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1. 下列式子中:①$5x+3y=0$;②$6x^2-5x$;③$3x＜5$;④$x^2+1=3$;⑤$\frac{x}{5}+2=3x$. 是方程的有
(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
(
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.C
解析
【分析】
要判断式子是否为方程，首先明确方程的两个判定条件：第一，式子中必须含有未知数；第二，式子必须是等式（即含有等号），两个条件需同时满足。接下来我们用这两个标准逐一判断每个式子，统计符合条件的数量即可得到答案。
【解析】
根据方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，逐个分析如下：
①$5x+3y=0$：含有未知数$x$和$y$，且是等式，属于方程；
②$6x^2-5x$：仅为代数式，没有等号，不是等式，不属于方程；
③$3x＜5$：是不等式，不是等式，不属于方程；
④$x^2+1=3$：含有未知数$x$，且是等式，属于方程；
⑤$\frac{x}{5}+2=3x$：含有未知数$x$，且是等式，属于方程。
综上，是方程的有①④⑤，共3个，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
方程的定义
【点评】
本题属于基础概念类题型，解题关键是牢牢抓住方程的两个核心判定要素，注意区分代数式、等式、不等式的不同，避免将非等式误判为方程。
【难度系数】
0.8
要判断式子是否为方程，首先明确方程的两个判定条件：第一，式子中必须含有未知数；第二，式子必须是等式（即含有等号），两个条件需同时满足。接下来我们用这两个标准逐一判断每个式子，统计符合条件的数量即可得到答案。
【解析】
根据方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，逐个分析如下：
①$5x+3y=0$：含有未知数$x$和$y$，且是等式，属于方程；
②$6x^2-5x$：仅为代数式，没有等号，不是等式，不属于方程；
③$3x＜5$：是不等式，不是等式，不属于方程；
④$x^2+1=3$：含有未知数$x$，且是等式，属于方程；
⑤$\frac{x}{5}+2=3x$：含有未知数$x$，且是等式，属于方程。
综上，是方程的有①④⑤，共3个，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
方程的定义
【点评】
本题属于基础概念类题型，解题关键是牢牢抓住方程的两个核心判定要素，注意区分代数式、等式、不等式的不同，避免将非等式误判为方程。
【难度系数】
0.8
2. 下列运用等式的性质，变形正确的是 （
A.若$ac=bc$，则$a=b$
B.若$m=n$，则$2m - 5 = 2n - 4$
C.若$\frac{2x}{c} = \frac{3y}{c}$，则$2x = 3y$
D.若$a = b$，则$\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$
C
）A.若$ac=bc$，则$a=b$
B.若$m=n$，则$2m - 5 = 2n - 4$
C.若$\frac{2x}{c} = \frac{3y}{c}$，则$2x = 3y$
D.若$a = b$，则$\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$
答案
2.C
解析
【分析】
这道题考查等式性质的应用，解题时先明确等式的两条基本性质：1.等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；2.等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。解题需逐个分析选项，重点注意等式两边除以同一个数时，必须保证这个数不为0，同时等式两边的运算要完全一致。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：当$c=0$时，无论$a$、$b$是否相等，$ac=bc$都成立，此时不能直接两边除以$c$得到$a=b$，因此A变形错误。
B选项：若$m=n$，根据等式性质2，两边同乘2得$2m=2n$，再根据等式性质1，两边需同时减去同一个数等式才成立，选项中左边减5、右边减4，减去的数不同，因此$2m-5≠2n-4$，B变形错误。
C选项：已知$\frac{2x}{c}=\frac{3y}{c}$，要使分式有意义则分母$c≠0$，根据等式性质2，两边同时乘$c$，可得$2x=3y$，因此C变形正确。
D选项：若$a=b$，当$c=0$时，$\frac{a}{c}$和$\frac{b}{c}$无意义，只有$c≠0$时才有$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$，题目未说明$c≠0$，因此D变形错误。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质；分母不为零的条件
【点评】
本题是等式性质应用的常规题型，易错点是容易忽略“等式两边除以同一个数时，这个数不能为0”的限制条件，以及变形时两边运算不一致的问题，做题时关注细节即可避免出错。
【难度系数】
0.7
这道题考查等式性质的应用，解题时先明确等式的两条基本性质：1.等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；2.等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。解题需逐个分析选项，重点注意等式两边除以同一个数时，必须保证这个数不为0，同时等式两边的运算要完全一致。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：当$c=0$时，无论$a$、$b$是否相等，$ac=bc$都成立，此时不能直接两边除以$c$得到$a=b$，因此A变形错误。
B选项：若$m=n$，根据等式性质2，两边同乘2得$2m=2n$，再根据等式性质1，两边需同时减去同一个数等式才成立，选项中左边减5、右边减4，减去的数不同，因此$2m-5≠2n-4$，B变形错误。
C选项：已知$\frac{2x}{c}=\frac{3y}{c}$，要使分式有意义则分母$c≠0$，根据等式性质2，两边同时乘$c$，可得$2x=3y$，因此C变形正确。
D选项：若$a=b$，当$c=0$时，$\frac{a}{c}$和$\frac{b}{c}$无意义，只有$c≠0$时才有$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$，题目未说明$c≠0$，因此D变形错误。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质；分母不为零的条件
【点评】
本题是等式性质应用的常规题型，易错点是容易忽略“等式两边除以同一个数时，这个数不能为0”的限制条件，以及变形时两边运算不一致的问题，做题时关注细节即可避免出错。
【难度系数】
0.7
3. 把方程$\frac{x}{3} - \frac{x+1}{6} = 1$去分母，下列变形正确的是 （
A.$2x - x + 1 = 1$
B.$2x - (x + 1) = 1$
C.$2x - x + 1 = 6$
D.$2x - (x + 1) = 6$
D
）A.$2x - x + 1 = 1$
B.$2x - (x + 1) = 1$
C.$2x - x + 1 = 6$
D.$2x - (x + 1) = 6$
答案
3.D
解析
【分析】
要解决这道去分母的题目，需先明确一元一次方程去分母的核心规则：首先找到所有分母的最小公倍数，再根据等式的性质，给方程左右两边的每一项都乘这个最小公倍数，过程中要注意两个易错点：一是不含分母的项不能漏乘，二是如果分子是多项式，乘完后要给分子整体加括号，避免出现符号错误。本题分母为3和6，最小公倍数是6，按规则计算后对比选项即可得出答案。
【解析】
方程$\frac{x}{3} - \frac{x+1}{6} = 1$的两个分母分别是3和6，二者的最小公倍数为6。
根据等式的性质，将方程左右两边的每一项同时乘6：
第一项：$\frac{x}{3} × 6 = 2x$
第二项：$-\frac{x+1}{6} × 6 = -(x+1)$
右边常数项：$1 × 6 = 6$
因此去分母后变形为$2x - (x + 1) = 6$，对应选项D。
其中A、B选项漏乘了右边的常数项1，C选项处理多项式分子时未加括号导致符号错误，均不符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1.等式的基本性质 2.一元一次方程去分母
【点评】
本题属于去分母的基础考查题，易错点为漏乘不含分母的项、分子为多项式时漏加括号导致符号出错，熟练掌握去分母的操作规则即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道去分母的题目，需先明确一元一次方程去分母的核心规则：首先找到所有分母的最小公倍数，再根据等式的性质，给方程左右两边的每一项都乘这个最小公倍数，过程中要注意两个易错点：一是不含分母的项不能漏乘，二是如果分子是多项式，乘完后要给分子整体加括号，避免出现符号错误。本题分母为3和6，最小公倍数是6，按规则计算后对比选项即可得出答案。
【解析】
方程$\frac{x}{3} - \frac{x+1}{6} = 1$的两个分母分别是3和6，二者的最小公倍数为6。
根据等式的性质，将方程左右两边的每一项同时乘6：
第一项：$\frac{x}{3} × 6 = 2x$
第二项：$-\frac{x+1}{6} × 6 = -(x+1)$
右边常数项：$1 × 6 = 6$
因此去分母后变形为$2x - (x + 1) = 6$，对应选项D。
其中A、B选项漏乘了右边的常数项1，C选项处理多项式分子时未加括号导致符号错误，均不符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1.等式的基本性质 2.一元一次方程去分母
【点评】
本题属于去分母的基础考查题，易错点为漏乘不含分母的项、分子为多项式时漏加括号导致符号出错，熟练掌握去分母的操作规则即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
4.若方程$(m-1)x^{|m-2|}-8=0$是关于$x$的一元一次方程，则$m$的值是（
A.1
B.2
C.3
D.1或3
C
）A.1
B.2
C.3
D.1或3
答案
4.C
解析
【分析】
要确定m的值，需结合一元一次方程的定义推导。一元一次方程需要同时满足两个核心条件：①未知数的最高次数为1；②未知数的系数不为0。我们可以根据这两个条件分别列式求解，再筛选出符合要求的m值即可。
【解析】
已知方程$(m-1)x^{|m-2|}-8=0$是关于x的一元一次方程，根据一元一次方程的定义：
1. 未知数x的次数为1，即$|m-2|=1$，解这个绝对值方程：
当$m-2=1$时，$m=3$；当$m-2=-1$时，$m=1$。
2. 一次项系数不能为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$。
综合两个条件，排除$m=1$，可得$m=3$。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的定义，绝对值的运算
【点评】
本题是一元一次方程定义的基础考查题，易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制条件，误选D选项，解题时要注意将定义的所有要求逐一验证，避免漏项出错。
【难度系数】
0.7
要确定m的值，需结合一元一次方程的定义推导。一元一次方程需要同时满足两个核心条件：①未知数的最高次数为1；②未知数的系数不为0。我们可以根据这两个条件分别列式求解，再筛选出符合要求的m值即可。
【解析】
已知方程$(m-1)x^{|m-2|}-8=0$是关于x的一元一次方程，根据一元一次方程的定义：
1. 未知数x的次数为1，即$|m-2|=1$，解这个绝对值方程：
当$m-2=1$时，$m=3$；当$m-2=-1$时，$m=1$。
2. 一次项系数不能为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$。
综合两个条件，排除$m=1$，可得$m=3$。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的定义，绝对值的运算
【点评】
本题是一元一次方程定义的基础考查题，易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制条件，误选D选项，解题时要注意将定义的所有要求逐一验证，避免漏项出错。
【难度系数】
0.7
5. 小丽同学在做作业时，不小心将方程$2(x-3)-■=x+1$中的一个常数污染了，在询问数学老师后，老师告诉她方程的解是$x=9$，则这个被污染的常数是（
A.4
B.3
C.2
D.1
C
）A.4
B.3
C.2
D.1
答案
5.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。本题已知方程的解是$x=9$，我们可以先将被污染的常数设为一个未知数，再把$x=9$代入原方程，就能得到只含有这个未知常数的新方程，解这个新方程即可求出被污染的常数。
【解析】
设被污染的常数为$a$，
因为$x=9$是方程$2(x-3)-a=x+1$的解，将$x=9$代入方程得：
$2×(9-3)-a=9+1$
先计算乘法：$12 - a = 10$
移项计算得：$a=12-10=2$
因此被污染的常数是2。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查方程解的实际应用，把已知解代入原方程转化为求未知参数的方程是这类“污染方程”题的通用解法，计算难度低，容易掌握。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。本题已知方程的解是$x=9$，我们可以先将被污染的常数设为一个未知数，再把$x=9$代入原方程，就能得到只含有这个未知常数的新方程，解这个新方程即可求出被污染的常数。
【解析】
设被污染的常数为$a$，
因为$x=9$是方程$2(x-3)-a=x+1$的解，将$x=9$代入方程得：
$2×(9-3)-a=9+1$
先计算乘法：$12 - a = 10$
移项计算得：$a=12-10=2$
因此被污染的常数是2。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查方程解的实际应用，把已知解代入原方程转化为求未知参数的方程是这类“污染方程”题的通用解法，计算难度低，容易掌握。
【难度系数】
0.8
6.已知某商店卖出了两件标价都为800元的广东特产商品，其中一件盈利60%，另一件亏损20%.那么这家商店 （
A.盈利100元
B.亏损100元
C.不盈不亏
D.盈利200元
A
）A.盈利100元
B.亏损100元
C.不盈不亏
D.盈利200元
答案
6.A
解析
【分析】
要判断商店的盈亏情况，首先需要明确：盈利、亏损的比例都是相对于商品的成本价而言的，因此解题的核心是先算出两件商品各自的成本价，再对比总售价和总成本的差值即可得到盈亏结果。具体步骤为：①先根据“售价=成本×(1+利润率)”，分别求出两件商品的成本；②计算两件商品的总售价、总成本；③用总售价减去总成本，结果为正则盈利，为负则亏损，数值就是盈亏金额。
【解析】
1. 计算盈利60%的商品的成本：
设该商品成本为$ x $元，由题意得：
$ x×(1+60\%)=800 $
解得：$ x=800÷1.6=500 $元
这件商品盈利：$ 800-500=300 $元
2. 计算亏损20%的商品的成本：
设该商品成本为$ y $元，由题意得：
$ y×(1-20\%)=800 $
解得：$ y=800÷0.8=1000 $元
这件商品亏损：$ 1000-800=200 $元
3. 计算总盈亏：
总盈利=第一件盈利额-第二件亏损额= $ 300-200=100 $元，即商店盈利100元。
【答案】
A
【知识点】
销售盈亏问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题是销售类问题的基础典型题，易错点是误将售价当作盈亏比例的计算基数，只要牢记盈亏比例的参考基准是成本，先求出对应成本再计算总差值即可正确解题。
【难度系数】
0.7
要判断商店的盈亏情况，首先需要明确：盈利、亏损的比例都是相对于商品的成本价而言的，因此解题的核心是先算出两件商品各自的成本价，再对比总售价和总成本的差值即可得到盈亏结果。具体步骤为：①先根据“售价=成本×(1+利润率)”，分别求出两件商品的成本；②计算两件商品的总售价、总成本；③用总售价减去总成本，结果为正则盈利，为负则亏损，数值就是盈亏金额。
【解析】
1. 计算盈利60%的商品的成本：
设该商品成本为$ x $元，由题意得：
$ x×(1+60\%)=800 $
解得：$ x=800÷1.6=500 $元
这件商品盈利：$ 800-500=300 $元
2. 计算亏损20%的商品的成本：
设该商品成本为$ y $元，由题意得：
$ y×(1-20\%)=800 $
解得：$ y=800÷0.8=1000 $元
这件商品亏损：$ 1000-800=200 $元
3. 计算总盈亏：
总盈利=第一件盈利额-第二件亏损额= $ 300-200=100 $元，即商店盈利100元。
【答案】
A
【知识点】
销售盈亏问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题是销售类问题的基础典型题，易错点是误将售价当作盈亏比例的计算基数，只要牢记盈亏比例的参考基准是成本，先求出对应成本再计算总差值即可正确解题。
【难度系数】
0.7
7.《九章算术》是我国传统数学最重要的著作之一.书中记载:“今有共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六.问:人数、鸡价各几何?”意思是:“有若干人共同出钱买鸡,如果每人出九钱,那么多了十一钱;如果每人出六钱,那么少了十六钱.问:人数、鸡价各是多少?”设有$x$个人共同出钱买鸡,则下面所列方程正确的是 (
A.$9x + 11 = 6x - 16$
B.$9x - 11 = 6x + 16$
C.$6x - 11 = 9x + 16$
D.$6x + 11 = 9x - 16$
B
)A.$9x + 11 = 6x - 16$
B.$9x - 11 = 6x + 16$
C.$6x - 11 = 9x + 16$
D.$6x + 11 = 9x - 16$
答案
7.B
解析
【分析】
解决这道列方程的应用题，首先要找到题目中的不变量作为等量关系：本题中鸡的总价格是固定不变的。我们已经设人数为x，接下来分别用含x的式子表示两种出钱方式对应的鸡价，再让两个表示鸡价的式子相等即可列出方程。
【解析】
已知共有x个人买鸡：
1. 若每人出9钱，多了11钱，说明总出钱9x比鸡价多11，因此鸡价可表示为：$\boldsymbol{9x - 11}$；
2. 若每人出6钱，少了16钱，说明总出钱6x比鸡价少16，因此鸡价可表示为：$\boldsymbol{6x + 16}$。
因为鸡的价格固定不变，所以两个式子相等，可得方程：$9x - 11 = 6x + 16$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 利用不变量列方程
【点评】
本题结合我国传统数学著作《九章算术》的内容命题，考查根据实际问题列一元一次方程的能力，解题核心是准确抓住不变量建立等量关系，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
解决这道列方程的应用题，首先要找到题目中的不变量作为等量关系：本题中鸡的总价格是固定不变的。我们已经设人数为x，接下来分别用含x的式子表示两种出钱方式对应的鸡价，再让两个表示鸡价的式子相等即可列出方程。
【解析】
已知共有x个人买鸡：
1. 若每人出9钱，多了11钱，说明总出钱9x比鸡价多11，因此鸡价可表示为：$\boldsymbol{9x - 11}$；
2. 若每人出6钱，少了16钱，说明总出钱6x比鸡价少16，因此鸡价可表示为：$\boldsymbol{6x + 16}$。
因为鸡的价格固定不变，所以两个式子相等，可得方程：$9x - 11 = 6x + 16$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 利用不变量列方程
【点评】
本题结合我国传统数学著作《九章算术》的内容命题，考查根据实际问题列一元一次方程的能力，解题核心是准确抓住不变量建立等量关系，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
