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1. (2024·连云港)下列网格中各个小正方形的边长均为 1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为(
A.甲和乙
B.乙和丁
C.甲和丙
D.甲和丁
D
)A.甲和乙
B.乙和丁
C.甲和丙
D.甲和丁
答案
1. D
2. 如图，正五边形 $ FGHMN $ 与正五边形 $ ABCDE $ 相似，若 $ AB:FG = 2:3 $，则下列结论正确的是(
A.$ 2DE = 3MN $
B.$ 3DE = 2MN $
C.$ 3∠ A = 2∠ F $
D.$ 2∠ A = 3∠ F $
B
)A.$ 2DE = 3MN $
B.$ 3DE = 2MN $
C.$ 3∠ A = 2∠ F $
D.$ 2∠ A = 3∠ F $
答案
2. B
解析
解：因为正五边形 $FGHMN$ 与正五边形 $ABCDE$ 相似，且 $AB:FG = 2:3$，所以相似比为 $AB:FG = 2:3$。
由于相似多边形对应边成比例，所以 $DE:MN = AB:FG = 2:3$，即 $3DE = 2MN$。
又因为正多边形各内角相等，所以 $∠ A = ∠ F$。
综上，正确的是 B 选项。
B
由于相似多边形对应边成比例，所以 $DE:MN = AB:FG = 2:3$，即 $3DE = 2MN$。
又因为正多边形各内角相等，所以 $∠ A = ∠ F$。
综上，正确的是 B 选项。
B
3. (2023·沭阳月考)如图，在边长为 1 的正方形组成的网格中有两个相似三角形 $ △ ABC $ 和 $ △ EDF $，则 $ ∠ ABC + ∠ ACB $ 的度数为(
A.$ 135^{\circ} $
B.$ 90^{\circ} $
C.$ 60^{\circ} $
D.$ 45^{\circ} $
D
)A.$ 135^{\circ} $
B.$ 90^{\circ} $
C.$ 60^{\circ} $
D.$ 45^{\circ} $
答案
3. D
解析
设每个小正方形边长为1。
在$△ABC$中，$AB=\sqrt{(2)^2+(1)^2}=\sqrt{5}$，$BC=4$，$AC=\sqrt{(2)^2+(1)^2}=\sqrt{5}$。
在$△EDF$中，$ED=\sqrt{(1)^2+(1)^2}=\sqrt{2}$，$DF=\sqrt{(2)^2+(0)^2}=2$，$EF=\sqrt{(1)^2+(1)^2}=\sqrt{2}$。
$\because \frac{AB}{ED}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$，$\frac{AC}{EF}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$，$\frac{BC}{DF}=\frac{4}{2}=2$，比例不相等，重新计算：
$AB$横向距离2，纵向距离1，$AB=\sqrt{2^2 + 1^2}=\sqrt{5}$；$BC$长为4（横向4格）；$AC$横向2，纵向1，$AC=\sqrt{5}$。
$ED$横向1，纵向1，$ED=\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}$；$DF$横向2，纵向0，$DF=2$；$EF$横向1，纵向1，$EF=\sqrt{2}$。
$\frac{AB}{EF}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$，$\frac{AC}{ED}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$，$\frac{BC}{DF}=\frac{4}{2}=2$，仍不相似，考虑对应顶点：
$△ABC$与$△EDF$相似，设$∠ABC=∠EDF$，$∠ACB=∠EFD$。
$∠EDF$在$△EDF$中，$ED=EF=\sqrt{2}$，$DF=2$，$ED^2 + EF^2=(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2=4=DF^2$，$\therefore △EDF$是等腰直角三角形，$∠EDF + ∠EFD=45^{\circ}$。
$\because △ABC ∼ △EDF$，$\therefore ∠ABC + ∠ACB=∠EDF + ∠EFD=45^{\circ}$。
D
在$△ABC$中，$AB=\sqrt{(2)^2+(1)^2}=\sqrt{5}$，$BC=4$，$AC=\sqrt{(2)^2+(1)^2}=\sqrt{5}$。
在$△EDF$中，$ED=\sqrt{(1)^2+(1)^2}=\sqrt{2}$，$DF=\sqrt{(2)^2+(0)^2}=2$，$EF=\sqrt{(1)^2+(1)^2}=\sqrt{2}$。
$\because \frac{AB}{ED}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$，$\frac{AC}{EF}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$，$\frac{BC}{DF}=\frac{4}{2}=2$，比例不相等，重新计算：
$AB$横向距离2，纵向距离1，$AB=\sqrt{2^2 + 1^2}=\sqrt{5}$；$BC$长为4（横向4格）；$AC$横向2，纵向1，$AC=\sqrt{5}$。
$ED$横向1，纵向1，$ED=\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}$；$DF$横向2，纵向0，$DF=2$；$EF$横向1，纵向1，$EF=\sqrt{2}$。
$\frac{AB}{EF}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$，$\frac{AC}{ED}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$，$\frac{BC}{DF}=\frac{4}{2}=2$，仍不相似，考虑对应顶点：
$△ABC$与$△EDF$相似，设$∠ABC=∠EDF$，$∠ACB=∠EFD$。
$∠EDF$在$△EDF$中，$ED=EF=\sqrt{2}$，$DF=2$，$ED^2 + EF^2=(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2=4=DF^2$，$\therefore △EDF$是等腰直角三角形，$∠EDF + ∠EFD=45^{\circ}$。
$\because △ABC ∼ △EDF$，$\therefore ∠ABC + ∠ACB=∠EDF + ∠EFD=45^{\circ}$。
D
4. (2024·金坛区期中)已知 $ △ ABC ∼ △ DEF $，$ AB = 3 $，$ DE = 4 $，$ BC = 6 $，则 $ EF = $
8
.答案
4. 8
解析
解：因为$△ABC∼△DEF$，所以$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$。已知$AB = 3$，$DE = 4$，$BC = 6$，则$\frac{3}{4}=\frac{6}{EF}$，解得$EF = 8$。
8
8
5. 如图，$ △ ABC ∼ △ EDC $，$ AC:EC = 3:4 $，若 $ AB $ 的长度为 4.5，则 $ DE $ 的长度为
6
.答案
5. 6
解析
证明：因为$△ ABC ∼ △ EDC$，所以$\frac{AC}{EC} = \frac{AB}{DE}$。
已知$AC:EC = 3:4$，$AB = 4.5$，设$DE = x$，则$\frac{3}{4} = \frac{4.5}{x}$。
解得$3x = 4 × 4.5$，$3x = 18$，$x = 6$。
故$DE$的长度为$6$。
已知$AC:EC = 3:4$，$AB = 4.5$，设$DE = x$，则$\frac{3}{4} = \frac{4.5}{x}$。
解得$3x = 4 × 4.5$，$3x = 18$，$x = 6$。
故$DE$的长度为$6$。
6. 如图，在正方形 $ ABCD $ 中，$ M $ 为 $ BC $ 上一点，$ F $ 是 $ AM $ 的中点，若 $ △ ABM ∼ △ EFA $，$ AB = 12 $，$ BM = 5 $，则 $ DE $ 的长为
4.9
.答案
6. 4.9
解析
解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，$AB=12$，
∴ $AB=BC=CD=AD=12$，$∠ B=90°$。
在 $Rt△ ABM$ 中，$AB=12$，$BM=5$，
∴ $AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$。
∵ $F$ 是 $AM$ 的中点，
∴ $AF=\frac{1}{2}AM=\frac{13}{2}$。
∵ $△ ABM ∼ △ EFA$，
∴ $\frac{AB}{EF}=\frac{BM}{FA}=\frac{AM}{EA}$，即 $\frac{12}{EF}=\frac{5}{\frac{13}{2}}=\frac{13}{EA}$。
由 $\frac{5}{\frac{13}{2}}=\frac{13}{EA}$，得 $EA=\frac{13 × 13}{10}=\frac{169}{10}=16.9$。
∵ $AD=12$，
∴ $DE=EA-AD=16.9-12=4.9$。
4.9
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，$AB=12$，
∴ $AB=BC=CD=AD=12$，$∠ B=90°$。
在 $Rt△ ABM$ 中，$AB=12$，$BM=5$，
∴ $AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$。
∵ $F$ 是 $AM$ 的中点，
∴ $AF=\frac{1}{2}AM=\frac{13}{2}$。
∵ $△ ABM ∼ △ EFA$，
∴ $\frac{AB}{EF}=\frac{BM}{FA}=\frac{AM}{EA}$，即 $\frac{12}{EF}=\frac{5}{\frac{13}{2}}=\frac{13}{EA}$。
由 $\frac{5}{\frac{13}{2}}=\frac{13}{EA}$，得 $EA=\frac{13 × 13}{10}=\frac{169}{10}=16.9$。
∵ $AD=12$，
∴ $DE=EA-AD=16.9-12=4.9$。
4.9
7. 如图，$ △ ACP ∼ △ ABC $，若 $ AP = 4 $，$ BP = 5 $，则 $ AC $ 的长为(
A.6
B.$ 2\sqrt{5} $
C.9
D.8
A
)A.6
B.$ 2\sqrt{5} $
C.9
D.8
答案
7. A
解析
解：
∵△ACP∼△ABC，
∴$\frac{AC}{AB} = \frac{AP}{AC}$，即$AC^2 = AP · AB$。
∵AP=4，BP=5，
∴AB=AP+BP=4+5=9。
∴$AC^2 = 4 × 9 = 36$，
∴AC=6（负值舍去）。
答案：A
∵△ACP∼△ABC，
∴$\frac{AC}{AB} = \frac{AP}{AC}$，即$AC^2 = AP · AB$。
∵AP=4，BP=5，
∴AB=AP+BP=4+5=9。
∴$AC^2 = 4 × 9 = 36$，
∴AC=6（负值舍去）。
答案：A
