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一、资料分析
1. 阅读:中国象棋棋盘是由“九纵十横”组成的网格棋盘,共有90个格点,半张棋盘有45个格点。
2. 寻找密码:
如$(0,8)$—$(2,9)$—$(5,7)$对应的密码为“老师好”,按此规律,解决以下问题:
(1)$(3,2)$—$(5,3)$—$(6,5)$—$(5,7)$ —$(4,9)$对应的密码为。
(2)$(1,0)$—$(2,2)$—$(3,5)$—$(1,6)$ —$(7,5)$对应的密码为。
3. 读一读,算一算。
在平面直角坐标系$xOy$中,$O$为坐标原点。定义$M(x_1,y_1)$,$P(x_2,y_2)$两点之间的“直角距离”$s(M,P)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$。如点$M(6,4)$,$P(3,2)$,则$s(M,P)=|6-3|+|4-2|=5$。即两点之间的“直角距离”就是这两点之间的横向距离+纵向距离。若已知点$A(1,3)$,$B(2,6)$,$C(4,5)$,则$s(A,B)=$,$s(B,C)=$。
1. 阅读:中国象棋棋盘是由“九纵十横”组成的网格棋盘,共有90个格点,半张棋盘有45个格点。
2. 寻找密码:
如$(0,8)$—$(2,9)$—$(5,7)$对应的密码为“老师好”,按此规律,解决以下问题:
(1)$(3,2)$—$(5,3)$—$(6,5)$—$(5,7)$ —$(4,9)$对应的密码为。
(2)$(1,0)$—$(2,2)$—$(3,5)$—$(1,6)$ —$(7,5)$对应的密码为。
3. 读一读,算一算。
在平面直角坐标系$xOy$中,$O$为坐标原点。定义$M(x_1,y_1)$,$P(x_2,y_2)$两点之间的“直角距离”$s(M,P)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$。如点$M(6,4)$,$P(3,2)$,则$s(M,P)=|6-3|+|4-2|=5$。即两点之间的“直角距离”就是这两点之间的横向距离+纵向距离。若已知点$A(1,3)$,$B(2,6)$,$C(4,5)$,则$s(A,B)=$,$s(B,C)=$。
答案
解：
2. (1) 依次读取各坐标对应的汉字：
(3,2)对应“数”，(5,3)对应“学”，(6,5)对应“真”，(5,7)对应“好”，(4,9)对应“玩”，所得密码为数学真好玩。
(2) 依次读取各坐标对应的汉字：
(1,0)对应“我”，(2,2)对应“是”，(3,5)对应“聪”，(1,6)对应“明”，(7,5)对应“的”，所得密码为我是聪明的。
3. 根据“直角距离”定义计算：
$s(A,B)=|1-2|+|3-6|=1+3=4$
$s(B,C)=|2-4|+|6-5|=2+1=3$
2. (1) 依次读取各坐标对应的汉字：
(3,2)对应“数”，(5,3)对应“学”，(6,5)对应“真”，(5,7)对应“好”，(4,9)对应“玩”，所得密码为数学真好玩。
(2) 依次读取各坐标对应的汉字：
(1,0)对应“我”，(2,2)对应“是”，(3,5)对应“聪”，(1,6)对应“明”，(7,5)对应“的”，所得密码为我是聪明的。
3. 根据“直角距离”定义计算：
$s(A,B)=|1-2|+|3-6|=1+3=4$
$s(B,C)=|2-4|+|6-5|=2+1=3$
解析
【分析】
解决找密码类题目时，先明确坐标规则：括号内第一个数为横坐标（对应下方0~8的数值），第二个数为纵坐标（对应左侧0~9的数值），找到横纵坐标交叉位置的汉字，按顺序组合即可得到密码。解决直角距离计算题目时，直接套用题干给出的“直角距离”公式：两点的直角距离等于两点横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和，代入对应坐标数值计算即可。
【解析】
2. (1) 依次查找每个坐标对应的汉字：
坐标(3,2)：横坐标为3、纵坐标为2，对应汉字“数”；
坐标(5,3)：横坐标为5、纵坐标为3，对应汉字“学”；
坐标(6,5)：横坐标为6、纵坐标为5，对应汉字“真”；
坐标(5,7)：横坐标为5、纵坐标为7，对应汉字“好”；
坐标(4,9)：横坐标为4、纵坐标为9，对应汉字“玩”；
组合后得到对应密码。
(2) 依次查找每个坐标对应的汉字：
坐标(1,0)：横坐标为1、纵坐标为0，对应汉字“我”；
坐标(2,2)：横坐标为2、纵坐标为2，对应汉字“是”；
坐标(3,5)：横坐标为3、纵坐标为5，对应汉字“聪”；
坐标(1,6)：横坐标为1、纵坐标为6，对应汉字“明”；
坐标(7,5)：横坐标为7、纵坐标为5，对应汉字“的”；
组合后得到对应密码。
3. 根据题干给出的直角距离公式$s(M,P)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$计算：
计算$s(A,B)$：将A(1,3)、B(2,6)代入公式，得$s(A,B)=|1-2|+|3-6|=1+3=4$；
计算$s(B,C)$：将B(2,6)、C(4,5)代入公式，得$s(B,C)=|2-4|+|6-5|=2+1=3$。
【答案】
(1) 数学真好玩
(2) 我是聪明的
4；3
【知识点】
平面直角坐标系，新定义运算，绝对值计算
【点评】
本题结合趣味密码场景和新定义概念，既考查了坐标的实际应用能力，又考查了对新定义的理解能力与基础运算能力，贴近生活，趣味性强，注重对基础能力的考察。
【难度系数】
0.8
解决找密码类题目时，先明确坐标规则：括号内第一个数为横坐标（对应下方0~8的数值），第二个数为纵坐标（对应左侧0~9的数值），找到横纵坐标交叉位置的汉字，按顺序组合即可得到密码。解决直角距离计算题目时，直接套用题干给出的“直角距离”公式：两点的直角距离等于两点横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和，代入对应坐标数值计算即可。
【解析】
2. (1) 依次查找每个坐标对应的汉字：
坐标(3,2)：横坐标为3、纵坐标为2，对应汉字“数”；
坐标(5,3)：横坐标为5、纵坐标为3，对应汉字“学”；
坐标(6,5)：横坐标为6、纵坐标为5，对应汉字“真”；
坐标(5,7)：横坐标为5、纵坐标为7，对应汉字“好”；
坐标(4,9)：横坐标为4、纵坐标为9，对应汉字“玩”；
组合后得到对应密码。
(2) 依次查找每个坐标对应的汉字：
坐标(1,0)：横坐标为1、纵坐标为0，对应汉字“我”；
坐标(2,2)：横坐标为2、纵坐标为2，对应汉字“是”；
坐标(3,5)：横坐标为3、纵坐标为5，对应汉字“聪”；
坐标(1,6)：横坐标为1、纵坐标为6，对应汉字“明”；
坐标(7,5)：横坐标为7、纵坐标为5，对应汉字“的”；
组合后得到对应密码。
3. 根据题干给出的直角距离公式$s(M,P)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$计算：
计算$s(A,B)$：将A(1,3)、B(2,6)代入公式，得$s(A,B)=|1-2|+|3-6|=1+3=4$；
计算$s(B,C)$：将B(2,6)、C(4,5)代入公式，得$s(B,C)=|2-4|+|6-5|=2+1=3$。
【答案】
(1) 数学真好玩
(2) 我是聪明的
4；3
【知识点】
平面直角坐标系，新定义运算，绝对值计算
【点评】
本题结合趣味密码场景和新定义概念，既考查了坐标的实际应用能力，又考查了对新定义的理解能力与基础运算能力，贴近生活，趣味性强，注重对基础能力的考察。
【难度系数】
0.8
二、互动探究
活动一
1. 给你一颗棋子“馬”，如何确定棋盘上“馬”的位置？
2. 根据“馬”走动的方法，“馬”最多有种走法，若“馬”在棋盘上的位置为(6,4)，一步可以跳到（写出所跳位置的坐标）。
思考：若“馬”在棋盘上的位置为(a,b)，跳一步可以到哪些位置？请写出：（写出所跳位置的坐标）。
活动二
1. 在棋盘中“馬”跳n步(n≥1且n为整数)，填写下表。
2. 思考：从表中你能得到什么结论？
结论1：当n为奇数时，s为；当n为偶数时，s为。
结论2：当s为时，n为奇数；当s为时，n为偶数。
活动一
1. 给你一颗棋子“馬”，如何确定棋盘上“馬”的位置？
2. 根据“馬”走动的方法，“馬”最多有种走法，若“馬”在棋盘上的位置为(6,4)，一步可以跳到（写出所跳位置的坐标）。
思考：若“馬”在棋盘上的位置为(a,b)，跳一步可以到哪些位置？请写出：（写出所跳位置的坐标）。
活动二
1. 在棋盘中“馬”跳n步(n≥1且n为整数)，填写下表。
2. 思考：从表中你能得到什么结论？
结论1：当n为奇数时，s为；当n为偶数时，s为。
结论2：当s为时，n为奇数；当s为时，n为偶数。
答案
解：
活动一
1. 在棋盘上建立平面直角坐标系，用有序数对$(x,y)$即可确定“馬”的位置。
2. $8$；
$(5,2)$，$(5,6)$，$(7,2)$，$(7,6)$，$(4,3)$，$(4,5)$，$(8,3)$，$(8,5)$；
$(a+2,b+1)$，$(a+2,b-1)$，$(a-2,b+1)$，$(a-2,b-1)$，$(a+1,b+2)$，$(a+1,b-2)$，$(a-1,b+2)$，$(a-1,b-2)$。
活动二
1.
|“馬”跳步数$(n)$|起点和终点间的“直角距离”$(s)$|“馬”跳步数$(n)$|起点和终点间的“直角距离”$(s)$|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|$1$|$3$|$2$|$2$|
|$3$|$1$|$4$|$0$|
|$5$|$1$|$6$|$0$|
（表格中$s$取值满足对应奇偶性即可）
2. 结论1：奇数；偶数
结论2：奇数；偶数
活动一
1. 在棋盘上建立平面直角坐标系，用有序数对$(x,y)$即可确定“馬”的位置。
2. $8$；
$(5,2)$，$(5,6)$，$(7,2)$，$(7,6)$，$(4,3)$，$(4,5)$，$(8,3)$，$(8,5)$；
$(a+2,b+1)$，$(a+2,b-1)$，$(a-2,b+1)$，$(a-2,b-1)$，$(a+1,b+2)$，$(a+1,b-2)$，$(a-1,b+2)$，$(a-1,b-2)$。
活动二
1.
|“馬”跳步数$(n)$|起点和终点间的“直角距离”$(s)$|“馬”跳步数$(n)$|起点和终点间的“直角距离”$(s)$|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|$1$|$3$|$2$|$2$|
|$3$|$1$|$4$|$0$|
|$5$|$1$|$6$|$0$|
（表格中$s$取值满足对应奇偶性即可）
2. 结论1：奇数；偶数
结论2：奇数；偶数
解析
【分析】
解题思路分两部分梳理：
1. 活动一解题思路：①平面内确定物体位置需要两个独立数据，因此可以在棋盘建立平面直角坐标系，用有序数对（横坐标，纵坐标）唯一标记“馬”的位置；②“馬”走“日”字的规则对应坐标的8种变化：横坐标±1、纵坐标±2，或者横坐标±2、纵坐标±1，对应8种走法；将初始坐标代入8种坐标变化就能得到一步可跳到的位置，把初始坐标换成通用的$(a,b)$即可得到通用跳跃坐标。
2. 活动二解题思路：①“直角距离”是起点与终点横坐标差的绝对值加纵坐标差的绝对值，跳1步时横纵变化量之和为$1+2=3$（奇数），每多跳一步，距离和的奇偶性翻转，因此n的奇偶性和s的奇偶性一致，填写表格时只要s的奇偶性和对应n的奇偶性匹配即可，再根据规律填写两个结论。
【解析】
活动一
1. 首先在棋盘上建立平面直角坐标系，规定横向为x轴、纵向为y轴，用有序数对$(x,y)$即可确定“馬”的位置。
2. “馬”走“日”字，坐标变化共有8种组合：横坐标±1且纵坐标±2、横坐标±2且纵坐标±1，因此最多有8种走法。
若“馬”在$(6,4)$，分别代入8种坐标变化计算：
横坐标±1、纵坐标±2：可得$(5,2)$、$(5,6)$、$(7,2)$、$(7,6)$；
横坐标±2、纵坐标±1：可得$(4,3)$、$(4,5)$、$(8,3)$、$(8,5)$。
若“馬”的位置为$(a,b)$，同理代入坐标变化，可得一步可跳到的坐标为$(a+2,b+1)$、$(a+2,b-1)$、$(a-2,b+1)$、$(a-2,b-1)$、$(a+1,b+2)$、$(a+1,b-2)$、$(a-1,b+2)$、$(a-1,b-2)$。
活动二
1. 结合直角距离的定义和n与s的奇偶性对应规律，填写表格（s取值满足对应奇偶性即可）：
|“馬”跳步数$(n)$|起点和终点间的“直角距离”$(s)$|“馬”跳步数$(n)$|起点和终点间的“直角距离”$(s)$|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|$1$|$3$|$2$|$2$|
|$3$|$1$|$4$|$0$|
|$5$|$1$|$6$|$0$|
2. 观察规律可得：
结论1：跳步数n的奇偶性和直角距离s的奇偶性一致，即n为奇数时s为奇数，n为偶数时s为偶数；
结论2：反过来，s的奇偶性也对应n的奇偶性，即s为奇数时n为奇数，s为偶数时n为偶数。
【答案】
活动一
1. 在棋盘上建立平面直角坐标系，用有序数对$(x,y)$即可确定“馬”的位置。
2. $8$；$(5,2)$，$(5,6)$，$(7,2)$，$(7,6)$，$(4,3)$，$(4,5)$，$(8,3)$，$(8,5)$；$(a+2,b+1)$，$(a+2,b-1)$，$(a-2,b+1)$，$(a-2,b-1)$，$(a+1,b+2)$，$(a+1,b-2)$，$(a-1,b+2)$，$(a-1,b-2)$
活动二
1. 表格填写如下（s取值满足对应奇偶性即可）：
|“馬”跳步数$(n)$|起点和终点间的“直角距离”$(s)$|“馬”跳步数$(n)$|起点和终点间的“直角距离”$(s)$|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|$1$|$3$|$2$|$2$|
|$3$|$1$|$4$|$0$|
|$5$|$1$|$6$|$0$|
2. 结论1：奇数；偶数
结论2：奇数；偶数
【知识点】
有序数对确定位置，坐标变化规律，奇偶性归纳
【点评】
本题结合象棋“馬走日”的传统规则，把平面直角坐标系知识和规律探究结合在一起，既考查了坐标运算的基础能力，又锻炼了归纳总结的逻辑思维，兼具趣味性和实用性。
【难度系数】
0.7
解题思路分两部分梳理：
1. 活动一解题思路：①平面内确定物体位置需要两个独立数据，因此可以在棋盘建立平面直角坐标系，用有序数对（横坐标，纵坐标）唯一标记“馬”的位置；②“馬”走“日”字的规则对应坐标的8种变化：横坐标±1、纵坐标±2，或者横坐标±2、纵坐标±1，对应8种走法；将初始坐标代入8种坐标变化就能得到一步可跳到的位置，把初始坐标换成通用的$(a,b)$即可得到通用跳跃坐标。
2. 活动二解题思路：①“直角距离”是起点与终点横坐标差的绝对值加纵坐标差的绝对值，跳1步时横纵变化量之和为$1+2=3$（奇数），每多跳一步，距离和的奇偶性翻转，因此n的奇偶性和s的奇偶性一致，填写表格时只要s的奇偶性和对应n的奇偶性匹配即可，再根据规律填写两个结论。
【解析】
活动一
1. 首先在棋盘上建立平面直角坐标系，规定横向为x轴、纵向为y轴，用有序数对$(x,y)$即可确定“馬”的位置。
2. “馬”走“日”字，坐标变化共有8种组合：横坐标±1且纵坐标±2、横坐标±2且纵坐标±1，因此最多有8种走法。
若“馬”在$(6,4)$，分别代入8种坐标变化计算：
横坐标±1、纵坐标±2：可得$(5,2)$、$(5,6)$、$(7,2)$、$(7,6)$；
横坐标±2、纵坐标±1：可得$(4,3)$、$(4,5)$、$(8,3)$、$(8,5)$。
若“馬”的位置为$(a,b)$，同理代入坐标变化，可得一步可跳到的坐标为$(a+2,b+1)$、$(a+2,b-1)$、$(a-2,b+1)$、$(a-2,b-1)$、$(a+1,b+2)$、$(a+1,b-2)$、$(a-1,b+2)$、$(a-1,b-2)$。
活动二
1. 结合直角距离的定义和n与s的奇偶性对应规律，填写表格（s取值满足对应奇偶性即可）：
|“馬”跳步数$(n)$|起点和终点间的“直角距离”$(s)$|“馬”跳步数$(n)$|起点和终点间的“直角距离”$(s)$|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|$1$|$3$|$2$|$2$|
|$3$|$1$|$4$|$0$|
|$5$|$1$|$6$|$0$|
2. 观察规律可得：
结论1：跳步数n的奇偶性和直角距离s的奇偶性一致，即n为奇数时s为奇数，n为偶数时s为偶数；
结论2：反过来，s的奇偶性也对应n的奇偶性，即s为奇数时n为奇数，s为偶数时n为偶数。
【答案】
活动一
1. 在棋盘上建立平面直角坐标系，用有序数对$(x,y)$即可确定“馬”的位置。
2. $8$；$(5,2)$，$(5,6)$，$(7,2)$，$(7,6)$，$(4,3)$，$(4,5)$，$(8,3)$，$(8,5)$；$(a+2,b+1)$，$(a+2,b-1)$，$(a-2,b+1)$，$(a-2,b-1)$，$(a+1,b+2)$，$(a+1,b-2)$，$(a-1,b+2)$，$(a-1,b-2)$
活动二
1. 表格填写如下（s取值满足对应奇偶性即可）：
|“馬”跳步数$(n)$|起点和终点间的“直角距离”$(s)$|“馬”跳步数$(n)$|起点和终点间的“直角距离”$(s)$|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|$1$|$3$|$2$|$2$|
|$3$|$1$|$4$|$0$|
|$5$|$1$|$6$|$0$|
2. 结论1：奇数；偶数
结论2：奇数；偶数
【知识点】
有序数对确定位置，坐标变化规律，奇偶性归纳
【点评】
本题结合象棋“馬走日”的传统规则，把平面直角坐标系知识和规律探究结合在一起，既考查了坐标运算的基础能力，又锻炼了归纳总结的逻辑思维，兼具趣味性和实用性。
【难度系数】
0.7
