7. (2024·绥化)如图，$AB// CD$，$∠ C=33°$，$OC=OE$.则$∠ A=$°.

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8. (2024秋·石城县期末)如图，$△ ABC$中，$AB=AC$，$DE⊥ AB$于点$E$，$DF⊥ AC$于点$F$，且$DE=DF$，则下列结论中正确的有________。
①$AD$平分$∠ BAC$；②$AD⊥ BC$；③$BD=CD$；④$∠ EDA=∠ BDE$。

①②③

9. (2025春·射阳县阶段考)如图,已知在$△ ABC$中,AB边的垂直平分线$l_1$交BC于点D,AC边的垂直平分线$l_2$交BC于点E,$l_1$与$l_2$相交于点O,连接OB,OC,若$△ ADE$的周长为8 cm,$△ OBC$的周长为18 cm.
(1) 求线段BC的长;
(2) 连接OA,求证:$OB=OC$;
(3) 求线段OA的长.

(1) 解:
∵ $l_1$ 是 AB 边的垂直平分线,
∴ DA=DB.
∵ $l_2$ 是 AC 边的垂直平分线,
∴ EA=EC.
∵ $△ADE$ 的周长为 8 cm,
∴ BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=8(cm),
∴ BC=8 cm;
(2) 证明:如图,连接OA,
∵ $l_1$ 是 AB 边的垂直平分线,
∴ OA=OB.
∵ $l_2$ 是 AC 边的垂直平分线,
∴ OA=OC,
∴ OB=OC;
(3) 解:
∵ $△OBC$ 的周长为 18 cm,
∴ OB+OC+BC=18 cm.
∵ BC=8 cm,
∴ OB=OC=5(cm).
∵ OA=OB,
∴ OA=5 cm.

10. (2024秋·荣昌区期中)如图，A，B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部且CA=CB，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD=BE.
(1) 求证:OC平分∠MON；
(2) 如果AO=12，BO=4，求OD的长.

(1) 证明:
∵ CD⊥OM,CE⊥ON,
∴ ∠CDA=90°,∠CEB = 90°, 在 Rt△CDA 和 Rt△CEB 中,
$\begin{cases} CA=CB, \\ AD=BE, \end{cases}$
∴ Rt△CDA≌Rt△CEB(HL),
∴ CD=CE,
∴ 点 C 在$∠MON$ 的平分线上,
∴ OC 平分$∠MON$;
(2) 解:设 OD = x,
∵ OA=12,
∴ AD=OA-OD=12-x,
∴ AD=BE=12-x,在 Rt△OCD 和 Rt△OCE 中,
$\begin{cases} CD=CE, \\ OC=OC, \end{cases}$
∴ Rt△OCD≌Rt△OCE(HL),
∴ OD=OE=x,
∴ BO=OE-BE=x-(12-x)=2x-12.
∵ BO=4,
∴ 2x-12=4,解得:x=8,
∴ OD=8.

11. (2025·兰州模拟)如图,在△ABC中,已知∠A=30°,∠ABC=70°,D为AC边上一点,且AD=BD.则∠DBC= ()

A.70°
B.60°
C.50°
D.40°

D