12.（2025·望城区模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线.若∠CAD=20°，则∠ABE的度数为（）

A.20°
B.35°
C.40°
D.70°

B

13. (2025·灞桥区模拟)如图，M，N为4×4方格纸中格点上的两点，若以MN为边，在方格中取一点P(P在格点上)，使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为 ()

A.3个
B.4个
C.5个
D.6个

C

14. (2024秋·枣阳市期末)如图,四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD.我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”.AC,BD相交于点O,请结合图形写出一个正确的数学结论.

AC⊥BD(答案不唯一)

15. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD\bot BC$于点$D$.
（1）若$∠ C=42°$,求$∠ BAD$的度数；
（2）若点$E$在边$AB$上,$EF// AC$交$AD$的延长线于点$F$.求证:$AE=FE$.

(1)
∵ AB=AC,AD⊥BC 于点 D,
∴ ∠BAD = ∠CAD,∠ADC = 90°. 又∠C = 42°,
∴ ∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°;
(2)
∵ AB=AC,AD⊥BC 于点 D,
∴ ∠BAD=∠CAD.
∵ EF//AC,
∴ ∠F=∠CAD,
∴ ∠BAD=∠F,
∴ AE=FE.

16.（2024秋·江阴市期中）如图，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点.
（1）求证：MN⊥DE.
（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明你的猜想.
（3）当∠BAC变为钝角时，如图2，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若成立，直接回答，不需证明；若不成立，请说明理由.

(1) 证明:如图 1,连接 DM,ME,
∵ CD,BE 分别是 AB,AC 边上的高,M 是 BC 的中点,
∴ DM = $\frac{1}{2}$BC,ME = $\frac{1}{2}$BC,
∴ DM = ME,又
∵ N 为 DE 中点,
∴ MN⊥DE;
(2) 在△ABC 中,∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A,
∵ DM = ME = BM = MC,
∴ ∠BMD + ∠CME = (180° - 2∠ABC) + (180° - 2∠ACB) = 360° - 2(∠ABC + ∠ACB) = 360° - 2(180° - ∠A) = 2∠A,
∴ ∠DME = 180° - 2∠A;
(3) 结论(1)成立,结论(2)不成立,理由如下:如图 2,连接 DM,ME,在△ABC 中,∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠BAC.
∵ DM = ME = BM = MC,
∴ ∠BME + ∠CMD = 2∠ACB + 2∠ABC = 2(180° - ∠BAC) = 360° - 2∠BAC,
∴ ∠DME = 180° - (360° - 2∠BAC) = 2∠BAC - 180°.