻边时，也可以找已知角的另一组对应邻边.
答案
解：
(1) $AC=AD$，$BC=BD$ (SSS)；
(2) $∠ 1=∠ 2$，$BC=BD$ (SAS)；
(3) $∠ 3=∠ 4$，$∠ 1=∠ 2$ (ASA)；
(4) $∠ C=∠ D$，$∠ 3=∠ 4$ (AAS)。
(1) $AC=AD$，$BC=BD$ (SSS)；
(2) $∠ 1=∠ 2$，$BC=BD$ (SAS)；
(3) $∠ 3=∠ 4$，$∠ 1=∠ 2$ (ASA)；
(4) $∠ C=∠ D$，$∠ 3=∠ 4$ (AAS)。
解析
【分析】
首先观察图形可得△ABC和△ABD有公共边AB，即AB=AB是天然的相等边，我们结合每一问指定的全等判定定理，补充缺少的对应相等的边或角即可：
1. SSS判定要求三边对应相等，已有AB=AB，因此需要补充剩下两组对应边相等；
2. SAS判定要求两边及夹角对应相等，已知∠1=∠2，公共边AB是∠1、∠2的公共边，因此需要补充∠1、∠2的另一组邻边相等；
3. ASA判定要求两角及夹边对应相等，公共边AB是两角的夹边，因此需要补充AB两侧的两组角分别相等；
4. AAS判定要求两角及其中一角的对边对应相等，已知∠3=∠4，公共边AB是∠C和∠D的对边，因此补充∠C和∠D相等即可满足判定条件。
【解析】
已知△ABC和△ABD共边AB，因此$AB=AB$：
(1) 按SSS（三边对应相等的三角形全等）判定要求，已有公共边$AB=AB$，还需两组对应边相等，因此添加$AC=AD$，$BC=BD$；
(2) 按SAS（两边及其夹角对应相等的三角形全等）判定要求，已知$∠1=∠2$，且AB为公共边，因此添加夹角的另一组对应边$BC=BD$，此时$AB=AB$，$∠1=∠2$，$BC=BD$，符合SAS判定条件；
(3) 按ASA（两角及其夹边对应相等的三角形全等）判定要求，公共边AB为夹边，因此添加夹边对应的两组角分别相等，即$∠3=∠4$，$∠1=∠2$，此时$∠3=∠4$，$AB=AB$，$∠1=∠2$，符合ASA判定条件；
(4) 按AAS（两角及其中一角的对边对应相等的三角形全等）判定要求，已知$∠3=∠4$，公共边AB是∠C、∠D的对边，因此添加$∠C=∠D$，此时$∠C=∠D$，$∠3=∠4$，$AB=AB$，符合AAS判定条件。
【答案】
(1) $AC=AD$，$BC=BD$
(2) $BC=BD$
(3) $∠3=∠4$，$∠1=∠2$
(4) $∠C=∠D$
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 隐含公共边的应用
【点评】
这道题是全等三角形判定的基础题型，重点考查不同全等判定定理的适用条件，解题的核心是先挖掘出图形中公共边相等的隐含条件，再结合指定的判定方法补充对应缺失的条件，能够帮助学生夯实全等判定的知识基础。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可得△ABC和△ABD有公共边AB，即AB=AB是天然的相等边，我们结合每一问指定的全等判定定理，补充缺少的对应相等的边或角即可：
1. SSS判定要求三边对应相等，已有AB=AB，因此需要补充剩下两组对应边相等；
2. SAS判定要求两边及夹角对应相等，已知∠1=∠2，公共边AB是∠1、∠2的公共边，因此需要补充∠1、∠2的另一组邻边相等；
3. ASA判定要求两角及夹边对应相等，公共边AB是两角的夹边，因此需要补充AB两侧的两组角分别相等；
4. AAS判定要求两角及其中一角的对边对应相等，已知∠3=∠4，公共边AB是∠C和∠D的对边，因此补充∠C和∠D相等即可满足判定条件。
【解析】
已知△ABC和△ABD共边AB，因此$AB=AB$：
(1) 按SSS（三边对应相等的三角形全等）判定要求，已有公共边$AB=AB$，还需两组对应边相等，因此添加$AC=AD$，$BC=BD$；
(2) 按SAS（两边及其夹角对应相等的三角形全等）判定要求，已知$∠1=∠2$，且AB为公共边，因此添加夹角的另一组对应边$BC=BD$，此时$AB=AB$，$∠1=∠2$，$BC=BD$，符合SAS判定条件；
(3) 按ASA（两角及其夹边对应相等的三角形全等）判定要求，公共边AB为夹边，因此添加夹边对应的两组角分别相等，即$∠3=∠4$，$∠1=∠2$，此时$∠3=∠4$，$AB=AB$，$∠1=∠2$，符合ASA判定条件；
(4) 按AAS（两角及其中一角的对边对应相等的三角形全等）判定要求，已知$∠3=∠4$，公共边AB是∠C、∠D的对边，因此添加$∠C=∠D$，此时$∠C=∠D$，$∠3=∠4$，$AB=AB$，符合AAS判定条件。
【答案】
(1) $AC=AD$，$BC=BD$
(2) $BC=BD$
(3) $∠3=∠4$，$∠1=∠2$
(4) $∠C=∠D$
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 隐含公共边的应用
【点评】
这道题是全等三角形判定的基础题型，重点考查不同全等判定定理的适用条件，解题的核心是先挖掘出图形中公共边相等的隐含条件，再结合指定的判定方法补充对应缺失的条件，能够帮助学生夯实全等判定的知识基础。
【难度系数】
0.8
