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13.3.1 三角形的内角（第一课时）
知识梳理 ⑪ 形成联系
知识梳理 ⑪ 形成联系
答案
180°
解析
【分析】
本题是三角形内角第一课时的基础知识点梳理题，解题时需回忆本节课的核心内容：本节课的核心目标是探究并掌握三角形内角和的规律，学习过程中先通过剪拼实验猜想三角形内角和为固定值，再通过作平行线的辅助线方法，结合平行线的性质和平角的定义完成严格证明，最终得到三角形内角和的固定数值，由此即可确定该空的填写内容。
【解析】
经过实验猜想与逻辑证明可得到三角形内角和定理：任意三角形的三个内角之和等于180°，这是本节第一课时最核心的基础结论，因此本题知识梳理处应填写180°。
【答案】
180°
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查对三角形内角和核心定理的掌握程度，该结论是解决所有三角形角度计算相关问题的基础，需要熟练记忆、灵活运用。
【难度系数】
0.9
本题是三角形内角第一课时的基础知识点梳理题，解题时需回忆本节课的核心内容：本节课的核心目标是探究并掌握三角形内角和的规律，学习过程中先通过剪拼实验猜想三角形内角和为固定值，再通过作平行线的辅助线方法，结合平行线的性质和平角的定义完成严格证明，最终得到三角形内角和的固定数值，由此即可确定该空的填写内容。
【解析】
经过实验猜想与逻辑证明可得到三角形内角和定理：任意三角形的三个内角之和等于180°，这是本节第一课时最核心的基础结论，因此本题知识梳理处应填写180°。
【答案】
180°
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查对三角形内角和核心定理的掌握程度，该结论是解决所有三角形角度计算相关问题的基础，需要熟练记忆、灵活运用。
【难度系数】
0.9
1. 如图13.3-1，在△ABC中，∠A=84°，∠B=60°，则∠C的度数为（
A.$36°$
B.$40°$
C.$46°$
D.$54°$
A
）A.$36°$
B.$40°$
C.$46°$
D.$54°$
答案
1. A
解析
【分析】
要计算△ABC中∠C的度数，首先回忆三角形内角和相关知识：任意三角形的三个内角之和为180°。本题已经给出了∠A和∠B的度数，因此直接用内角和减去两个已知角的度数，即可求出∠C的度数。
【解析】
根据三角形内角和定理可知，在△ABC中，$∠ A+∠ B+∠ C=180°$。
已知$∠ A=84°$，$∠ B=60°$，代入得：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-84°-60°=36°$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，是对三角形内角和定理的直接应用，解题时只需要牢记定理内容，准确代入数值计算即可，注意计算时不要出现度数加减的失误。
【难度系数】
0.9
要计算△ABC中∠C的度数，首先回忆三角形内角和相关知识：任意三角形的三个内角之和为180°。本题已经给出了∠A和∠B的度数，因此直接用内角和减去两个已知角的度数，即可求出∠C的度数。
【解析】
根据三角形内角和定理可知，在△ABC中，$∠ A+∠ B+∠ C=180°$。
已知$∠ A=84°$，$∠ B=60°$，代入得：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-84°-60°=36°$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，是对三角形内角和定理的直接应用，解题时只需要牢记定理内容，准确代入数值计算即可，注意计算时不要出现度数加减的失误。
【难度系数】
0.9
2. 如图13.3-2，C处在B处的北偏西$40°$方向，C处在A处的北偏西$75°$方向，则$∠ ACB$的度数为（
A.$35°$
B.$38°$
C.$40°$
D.$45°$
A
）A.$35°$
B.$38°$
C.$40°$
D.$45°$
答案
2. A
解析
【分析】
解这道题首先要明确隐含条件：所有正北方向的直线都是互相平行的。先根据方向角的定义，确定题目给出的两个北偏西角度对应的角，再结合平行线的性质推导角之间的数量关系，即可求出∠ACB的度数。
【解析】
解：
∵ 所有正北方向的直线互相平行，因此过点A的正北方向线与过点B的正北方向线平行。
根据方向角的定义：
C处在A处的北偏西75°，即AC与A处正北方向线的夹角为75°；
C处在B处的北偏西40°，即BC与B处正北方向线的夹角为40°。
结合平行线的性质，两个方向角的差即为∠ACB的度数：
$∠ ACB = 75° - 40° = 35°$
【答案】
A
【知识点】
方向角的识别；平行线的性质
【点评】
本题结合方位角考查平行线的性质应用，解题关键是掌握正北方向的直线互相平行这一隐含条件，理清各角之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解这道题首先要明确隐含条件：所有正北方向的直线都是互相平行的。先根据方向角的定义，确定题目给出的两个北偏西角度对应的角，再结合平行线的性质推导角之间的数量关系，即可求出∠ACB的度数。
【解析】
解：
∵ 所有正北方向的直线互相平行，因此过点A的正北方向线与过点B的正北方向线平行。
根据方向角的定义：
C处在A处的北偏西75°，即AC与A处正北方向线的夹角为75°；
C处在B处的北偏西40°，即BC与B处正北方向线的夹角为40°。
结合平行线的性质，两个方向角的差即为∠ACB的度数：
$∠ ACB = 75° - 40° = 35°$
【答案】
A
【知识点】
方向角的识别；平行线的性质
【点评】
本题结合方位角考查平行线的性质应用，解题关键是掌握正北方向的直线互相平行这一隐含条件，理清各角之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
【例1】如图13.3-3，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连接DF，使∠1=∠D.
（1）求证：DF//BC.
（2）当∠A=36°，∠DFE=34°时，求∠2的度数.
【点拨】（1）要关注相等的角，进行角的转移，最后推得相关的内错角相等，从而得到平行的结论.（2）通过三角形内角和定理，根据已知两个角可以求第三个角，逐步寻找相关角的度数求解.
（1）求证：DF//BC.
（2）当∠A=36°，∠DFE=34°时，求∠2的度数.
【点拨】（1）要关注相等的角，进行角的转移，最后推得相关的内错角相等，从而得到平行的结论.（2）通过三角形内角和定理，根据已知两个角可以求第三个角，逐步寻找相关角的度数求解.
答案
（1）证明：
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB=∠1.
∵∠1=∠D，
∴∠DCB=∠D，
∴DF//BC.
（2）解：
∵DF//BC，∠DFE=34°，
∴∠B=∠DFE=34°. 在△ABC中，∠A=36°，∠B=34°，
∴∠ACB=180°-36°-34°=110°.
∵CD平分∠ACB，∠1=1/2∠ACB=55°，
∴∠2=180°-36°-55°=89°.
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB=∠1.
∵∠1=∠D，
∴∠DCB=∠D，
∴DF//BC.
（2）解：
∵DF//BC，∠DFE=34°，
∴∠B=∠DFE=34°. 在△ABC中，∠A=36°，∠B=34°，
∴∠ACB=180°-36°-34°=110°.
∵CD平分∠ACB，∠1=1/2∠ACB=55°，
∴∠2=180°-36°-55°=89°.
解析
【分析】
（1）要证明DF//BC，可通过证明内错角相等推导：首先根据角平分线的定义可得∠DCB=∠1，结合已知∠1=∠D，等量代换得到∠DCB=∠D，二者是DF、BC被CD所截形成的内错角，内错角相等即可推出两直线平行。
（2）求∠2的度数时，先利用第一问的平行结论，根据平行线的性质得到∠B=∠DFE，得出∠B的度数后，在△ABC中利用三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再通过角平分线的定义求出∠1的度数，最后在△AEC中利用三角形内角和定理即可算出∠2的度数。
【解析】
（1）证明：
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB=∠1.
∵∠1=∠D，
∴∠DCB=∠D，
∴DF//BC.
（2）解：
∵DF//BC，∠DFE=34°，
∴∠B=∠DFE=34°.
在△ABC中，∠A=36°，∠B=34°，
∴∠ACB=180°-36°-34°=110°.
∵CD平分∠ACB，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ACB=55°，
∴∠2=180°-36°-55°=89°.
【答案】
（1）DF//BC，证明成立；
（2）∠2的度数为89°
【知识点】
平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是理清角之间的等量关系，熟练运用角平分线、平行线、三角形内角和的相关性质进行代换推导，是平面几何的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
（1）要证明DF//BC，可通过证明内错角相等推导：首先根据角平分线的定义可得∠DCB=∠1，结合已知∠1=∠D，等量代换得到∠DCB=∠D，二者是DF、BC被CD所截形成的内错角，内错角相等即可推出两直线平行。
（2）求∠2的度数时，先利用第一问的平行结论，根据平行线的性质得到∠B=∠DFE，得出∠B的度数后，在△ABC中利用三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再通过角平分线的定义求出∠1的度数，最后在△AEC中利用三角形内角和定理即可算出∠2的度数。
【解析】
（1）证明：
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB=∠1.
∵∠1=∠D，
∴∠DCB=∠D，
∴DF//BC.
（2）解：
∵DF//BC，∠DFE=34°，
∴∠B=∠DFE=34°.
在△ABC中，∠A=36°，∠B=34°，
∴∠ACB=180°-36°-34°=110°.
∵CD平分∠ACB，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ACB=55°，
∴∠2=180°-36°-55°=89°.
【答案】
（1）DF//BC，证明成立；
（2）∠2的度数为89°
【知识点】
平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是理清角之间的等量关系，熟练运用角平分线、平行线、三角形内角和的相关性质进行代换推导，是平面几何的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
