1.用十字相乘法分解因式：
(1)$x^2 +8x +15$；
(2)$3x^2 -5x -12$；
(3)$3(x+2)^2 -5(x+2)-12$.

1. 解:(1)原式$=(x+3)(x+5)$.
(2)原式$=(3x+4)(x-3)$.
(3)原式$=[3(x+2)+4][(x+2)-3]=(3x+10)(x-1)$.

2. 八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将多项式 $2a + 3ab - 4 - 6b$ 分解因式.
【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法：
解：原式$=(2a - 4)+(3ab - 6b)$
$=2(a - 2)+3b(a - 2)$
$=(a - 2)(2 + 3b)$.
这种方法叫作分组分解法.
【类比】
(1)请用分组分解法将多项式 $x^2 - a^2 + x + a$ 分解因式；
【挑战】
(2)请用分组分解法将多项式 $ax + a^2 - 2ab - bx + b^2$ 分解因式.

2. 解:(1)原式$=(x^2 - a^2)+(x + a)$
$=(x+a)(x-a)+(x+a)$
$=(x+a)(x-a+1)$.
(2)原式$=(a^2 - 2ab + b^2)+(ax - bx)$
$=(a-b)^2 + x(a-b)$
$=(a-b)(a-b+x)$.

3. 阅读材料：
将$(x+y)^2 + 2(x+y) +1$进行因式分解.
解:将“$x+y$”看成整体,令$x+y=A$,则原式$=A^2 +2A +1=(A+1)^2$.
再将“A”还原,原式$=(x+y+1)^2$.
将多项式中某些部分看作一个整体,用一个新的字母代替(即换元),不仅可以简化要分解的多项式的结构,而且能使式子的特点更加明显,便于观察如何进行因式分解,我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.
根据以上材料,解答下列问题:
(1)分解因式:$1+4(x-y)+4(x-y)^2$;
(2)分解因式:$(x^2 -6x)(x^2 -6x +18)+81$;
(3)求证:若$n$为正整数,则代数式$(n+1)(n+2)(n^2 +3n)+1$的值一定是某个整数的平方.

3. (1)解:令 $x-y=C$,
则原式$=1+4C+4C^2=(1+2C)^2=(1+2x-2y)^2$.
(2)解:令 $x^2 -6x=B$,
则原式$=B(B+18)+81=B^2+18B+81=(B+9)^2=(x^2-6x+9)^2=(x-3)^4$.
(3)证明:原式$=(n^2+3n+2)(n^2+3n)+1$.
令 $n^2+3n=D$,
则原式$=(D+2)· D+1=D^2+2D+1=(D+1)^2=(n^2+3n+1)^2$.
$\because n$为正整数,
$\therefore n^2+3n+1$为正整数.
$\therefore$代数式$(n+1)(n+2)(n^2+3n)+1$的值一定是某个整数的平方.