4. 如图，点 E 在△ABC 外部，点 D 在边 BC 上，DE 交 AC 于点 F. 若∠1=∠2=∠3，AC=AE，求证：△ABC≌△ADE.

证明 因为$∠ 2 = ∠ 3$，$∠ AFE = ∠ CFD$，
所以$∠ E = ∠ C$。
因为$∠ 1 = ∠ 2$，所以$∠ BAC = ∠ DAE$。
在$△ ABC$ 和$△ ADE$ 中，$\begin{cases} ∠ BAC = ∠ DAE, \\ AC = AE, \\ ∠ C = ∠ E, \end{cases}$
所以$△ ABC ≌ △ ADE$（ASA）。

【分析】
要证明△ABC≌△ADE，已知一组对应边AC=AE，我们可以通过推导两组对应角相等，利用ASA判定定理证明全等。首先，由∠1=∠2，给两个角同时加上公共角∠DAC，可得到一组对应角∠BAC=∠DAE；其次，由∠2=∠3，结合对顶角∠AFE与∠CFD相等，根据三角形内角和为180°，可推出另一组对应角∠C=∠E；最后结合已知的边相等条件，即可完成证明。
【解析】
第一步：推导∠E=∠C
已知∠2=∠3，∠AFE和∠CFD是对顶角，因此∠AFE=∠CFD。
根据三角形内角和为180°，在△AFE中∠E=180°-∠2-∠AFE，在△CFD中∠C=180°-∠3-∠CFD，因此可得∠E=∠C。
第二步：推导∠BAC=∠DAE
已知∠1=∠2，给等式两边同时加∠DAC，可得∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE。
第三步：利用ASA判定全等
在△ABC和△ADE中，满足两角及其夹边对应相等的ASA全等判定条件，因此可证△ABC≌△ADE。
【答案】
证明 因为$∠ 2 = ∠ 3$，$∠ AFE = ∠ CFD$，
所以$∠ E = ∠ C$。
因为$∠ 1 = ∠ 2$，所以$∠ BAC = ∠ DAE$。
在$△ ABC$ 和$△ ADE$ 中，$\begin{cases} ∠ BAC = ∠ DAE, \\ AC = AE, \\ ∠ C = ∠ E, \end{cases}$
所以$△ ABC ≌ △ ADE$（ASA）。
【知识点】
ASA判定三角形全等、三角形内角和、对顶角相等
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，解题时需要注意挖掘图形中的隐含条件，比如对顶角相等、公共角的和差关系，结合已知条件推导全等所需的对应边、对应角相等即可，熟练掌握全等判定定理是解题的核心。
【难度系数】
0.7

5. 如图，已知$∠ 1=∠ 2$，若用“AAS”判定$△ ABD≌△ ACD$，则需添加的条件是（）

A.$∠ ADB=∠ ADC$
B.$∠ B=∠ C$
C.$BD=CD$
D.$AB=AC$

5. B

【分析】
解题时首先明确判定要求为“AAS”，先回忆AAS的判定定理：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。接着梳理题中已知条件：已知∠1=∠2，△ABD和△ACD有公共边AD，即AD=AD。最后结合AAS的条件逐一分析选项，排除不符合要求的选项即可得到答案。
【解析】
已知∠1=∠2，AD是△ABD和△ACD的公共边，因此AD=AD。
全等三角形AAS判定定理为：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，据此分析选项：
选项A：添加∠ADB=∠ADC，此时条件为∠1=∠2，AD=AD，∠ADB=∠ADC，符合ASA（两角及其夹边对应相等）判定要求，不符合AAS，排除；
选项B：添加∠B=∠C，此时条件为∠B=∠C，∠1=∠2，AD=AD（AD是∠B和∠C的对边），符合AAS判定要求，当选；
选项C：添加BD=CD，此时条件为AD=AD，∠1=∠2，BD=CD，属于SSA，无法判定三角形全等，排除；
选项D：添加AB=AC，此时条件为AB=AC，∠1=∠2，AD=AD，符合SAS（两边及其夹角对应相等）判定要求，不符合AAS，排除。
【答案】
B
【知识点】
AAS判定三角形全等，全等三角形判定定理
【点评】
本题主要考查全等三角形判定定理的灵活应用，解题时需先明确指定的判定方法的条件，再结合已知条件筛选合适的补充条件，注意区分不同判定定理的条件差异，避免混淆ASA、AAS、SAS的适用情况。
【难度系数】
0.8

6. 如图，在$△ ABC$中，$AD$为中线，过点$B$作$BE ⊥ AD$交$AD$的延长线于点$E$，过点$C$作$CF ⊥ AD$于点$F$。在$DA$的延长线上取一点$G$，连接$GC$，使$∠ G = ∠ BAD$。下列结论：① $BD = CD$；②$BE=CF$；③$△ CFG ≌ △ BEA$。其中正确的有.(填序号)

6. ①②③

【分析】
解题时可按结论逐个推导：1. 先根据中线的定义直接判断结论①；2. 要判断BE和CF相等，可证两条边所在的△BDE和△CDF全等，结合垂直可得直角相等，对顶角相等，再搭配①中得到的BD=CD，用AAS即可证全等，得到对应边相等判断结论②；3. 要判断△CFG≌△BEA，已知∠G=∠BAD，垂直可得两个直角相等，再搭配②中得到的BE=CF，用AAS即可证明全等，判断结论③。
【解析】
1. 证明①：
∵AD是△ABC的中线，即D是BC的中点，
∴$BD=CD$，故①正确；
2. 证明②：
∵$BE⊥AD$，$CF⊥AD$，
∴$∠E=∠CFD=90°$，
在$△ BDE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases}∠E=∠CFD \\∠BDE=∠CDF \\BD=CD\end{cases}$
∴$△ BDE≌△ CDF\mathrm{(AAS)}$，
∴$BE=CF$，故②正确；
3. 证明③：
∵$BE⊥AD$，$CF⊥AD$，
∴$∠BEA=∠CFG=90°$，
在$△ CFG$和$△ BEA$中：
$\begin{cases}∠CFG=∠BEA \\∠G=∠BAD \\CF=BE\end{cases}$
∴$△ CFG≌△ BEA\mathrm{(AAS)}$，故③正确。
【答案】
①②③
【知识点】
三角形中线的定义；AAS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等三角形的基础应用题，核心是结合已知条件找到全等三角形需要的对应边、对应角相等关系，是全等判定的常考基础题型。
【难度系数】
0.7

7. 如图，$AB // DE$，$AC // DF$，$AC = DF$，$∠ B = ∠ E$. 求证：$△ ABC ≌ △ DEF$.

证明 设$AC$与$DE$的交点为$O$。
因为$AB // DE$，$AC // DF$，
所以$∠ A = ∠ DOC$，$∠ D = ∠ DOC$，
所以$∠ A = ∠ D$。
在$△ ABC$与$△ DEF$中，$\begin{cases} ∠ B = ∠ E, \\ ∠ A = ∠ D, \\ AC = DF, \end{cases}$
所以$△ ABC ≌ △ DEF$（AAS）。

【分析】
要证明两个三角形全等，首先梳理已知条件：题目已给出一组对应角相等$∠ B=∠ E$，一组对应边相等$AC=DF$，结合全等三角形的判定定理，只需要再证明一组对应角相等即可。已知$AB// DE$、$AC// DF$，可利用平行线“两直线平行，同位角相等”的性质，以$AC$和$DE$的夹角$∠ DOC$为中间量，推导出$∠ A=∠ D$，即可凑齐AAS的判定条件，完成全等证明。
【解析】
设$AC$与$DE$的交点为$O$。
$\because AB// DE$，$AC// DF$，
$\therefore ∠ A=∠ DOC$（两直线平行，同位角相等），$∠ D=∠ DOC$（两直线平行，同位角相等），
$\therefore ∠ A=∠ D$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\begin{cases}∠ B = ∠ E \\∠ A = ∠ D \\AC = DF\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF$（AAS）。
【答案】
$△ ABC≌△ DEF$，证明过程如上。
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 全等三角形AAS判定
【点评】
本题是基础的三角形全等证明题，解题的关键是结合平行线的性质推导得到所需的相等对应角，再结合已知条件利用AAS判定定理证明全等，能够帮助学生巩固平行线性质和全等判定的相关应用。
【难度系数】
0.8