例2 说明下列等式变形的依据：
（1）若$x=0.5$，则$2x=1$，依据是；
（2）若$x-3=2$，则$x-3+3=2+3$，依据是；
（3）若$4x=8$，则$x=2$，依据是.
解析（1）等式$x=0.5$的两边同时乘2，得到$2x=1$，因此依据是等式的性质2.
（2）等式$x-3=2$的两边同时加3，得到$x-3+3=2+3$，因此依据是等式的性质1.
（3）等式$4x=8$的两边同时除以4，得到$x=2$，因此依据是等式的性质2.
答案（1）等式的性质2
（2）等式的性质1
（3）等式的性质2

（1）等式的性质2
（2）等式的性质1
（3）等式的性质2

【分析】
解题时首先要明确等式的两个基本性质的内容：等式性质1是等式两边同时加上（或减去）同一个数（或整式），等式仍然成立；等式性质2是等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。接下来逐一分析每个小题的等式变形操作：（1）是等式两边同时乘2，属于乘同一个数的操作；（2）是等式两边同时加3，属于加同一个数的操作；（3）是等式两边同时除以不为0的4，属于除以同一个非零数的操作，最后将操作对应到匹配的等式性质即可。
【解析】
（1）等式$x=0.5$的两边同时乘2，得到$2x=1$，符合等式两边同时乘同一个数等式仍成立的规律，因此依据是等式的性质2。
（2）等式$x-3=2$的两边同时加3，得到$x-3+3=2+3$，符合等式两边同时加同一个数等式仍成立的规律，因此依据是等式的性质1。
（3）等式$4x=8$的两边同时除以4（4≠0），得到$x=2$，符合等式两边同时除以同一个不为0的数等式仍成立的规律，因此依据是等式的性质2。
【答案】
（1）等式的性质2
（2）等式的性质1
（3）等式的性质2
【知识点】
等式的性质1、等式的性质2
【点评】
本题是等式性质的基础应用类题目，核心考查对等式两个性质的区分与应用，熟练掌握两个性质的适用条件是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.9

知识点二 利用等式的性质解简单的一元一次方程
1. 利用等式的性质解方程：
解以$x$为未知数的方程，就是把方程逐步转化为$x=m$（常数）的形式。等式的性质是转化的重要依据。
2. 检验：
一般地，从方程解出未知数的值以后，通常需要代入________检验，看这个值能否使方程左、右两边的值相等。

2. 原方程

【分析】
这道题考查方程检验的基本概念，解题时首先明确检验的目的：验证求解得到的未知数的值是否是原方程的解。由于解方程的过程中可能因变形失误得到错误的解，因此不能代入变形后的方程检验，必须代入最开始的原方程，分别计算左右两边的结果判断是否相等，就能确定该值是否为正确的解。
【解析】
根据方程检验的规范要求：从方程解出未知数的值后，需要将该值代入原方程，分别计算方程左边和右边的数值，若左、右两边的值相等，说明该值是原方程的解；若不相等，说明求解过程存在错误。因此横线处应填写“原方程”。
【答案】
原方程
【知识点】
方程的检验；一元一次方程的解
【点评】
本题属于基础概念题，考查解方程后检验的基本操作要求，掌握该检验方法能有效排查解方程过程中的计算错误，是解方程必备的基础技能。
【难度系数】
0.9

例3 根据等式的性质填空：
（1）如果 $ x=3x+2 $，那么 $ x - \_\_\_\_\_\_ =2 $；
（2）如果 $ -2x=2y $，那么 $ x= \_\_\_\_\_\_ $；
（3）如果 $ -\frac{x}{10}=\frac{y}{5} $，那么 $ x= \_\_\_\_\_\_ $。
解析（1）根据等式的性质1，右边减去3x，左边也减去3x，结果仍相等。
（2）根据等式的性质2，左边除以－2，右边也除以－2，结果仍相等。
（3）根据等式的性质2，左边乘－10，右边也乘－10，结果仍相等。
答案（1）$ 3x $ （2）$ -y $ （3）$ -2y $
特别提醒
在利用等式的性质解简单的一元一次方程时，等式两边要同时加（或减）同一个数；等式两边的每一项要同时乘同一个数，或同时除以同一个不为0的数。
例4 利用等式的性质补全下列解方程的过程：$ 3-\frac{1}{3}x=4 $。
解 根据等式的性质1，两边同时 ______，
得 $ 3-\frac{1}{3}x -3=4 \_\_\_\_\_\_ $，于是 $ -\frac{1}{3}x= \_\_\_\_\_\_ $。
根据 ______，两边同时乘－3，可得 $ x= \_\_\_\_\_\_ $。
检验：将 $ x= \_\_\_\_\_\_ $ 代入方程 $ 3-\frac{1}{3}x=4 $ 的左边，得
$\_\_\_\_\_\_=4$。方程左、右两边的值相等，所以 $ x= \_\_\_\_\_\_ $
是方程 $ 3-\frac{1}{3}x=4 $ 的解。
解析 根据等式的性质1，两边同时减3，可得 $ 3-\frac{1}{3}x -3=4-3 $，于是 $ -\frac{1}{3}x=1 $。根据等式的性质2，两边同时乘－3，可得 $ x=-3 $。
答案 减3 －3 1 等式的性质2 －3 －3 $ 3-\frac{1}{3}×(-3) $ －3

（1）3x （2）-y （3）-2y 减3 －3 1 等式的性质2 －3 －3 $ 3-\frac{1}{3}×(-3) $ －3

【分析】
这组题目核心考查等式的基本性质的应用，分为直接利用性质填空和补全解方程流程两类题型。解题思路如下：首先明确等式的两个核心性质：性质1为等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；性质2为等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。解题时只需观察目标式和原式的差异，对应选择合适的等式性质，对等式两边做相同运算即可。例3的三个小问分别对应减相同式子、除以不为0的数、乘相同数的运算；例4按照解方程的步骤，先消去常数项，再将未知数系数化为1，最后代入检验即可。
【解析】
例3解答：
（1）已知$x=3x+2$，要使等式右侧仅剩下2，根据等式的性质1，等式两边同时减去$3x$，左侧变为$x-3x$，右侧变为$3x+2-3x=2$，因此横线处填$3x$。
（2）已知$-2x=2y$，要将左侧$x$的系数化为1，根据等式的性质2，等式两边同时除以$-2$，左侧为$x$，右侧为$2y÷(-2)=-y$，因此横线处填$-y$。
（3）已知$-\frac{x}{10}=\frac{y}{5}$，要将左侧$x$的系数化为1，根据等式的性质2，等式两边同时乘$-10$，左侧为$x$，右侧为$\frac{y}{5}×(-10)=-2y$，因此横线处填$-2y$。
例4解答：
解方程$3-\frac{1}{3}x=4$：
1. 消去左侧常数项：根据等式的性质1，两边同时减3，得$3-\frac{1}{3}x -3=4-3$，化简后得$-\frac{1}{3}x=1$。
2. 将$x$的系数化为1：根据等式的性质2，两边同时乘$-3$，可得$x=-3$。
3. 检验：将$x=-3$代入方程左侧，得$3-\frac{1}{3}×(-3)=3+1=4$，方程左右两边值相等，所以$x=-3$是原方程的解。
【答案】
（1）$3x$ （2）$-y$ （3）$-2y$；减3；$－3$；$1$；等式的性质2；$－3$；$－3$；$ 3-\frac{1}{3}×(-3) $；$－3$
【知识点】
等式的基本性质；利用等式性质解方程；方程的检验
【点评】
本组题目是一元一次方程求解的基础题型，重点考察等式性质的规范使用，解题时需注意等式两边必须同时进行完全相同的运算，避免出现漏减、漏乘的错误，熟练掌握该知识点是后续解复杂方程的核心基础。
【难度系数】
0.8