8.(2025·栖霞区月考)如图,四边形ABCD内接于$\odot O,AE⊥CB$交CB的延长线于点E,若BA平分$∠DBE,AD=6,CE=4$,则AE的长为 （）

A.2
B.3
C.$2\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{5}$

8.D

9. 如图,在$\odot O$的内接四边形$ABCD$中,$AB=AD$,$∠ C=110°$. 若点$E$在$\overset{\frown}{AD}$上,则$∠ E=$

125

°.

9.125

10.如图,AB,CD是$\odot O$的弦,$AB⊥ CD$,BE是$\odot O$的直径.若$AC=3$,则$DE=$.

10.3

11. 如图, 四边形 $ABCD$ 内接于$\odot O, ∠ ABC=60°$, 对角线 $DB$ 平分 $∠ ADC$.
(1)求证: $△ ABC$ 是等边三角形;
(2)过点 $B$ 作 $BE // CD$ 交 $DA$ 的延长线于点 $E$, 若 $AD=2, DC=3$, 求 $△ BDE$ 的周长.

11.(1)证明:
∵四边形 ABCD 内接于$\odot O$,
∴∠ABC+∠ADC=180°.
∵∠ABC=60°,
∴∠ADC=120°.
∵DB平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB=60°,
∴∠ACB=∠ADB=60°,∠BAC=∠CDB=60°,
∴∠ABC=∠BCA=∠BAC,
∴△ABC是等边三角形.
(2)解:
∵BE//CD,
∴∠EBD=∠BDC.
∵∠ADB=∠CDB=60°,
∴∠EBD=∠EDB=60°,
∴△BDE是等边三角形,
∴BE=BD. 又
∵△ABC为等边三角形,
∴∠EBD=∠ABC=60°,AB=CB,
∴∠ABE=∠CBD. 在△ABE和△CBD中，
$\begin{cases} BE=BD, \\ ∠ABE=∠CBD, \\ AB=CB, \end{cases}$
∴△ABE≌△CBD(SAS)，
∴AE=CD=3,
∴DE=AE+AD=5，
∴△BDE的周长为15.

12. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,过$B,C$两点的$\odot O$交$AC$于点$D$,交$AB$于点$E$,连接$EO$并延长交$\odot O$于点$F$,连接$BF,CF,ED$.若$∠ EDC=135°$,$CF=2\sqrt{2}$,求$AE^2+BE^2$的值.

12.解:
∵四边形 BCDE 内接于$\odot O$,且∠EDC=135°,
∴∠EFC=∠ABC=180°-∠EDC=45°.
∵∠ACB=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC.
又
∵EF是$\odot O$的直径,
∴∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°,
∴∠BCF=∠ACE.
∵四边形 BECF 是$\odot O$的内接四边形，
∴∠BEC+∠BFC=180°.
∵∠BEC+∠AEC=180°,
∴∠AEC=∠BFC,
∴△ACE≌△BCF(AAS)，
∴AE=BF,EC=FC.
在Rt△ECF中,$CF=2\sqrt{2}$,
∴$EF^2=CE^2+CF^2=16$,
则$AE^2+BE^2=BF^2+BE^2=EF^2=16$.