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8. 如图，点 $ C $，$ D $ 在线段 $ AB $ 上，且 $ △ PCD $ 是等边三角形.当 $ △ PDB ∼ △ ACP $ 时，$ ∠ APB $ 的度数为
$120^{\circ}$
.答案
8. $120^{\circ}$
解析
证明：
∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD=∠PDC=60°，PC=PD=CD．
∵△PDB∽△ACP，
∴∠A=∠BPD，∠ACP=∠PDB．
∵∠ACP=180°-∠PCD=120°，
∴∠PDB=120°，
∴∠PDA=180°-∠PDB=60°．
在△ACP中，∠APC=180°-∠A-∠ACP=180°-∠A-120°=60°-∠A．
∵∠APB=∠APC+∠CPD+∠DPB，∠CPD=60°，∠DPB=∠A，
∴∠APB=(60°-∠A)+60°+∠A=120°．
$120^{\circ}$
∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD=∠PDC=60°，PC=PD=CD．
∵△PDB∽△ACP，
∴∠A=∠BPD，∠ACP=∠PDB．
∵∠ACP=180°-∠PCD=120°，
∴∠PDB=120°，
∴∠PDA=180°-∠PDB=60°．
在△ACP中，∠APC=180°-∠A-∠ACP=180°-∠A-120°=60°-∠A．
∵∠APB=∠APC+∠CPD+∠DPB，∠CPD=60°，∠DPB=∠A，
∴∠APB=(60°-∠A)+60°+∠A=120°．
$120^{\circ}$
9. 如图，在矩形 $ ABCD $ 中，$ AB = 1 $，在 $ BC $ 上取一点 $ E $，沿 $ AE $ 将 $ △ ABE $ 向上折叠，使点 $ B $ 落在 $ AD $ 上的点 $ F $ 处.若四边形 $ EFDC $ 与矩形 $ ABCD $ 相似，则 $ AD = $
$ \frac { \sqrt { 5 } + 1 } { 2 } $
.答案
9. $ \frac { \sqrt { 5 } + 1 } { 2 } $
解析
解：设 $AD = x$，则 $BC = x$，$CD = AB = 1$。
由折叠性质得：$AF = AB = 1$，$EF = BE$，$∠ AFE = ∠ B = 90°$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，$\therefore FD = AD - AF = x - 1$，$EF = AB = 1$，$EC = BC - BE = x - 1$。
$\because$ 四边形 $EFDC$ 与矩形 $ABCD$ 相似，$\therefore \frac{FD}{AB} = \frac{CD}{AD}$，即 $\frac{x - 1}{1} = \frac{1}{x}$。
整理得：$x^2 - x - 1 = 0$，解得 $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$（负值舍去）。
$\therefore AD = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$。
$\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$
由折叠性质得：$AF = AB = 1$，$EF = BE$，$∠ AFE = ∠ B = 90°$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，$\therefore FD = AD - AF = x - 1$，$EF = AB = 1$，$EC = BC - BE = x - 1$。
$\because$ 四边形 $EFDC$ 与矩形 $ABCD$ 相似，$\therefore \frac{FD}{AB} = \frac{CD}{AD}$，即 $\frac{x - 1}{1} = \frac{1}{x}$。
整理得：$x^2 - x - 1 = 0$，解得 $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$（负值舍去）。
$\therefore AD = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$。
$\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$
10. (2024·虎丘区月考)如图，长 $ CD $ 与 $ C'D' $ 之间的距离为 1，宽 $ AD $ 与 $ A'D' $ 之间的距离为 $ x $，若矩形 $ ABCD $ 的长 $ AB = 30 $，宽 $ BC = 20 $，当 $ x = $
1.5或9
时，图中的两个矩形 $ ABCD $ 与 $ A'B'C'D' $ 相似.答案
10. 1.5或9
解析
解：矩形$A'B'C'D'$的长为$30 - 2x$，宽为$20 - 2×1=18$。
情况1：$\frac{30}{20}=\frac{30 - 2x}{18}$，解得$x = 1.5$。
情况2：$\frac{30}{20}=\frac{18}{30 - 2x}$，解得$x = 9$。
综上，$x = 1.5$或$9$。
情况1：$\frac{30}{20}=\frac{30 - 2x}{18}$，解得$x = 1.5$。
情况2：$\frac{30}{20}=\frac{18}{30 - 2x}$，解得$x = 9$。
综上，$x = 1.5$或$9$。
11. 如图，在 $ □ ABCD $ 中，$ AC $ 与 $ BD $ 交于点 $ O $，$ F $，$ E $，$ M $，$ N $ 分别是 $ AO $，$ BO $，$ CO $，$ DO $ 的中点，连接 $ FE $，$ EM $，$ MN $，$ NF $，得到 $ □ FEMN $.求证：$ □ ABCD ∼ □ FEMN $.
答案
11. 证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AB // CD$，$AD // BC$，$OA = OC$，$OB = OD$．
∵ $F$，$E$，$M$，$N$ 分别是 $AO$，$BO$，$CO$，$DO$ 的中点，
∴ $FN // EM // AD // BC$，$EF // NM // AB // CD$，$EM = FN = \frac { 1 } { 2 }CB$，$EF = NM = \frac { 1 } { 2 }AB$，
∴ $ ∠ FEM = ∠ FNM = ∠ ABC = ∠ ADC$，$ ∠ BAD = ∠ EFN = ∠ BCD = ∠ EMN$，
∴ $ □ ABCD ∽ □ FEMN$．
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AB // CD$，$AD // BC$，$OA = OC$，$OB = OD$．
∵ $F$，$E$，$M$，$N$ 分别是 $AO$，$BO$，$CO$，$DO$ 的中点，
∴ $FN // EM // AD // BC$，$EF // NM // AB // CD$，$EM = FN = \frac { 1 } { 2 }CB$，$EF = NM = \frac { 1 } { 2 }AB$，
∴ $ ∠ FEM = ∠ FNM = ∠ ABC = ∠ ADC$，$ ∠ BAD = ∠ EFN = ∠ BCD = ∠ EMN$，
∴ $ □ ABCD ∽ □ FEMN$．
12. 如图，$ E $ 是菱形 $ ABCD $ 的对角线 $ CA $ 的延长线上任意一点，以线段 $ AE $ 为边作一个菱形 $ AEFG $，且菱形 $ AEFG ∼ $菱形 $ ABCD $，连接 $ EB $，$ GD $.
(1) 求证：$ EB = GD $；
(2) 若 $ ∠ DAB = 60^{\circ} $，$ AB = 2 $，$ AG = \sqrt{3} $，求 $ GD $ 的长.
(1) 求证：$ EB = GD $；
(2) 若 $ ∠ DAB = 60^{\circ} $，$ AB = 2 $，$ AG = \sqrt{3} $，求 $ GD $ 的长.
答案
12. (1) 证明：
∵ 菱形 $AEFG ∽ $ 菱形 $ABCD$，
∴ $ ∠ EAG = ∠ BAD$，
∴ $ ∠ EAG + ∠ GAB = ∠ BAD + ∠ GAB$，
∴ $ ∠ EAB = ∠ GAD$．
∵ 四边形 $AEFG$，四边形 $ABCD$ 都是菱形，
∴ $AE = AG$，$AB = AD$，
∴ $ △ AEB ≌ △ AGD$，
∴ $EB = GD$．
(2) 解：如答图，连接 $BD$ 交 $AC$ 于点 $P$，则 $BP ⊥ AC$；
∵ $ ∠ DAB = 60^{\circ}$，
∴ $ ∠ PAB = 30^{\circ}$，
∴ $BP = \frac { 1 } { 2 }AB = 1$，$AP = \sqrt { AB ^ { 2 } - BP ^ { 2 } } = \sqrt { 3 }$．
∵ $AE = AG = \sqrt { 3 }$，
∴ $EP = 2\sqrt { 3 }$，
∴ $EB = \sqrt { EP ^ { 2 } + BP ^ { 2 } } = \sqrt { 13 }$，
∴ $GD = EB = \sqrt { 13 }$．
13. 经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”.已知线段 $ CD $ 是 $ △ ABC $ 的“和谐分割线”，$ △ ACD $ 为等腰三角形，$ △ CBD $ 和 $ △ ABC $ 相似，$ ∠ A = 46^{\circ} $，求 $ ∠ ACB $ 的度数.
答案
13. 解：如答图，由题意可知 $ △ BCD ∽ △ BAC$，
∴ $ ∠ BCD = ∠ A = 46^{\circ}$．
∵ $ △ ACD$ 是等腰三角形，$ ∠ ADC ＞ ∠ BCD$，
∴ $ ∠ ADC ＞ ∠ A$，即 $AC ≠ CD$，
当 $AC = AD$ 时，$ ∠ ACD = ∠ ADC = \frac { 1 } { 2 } × ( 180^{\circ} - 46^{\circ} ) = 67^{\circ}$，
∴ $ ∠ ACB = 67^{\circ} + 46^{\circ} = 113^{\circ}$；
当 $DA = DC$ 时，$ ∠ ACD = ∠ A = 46^{\circ}$，
∴ $ ∠ ACB = 46^{\circ} + 46^{\circ} = 92^{\circ}$．
∴ $ ∠ ACB$ 的度数为 $113^{\circ}$ 或 $92^{\circ}$．
