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8.《见多识广》栏目共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分，要得到34分，必须答对的题数是（
A.5
B.6
C.7
D.8
D
）A.5
B.6
C.7
D.8
答案
8.D
解析
【分析】
这是典型的倒扣类积分应用题，解题核心是找到正确的等量关系：最终总得分=答对题目获得的分数 - 不答或答错倒扣的分数。我们可以先设答对的题数为未知数，用总题数减去答对题数得到不答/答错的题数，再把对应数据代入等量关系列一元一次方程，求解即可得到答案。
【解析】
解：设必须答对的题数为$ x $道，则不答或答错的题数为$ (10 - x) $道。
根据题意可列方程：
$ 5x - 3(10 - x) = 34 $
去括号，得：$ 5x - 30 + 3x = 34 $
移项、合并同类项，得：$ 8x = 64 $
系数化为1，得：$ x = 8 $
即要得到34分必须答对8道题。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用；积分问题计算
【点评】
本题难度不高，易错点是列方程时误将倒扣的分数算成加法，解题时只要理清得分、扣分和最终得分的逻辑关系，就能快速求解。
【难度系数】
0.7
这是典型的倒扣类积分应用题，解题核心是找到正确的等量关系：最终总得分=答对题目获得的分数 - 不答或答错倒扣的分数。我们可以先设答对的题数为未知数，用总题数减去答对题数得到不答/答错的题数，再把对应数据代入等量关系列一元一次方程，求解即可得到答案。
【解析】
解：设必须答对的题数为$ x $道，则不答或答错的题数为$ (10 - x) $道。
根据题意可列方程：
$ 5x - 3(10 - x) = 34 $
去括号，得：$ 5x - 30 + 3x = 34 $
移项、合并同类项，得：$ 8x = 64 $
系数化为1，得：$ x = 8 $
即要得到34分必须答对8道题。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用；积分问题计算
【点评】
本题难度不高，易错点是列方程时误将倒扣的分数算成加法，解题时只要理清得分、扣分和最终得分的逻辑关系，就能快速求解。
【难度系数】
0.7
9.若整数$a$使关于$x$的一元一次方程$\frac{2+ax}{4}=2-\frac{a}{2}$有非正的整数解，则符合条件的所有整数$a$之和为（
A.$-6$
B.$-3$
C.$0$
D.$3$
B
）A.$-6$
B.$-3$
C.$0$
D.$3$
答案
9.B
解析
【分析】
首先求解关于x的一元一次方程，将x用含参数a的代数式表示，再根据“解是非正整数（即x≤0且x为整数）、a是整数”的条件，筛选出所有符合要求的a值，最后计算这些a的和即可。解题时要注意一元一次方程的一次项系数不能为0，筛选a时不要漏解也不要多解。
【解析】
解：先求解一元一次方程$\frac{2+ax}{4}=2-\frac{a}{2}$
1. 去分母，两边同时乘4，得：
$2 + ax = 8 - 2a$
2. 移项整理，将含x的项留在左边，其余项移到右边：
$ax = 8 - 2a - 2$
$ax = 6 - 2a$
因为方程是一元一次方程，所以x的系数$a≠0$，两边同时除以a，得：
$x = \frac{6 - 2a}{a} = \frac{6}{a} - 2$
根据题意，方程的解是非正的整数，即满足：① $x≤0$；② $x$是整数；③ $a$是整数且$a≠0$
由$x=\frac{6}{a}-2$是整数可知，$\frac{6}{a}$必须是整数，即a是6的因数，6的整数因数有$\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$。
再结合$x≤0$，即$\frac{6}{a}-2≤0$：
当a为负整数时，$\frac{6}{a}$为负数，$\frac{6}{a}-2＜0$，均满足x≤0，所以$a=-1,-2,-3,-6$均符合条件；
当a为正整数时，$\frac{6}{a}-2≤0$变形得$\frac{6}{a}≤2$，即$a≥3$，所以正因数中符合的是$a=3,6$。
将所有符合条件的a相加：
$(-1)+(-2)+(-3)+(-6)+3+6 = -3$
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程解法；不等式应用；整数解求解
【点评】
本题属于参数型一元一次方程的整数解问题，解题核心是先将未知数用参数表示，再结合解的限制条件筛选符合要求的参数值，需要注意分类讨论正负参数的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先求解关于x的一元一次方程，将x用含参数a的代数式表示，再根据“解是非正整数（即x≤0且x为整数）、a是整数”的条件，筛选出所有符合要求的a值，最后计算这些a的和即可。解题时要注意一元一次方程的一次项系数不能为0，筛选a时不要漏解也不要多解。
【解析】
解：先求解一元一次方程$\frac{2+ax}{4}=2-\frac{a}{2}$
1. 去分母，两边同时乘4，得：
$2 + ax = 8 - 2a$
2. 移项整理，将含x的项留在左边，其余项移到右边：
$ax = 8 - 2a - 2$
$ax = 6 - 2a$
因为方程是一元一次方程，所以x的系数$a≠0$，两边同时除以a，得：
$x = \frac{6 - 2a}{a} = \frac{6}{a} - 2$
根据题意，方程的解是非正的整数，即满足：① $x≤0$；② $x$是整数；③ $a$是整数且$a≠0$
由$x=\frac{6}{a}-2$是整数可知，$\frac{6}{a}$必须是整数，即a是6的因数，6的整数因数有$\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$。
再结合$x≤0$，即$\frac{6}{a}-2≤0$：
当a为负整数时，$\frac{6}{a}$为负数，$\frac{6}{a}-2＜0$，均满足x≤0，所以$a=-1,-2,-3,-6$均符合条件；
当a为正整数时，$\frac{6}{a}-2≤0$变形得$\frac{6}{a}≤2$，即$a≥3$，所以正因数中符合的是$a=3,6$。
将所有符合条件的a相加：
$(-1)+(-2)+(-3)+(-6)+3+6 = -3$
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程解法；不等式应用；整数解求解
【点评】
本题属于参数型一元一次方程的整数解问题，解题核心是先将未知数用参数表示，再结合解的限制条件筛选符合要求的参数值，需要注意分类讨论正负参数的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
10.已知关于$x$的方程$x+a=2x+1$的解与方程$4x-5=3(x-1)$的解相同，则$a$的值为
3
。答案
10.3
解析
【分析】
已知两个方程的解相同，解题时先求解不含参数的方程4x-5=3(x-1)，得到x的具体取值；再将x的值代入含参数a的方程x+a=2x+1中，转化为关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值。
【解析】
首先解方程$4x - 5 = 3(x - 1)$：
1. 去括号，得$4x - 5 = 3x - 3$
2. 移项，得$4x - 3x = 5 - 3$
3. 合并同类项，得$x = 2$
因为两个方程的解相同，将$x=2$代入$x + a = 2x + 1$，得：
$2 + a = 2×2 + 1$
计算右侧得$2 + a = 5$
移项计算得$a = 5 - 2 = 3$
【答案】
3
【知识点】
同解方程，一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础类题型，解题核心是利用同解方程的性质，先求出无参数方程的解，再代入含参数的方程计算参数值，计算过程简单，掌握一元一次方程的求解步骤即可正确作答。
【难度系数】
0.8
已知两个方程的解相同，解题时先求解不含参数的方程4x-5=3(x-1)，得到x的具体取值；再将x的值代入含参数a的方程x+a=2x+1中，转化为关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值。
【解析】
首先解方程$4x - 5 = 3(x - 1)$：
1. 去括号，得$4x - 5 = 3x - 3$
2. 移项，得$4x - 3x = 5 - 3$
3. 合并同类项，得$x = 2$
因为两个方程的解相同，将$x=2$代入$x + a = 2x + 1$，得：
$2 + a = 2×2 + 1$
计算右侧得$2 + a = 5$
移项计算得$a = 5 - 2 = 3$
【答案】
3
【知识点】
同解方程，一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础类题型，解题核心是利用同解方程的性质，先求出无参数方程的解，再代入含参数的方程计算参数值，计算过程简单，掌握一元一次方程的求解步骤即可正确作答。
【难度系数】
0.8
11.已知关于$x$的方程$x+2-\frac{1}{2024}x=m$的解是$x=21$，那么关于$y$的一元一次方程$y+23-\frac{1}{2024}(y+21)=m$的解是$y=$
0
.答案
11.0
解析
【分析】
我们观察两个方程的结构，发现它们形式相似且含有相同的参数m，已知第一个方程的解，可通过整体代换思想快速解题。首先将第二个方程左边变形：把y+23拆为(y+21)+2，第二个方程就变成$(y+21)+2-\frac{1}{2024}(y+21)=m$，和第一个方程$x+2-\frac{1}{2024}x=m$结构完全相同，因此可把$(y+21)$看作整体，对应第一个方程的x，直接利用已知解求出y的值。
【解析】
方法1（整体代换法）：
对第二个方程变形：
$y+23-\frac{1}{2024}(y+21)=m$
将23拆分为$21+2$，可得：
$(y+21)+2-\frac{1}{2024}(y+21)=m$
对比第一个方程$x+2-\frac{1}{2024}x=m$，已知第一个方程的解为$x=21$，两个方程结构完全一致，因此整体$(y+21)=x=21$，解得$y=21-21=0$。
方法2（代入求参法，验证用）：
把$x=21$代入第一个方程，得：
$m=21+2-\frac{1}{2024}×21=23-\frac{21}{2024}$
将m代入第二个方程：
$y+23-\frac{1}{2024}(y+21)=23-\frac{21}{2024}$
两边同时减23，得：
$y-\frac{1}{2024}(y+21)=-\frac{21}{2024}$
两边同乘2024消去分母：
$2024y-(y+21)=-21$
去括号、合并同类项：
$2023y=0$
解得$y=0$。
【答案】
0
【知识点】
一元一次方程的解、整体代换思想
【点评】
本题考查一元一次方程解的应用，整体代换法可以避免复杂的分数运算，是解决同结构方程类问题的常用技巧，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
我们观察两个方程的结构，发现它们形式相似且含有相同的参数m，已知第一个方程的解，可通过整体代换思想快速解题。首先将第二个方程左边变形：把y+23拆为(y+21)+2，第二个方程就变成$(y+21)+2-\frac{1}{2024}(y+21)=m$，和第一个方程$x+2-\frac{1}{2024}x=m$结构完全相同，因此可把$(y+21)$看作整体，对应第一个方程的x，直接利用已知解求出y的值。
【解析】
方法1（整体代换法）：
对第二个方程变形：
$y+23-\frac{1}{2024}(y+21)=m$
将23拆分为$21+2$，可得：
$(y+21)+2-\frac{1}{2024}(y+21)=m$
对比第一个方程$x+2-\frac{1}{2024}x=m$，已知第一个方程的解为$x=21$，两个方程结构完全一致，因此整体$(y+21)=x=21$，解得$y=21-21=0$。
方法2（代入求参法，验证用）：
把$x=21$代入第一个方程，得：
$m=21+2-\frac{1}{2024}×21=23-\frac{21}{2024}$
将m代入第二个方程：
$y+23-\frac{1}{2024}(y+21)=23-\frac{21}{2024}$
两边同时减23，得：
$y-\frac{1}{2024}(y+21)=-\frac{21}{2024}$
两边同乘2024消去分母：
$2024y-(y+21)=-21$
去括号、合并同类项：
$2023y=0$
解得$y=0$。
【答案】
0
【知识点】
一元一次方程的解、整体代换思想
【点评】
本题考查一元一次方程解的应用，整体代换法可以避免复杂的分数运算，是解决同结构方程类问题的常用技巧，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
12.若$(3a - 5b)x^2 + ax + b - a = 0$是关于$x$的一元一次方程，且$x$有唯一解，则$x=$
$\frac{2}{5}$
。答案
12.$\frac{2}{5}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，同时一次项系数不为0的整式方程。解题思路如下：
第一步：根据一元一次方程的定义，方程中不能存在二次项，因此二次项系数必须为0，得到3a和5b的数量关系；
第二步：将b用含a的式子替换，代入原方程后就得到仅含x的一元一次方程；
第三步：结合“x有唯一解”的条件，可知一次项系数a不为0，两边同时除以a即可求出x的值。
【解析】
∵ 方程$(3a - 5b)x^2 + ax + b - a = 0$是关于$x$的一元一次方程
∴ 二次项系数为0，即$3a - 5b = 0$，整理得$b = \frac{3}{5}a$
此时原方程化简为：$ax + b - a = 0$
又
∵ 方程有唯一解，
∴ 一次项系数$a ≠ 0$
将$b = \frac{3}{5}a$代入化简后的方程得：
$ax + \frac{3}{5}a - a = 0$
计算常数项得：$\frac{3}{5}a - a = -\frac{2}{5}a$，方程变为$ax - \frac{2}{5}a = 0$
移项得：$ax = \frac{2}{5}a$
∵ $a ≠ 0$，两边同时除以$a$，得$x = \frac{2}{5}$
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
一元一次方程的定义，解一元一次方程
【点评】
本题核心是利用一元一次方程的定义确定系数的取值范围，解题时需注意“方程有唯一解”隐含了一次项系数不为0的条件，避免漏判导致错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，同时一次项系数不为0的整式方程。解题思路如下：
第一步：根据一元一次方程的定义，方程中不能存在二次项，因此二次项系数必须为0，得到3a和5b的数量关系；
第二步：将b用含a的式子替换，代入原方程后就得到仅含x的一元一次方程；
第三步：结合“x有唯一解”的条件，可知一次项系数a不为0，两边同时除以a即可求出x的值。
【解析】
∵ 方程$(3a - 5b)x^2 + ax + b - a = 0$是关于$x$的一元一次方程
∴ 二次项系数为0，即$3a - 5b = 0$，整理得$b = \frac{3}{5}a$
此时原方程化简为：$ax + b - a = 0$
又
∵ 方程有唯一解，
∴ 一次项系数$a ≠ 0$
将$b = \frac{3}{5}a$代入化简后的方程得：
$ax + \frac{3}{5}a - a = 0$
计算常数项得：$\frac{3}{5}a - a = -\frac{2}{5}a$，方程变为$ax - \frac{2}{5}a = 0$
移项得：$ax = \frac{2}{5}a$
∵ $a ≠ 0$，两边同时除以$a$，得$x = \frac{2}{5}$
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
一元一次方程的定义，解一元一次方程
【点评】
本题核心是利用一元一次方程的定义确定系数的取值范围，解题时需注意“方程有唯一解”隐含了一次项系数不为0的条件，避免漏判导致错误。
【难度系数】
0.7
13. 解方程：
(1)$3(x-4)-2(x-3)=1$；
(2)$\dfrac{x+2}{2}-\dfrac{4-x}{6}=1$。
(1)$3(x-4)-2(x-3)=1$；
(2)$\dfrac{x+2}{2}-\dfrac{4-x}{6}=1$。
答案
13.(1)$x=7$.
(2)$x=1$.
(2)$x=1$.
解析
【分析】
解一元一次方程的通用步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解题时先观察式子特征优先处理最外层运算。
第（1）题式子含有括号，第一步先按去括号法则去括号，注意括号前是负号时括号内每一项都要变号，再依次移项、合并同类项，最后将x的系数化为1即可得到解；
第（2）题式子含有分母，第一步先找分母的最小公倍数，方程两边同乘最小公倍数去分母，注意不要漏乘不含分母的常数项，之后再按去括号、移项等步骤求解即可。
【解析】
(1) 去括号，得：
$3x - 12 - 2x + 6 = 1$
合并同类项，得：
$x - 6 = 1$
移项，得：
$x = 1 + 6$
计算得：$x=7$
(2) 去分母，方程两边同时乘6，得：
$3(x+2) - (4 - x) = 6$
去括号，得：
$3x + 6 - 4 + x = 6$
合并同类项，得：
$4x + 2 = 6$
移项，得：
$4x = 6 - 2$
即$4x=4$
系数化为1，得：$x=1$
【答案】
(1)$x=7$；(2)$x=1$
【知识点】
一元一次方程的解法、去括号法则、等式的基本性质
【点评】
这两道题是解一元一次方程的基础常规题型，重点考察解方程的步骤规范，解题时要注意去括号的符号变化、去分母不要漏乘常数项，计算后主动检验可有效降低错误率。
【难度系数】
0.8
解一元一次方程的通用步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解题时先观察式子特征优先处理最外层运算。
第（1）题式子含有括号，第一步先按去括号法则去括号，注意括号前是负号时括号内每一项都要变号，再依次移项、合并同类项，最后将x的系数化为1即可得到解；
第（2）题式子含有分母，第一步先找分母的最小公倍数，方程两边同乘最小公倍数去分母，注意不要漏乘不含分母的常数项，之后再按去括号、移项等步骤求解即可。
【解析】
(1) 去括号，得：
$3x - 12 - 2x + 6 = 1$
合并同类项，得：
$x - 6 = 1$
移项，得：
$x = 1 + 6$
计算得：$x=7$
(2) 去分母，方程两边同时乘6，得：
$3(x+2) - (4 - x) = 6$
去括号，得：
$3x + 6 - 4 + x = 6$
合并同类项，得：
$4x + 2 = 6$
移项，得：
$4x = 6 - 2$
即$4x=4$
系数化为1，得：$x=1$
【答案】
(1)$x=7$；(2)$x=1$
【知识点】
一元一次方程的解法、去括号法则、等式的基本性质
【点评】
这两道题是解一元一次方程的基础常规题型，重点考察解方程的步骤规范，解题时要注意去括号的符号变化、去分母不要漏乘常数项，计算后主动检验可有效降低错误率。
【难度系数】
0.8
14. 为鼓励居民节约用水，某城市主城区居民生活用水推行每月阶梯水费收费制度，具体执行方案如下：
(1)一户居民二月份用水8立方米，则须缴水费
(2)某用户三月份缴水费67.8元，则该用户三月份所用水量为多少立方米？
(1)一户居民二月份用水8立方米，则须缴水费
33.6
元.(2)某用户三月份缴水费67.8元，则该用户三月份所用水量为多少立方米？
答案
14.(1)33.6
(2)该用户三月份所用水量为15立方米.
(2)该用户三月份所用水量为15立方米.
解析
【分析】
(1) 先判断二月份8立方米用水量所属阶梯：8≤12，属于第一阶梯，直接按第一阶梯单价，用“用水量×单价”即可计算水费。
(2) 先算阶梯临界值对应的水费：①12立方米满第一阶梯的水费为12×4.2=50.4元；②18立方米满第二阶梯的总水费为12×4.2+(18-12)×5.8=85.2元。对比用户缴费67.8元，可知50.4＜67.8＜85.2，说明用水量在12~18立方米的第二阶梯区间。先减去第一阶梯总费用得到第二阶梯部分的费用，除以第二阶梯单价得到第二阶梯用水量，加第一阶梯的12立方米就是总用水量。
【解析】
(1) 因为8立方米≤12立方米，按第一阶梯4.2元/立方米收费：
$8×4.2=33.6$（元）
(2) 第一步：计算临界水量的费用
满第一阶梯（12立方米）的费用：$12×4.2=50.4$（元）
满第二阶梯（18立方米）的总费用：$50.4+(18-12)×5.8=50.4+34.8=85.2$（元）
第二步：判断用水量区间
因为$50.4＜67.8＜85.2$，所以该用户用水量在12~18立方米之间，属于第二阶梯。
第三步：计算总用水量
第二阶梯部分的费用：$67.8-50.4=17.4$（元）
第二阶梯用水量：$17.4÷5.8=3$（立方米）
总用水量：$12+3=15$（立方米）
也可列方程求解：设总用水量为$x$立方米，得$12×4.2+(x-12)×5.8=67.8$，解得$x=15$。
【答案】
(1) $\boxed{33.6}$；(2) 该用户三月份所用水量为$\boxed{15}$立方米。
【知识点】
阶梯收费问题，有理数混合运算，一元一次方程应用
【点评】
本题结合生活中水费收取的实际场景，考查分段计费的计算方法，解题核心是先根据缴费金额判断用水量所属的阶梯区间，再按对应阶梯价格分段计算，能有效锻炼学生将数学知识应用到实际生活的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 先判断二月份8立方米用水量所属阶梯：8≤12，属于第一阶梯，直接按第一阶梯单价，用“用水量×单价”即可计算水费。
(2) 先算阶梯临界值对应的水费：①12立方米满第一阶梯的水费为12×4.2=50.4元；②18立方米满第二阶梯的总水费为12×4.2+(18-12)×5.8=85.2元。对比用户缴费67.8元，可知50.4＜67.8＜85.2，说明用水量在12~18立方米的第二阶梯区间。先减去第一阶梯总费用得到第二阶梯部分的费用，除以第二阶梯单价得到第二阶梯用水量，加第一阶梯的12立方米就是总用水量。
【解析】
(1) 因为8立方米≤12立方米，按第一阶梯4.2元/立方米收费：
$8×4.2=33.6$（元）
(2) 第一步：计算临界水量的费用
满第一阶梯（12立方米）的费用：$12×4.2=50.4$（元）
满第二阶梯（18立方米）的总费用：$50.4+(18-12)×5.8=50.4+34.8=85.2$（元）
第二步：判断用水量区间
因为$50.4＜67.8＜85.2$，所以该用户用水量在12~18立方米之间，属于第二阶梯。
第三步：计算总用水量
第二阶梯部分的费用：$67.8-50.4=17.4$（元）
第二阶梯用水量：$17.4÷5.8=3$（立方米）
总用水量：$12+3=15$（立方米）
也可列方程求解：设总用水量为$x$立方米，得$12×4.2+(x-12)×5.8=67.8$，解得$x=15$。
【答案】
(1) $\boxed{33.6}$；(2) 该用户三月份所用水量为$\boxed{15}$立方米。
【知识点】
阶梯收费问题，有理数混合运算，一元一次方程应用
【点评】
本题结合生活中水费收取的实际场景，考查分段计费的计算方法，解题核心是先根据缴费金额判断用水量所属的阶梯区间，再按对应阶梯价格分段计算，能有效锻炼学生将数学知识应用到实际生活的能力。
【难度系数】
0.7
