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1 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，F是$\overset{\frown}{CD}$上一点，且$\overset{\frown}{DF}=\overset{\frown}{BC}$，连接CF并延长，交AD的延长线于点E，连接AC。若$∠ ABC=105°$，$∠ BAC=25°$，则$∠ E$的度数为（
A.$60°$
B.$55°$
C.$50°$
D.$45°$
C
）。A.$60°$
B.$55°$
C.$50°$
D.$45°$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先回忆圆内接四边形的性质，先求出∠ADC的度数；再根据等弧所对的圆周角相等，得到∠DCE和∠BAC的等量关系；最后利用三角形外角的性质，即可求出∠E的度数。
【解析】
1. 利用圆内接四边形的性质求∠ADC：
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ ABC + ∠ ADC = 180°$，
已知$∠ ABC=105°$，
∴ $∠ ADC = 180° - 105° = 75°$。
2. 利用等弧的性质求∠DCE：
∵ $\overset{\frown}{DF}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ 两段弧所对的圆周角相等，即$∠ DCE = ∠ BAC$，
已知$∠ BAC=25°$，
∴ $∠ DCE=25°$。
3. 利用三角形外角性质求∠E：
∵ $∠ ADC$是$△ CDE$的外角，
∴ $∠ ADC = ∠ DCE + ∠ E$，
∴ $∠ E = ∠ ADC - ∠ DCE = 75° - 25° = 50°$。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何题，将圆的性质和三角形性质结合考查，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，准确找到角之间的等量关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆圆内接四边形的性质，先求出∠ADC的度数；再根据等弧所对的圆周角相等，得到∠DCE和∠BAC的等量关系；最后利用三角形外角的性质，即可求出∠E的度数。
【解析】
1. 利用圆内接四边形的性质求∠ADC：
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ ABC + ∠ ADC = 180°$，
已知$∠ ABC=105°$，
∴ $∠ ADC = 180° - 105° = 75°$。
2. 利用等弧的性质求∠DCE：
∵ $\overset{\frown}{DF}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ 两段弧所对的圆周角相等，即$∠ DCE = ∠ BAC$，
已知$∠ BAC=25°$，
∴ $∠ DCE=25°$。
3. 利用三角形外角性质求∠E：
∵ $∠ ADC$是$△ CDE$的外角，
∴ $∠ ADC = ∠ DCE + ∠ E$，
∴ $∠ E = ∠ ADC - ∠ DCE = 75° - 25° = 50°$。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何题，将圆的性质和三角形性质结合考查，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，准确找到角之间的等量关系。
【难度系数】
0.7
② 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，$AE ⊥ CB$交CB的延长线于点E，若BA平分$∠ DBE$，$AD=7$，$CE=5$，则$AE=$(
A.3
B.$2\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{6}$
D.$4\sqrt{3}$
C
)。A.3
B.$2\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{6}$
D.$4\sqrt{3}$
答案
2. C
解析
【分析】
解题时先从角平分线性质入手得到角的等量关系，再结合圆内接四边形的性质、圆周角定理推导得到边AC与AD相等，最后把已知条件放到直角三角形AEC中，用勾股定理计算AE的长度即可。
【解析】
1. 由BA平分∠DBE，可得$∠ ABE=∠ ABD$。
2. 因为四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补，得$∠ ABC+∠ ADC=180°$；又$∠ ABC+∠ ABE=180°$（平角的定义），所以$∠ ABE=∠ ADC$，进而推出$∠ ABD=∠ ADC$。
3. 因为$∠ ABD$和$∠ ACD$都是弧AD所对的圆周角，根据圆周角定理得$∠ ABD=∠ ACD$，因此$∠ ACD=∠ ADC$，所以$AC=AD=7$。
4. 已知$AE⊥ CB$，即$△ AEC$是直角三角形，由勾股定理$AE^2+CE^2=AC^2$，代入$AC=7$、$CE=5$，得：
$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{7^2-5^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形的综合基础题，核心是通过角的等量转换得到$AC=AD$，将分散的已知条件整合到同一个直角三角形中计算。
【难度系数】
0.65
解题时先从角平分线性质入手得到角的等量关系，再结合圆内接四边形的性质、圆周角定理推导得到边AC与AD相等，最后把已知条件放到直角三角形AEC中，用勾股定理计算AE的长度即可。
【解析】
1. 由BA平分∠DBE，可得$∠ ABE=∠ ABD$。
2. 因为四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补，得$∠ ABC+∠ ADC=180°$；又$∠ ABC+∠ ABE=180°$（平角的定义），所以$∠ ABE=∠ ADC$，进而推出$∠ ABD=∠ ADC$。
3. 因为$∠ ABD$和$∠ ACD$都是弧AD所对的圆周角，根据圆周角定理得$∠ ABD=∠ ACD$，因此$∠ ACD=∠ ADC$，所以$AC=AD=7$。
4. 已知$AE⊥ CB$，即$△ AEC$是直角三角形，由勾股定理$AE^2+CE^2=AC^2$，代入$AC=7$、$CE=5$，得：
$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{7^2-5^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形的综合基础题，核心是通过角的等量转换得到$AC=AD$，将分散的已知条件整合到同一个直角三角形中计算。
【难度系数】
0.65
3 如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于$\odot O$，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则$\frac{EF}{GH}$的值是（
A.$\frac{\sqrt{6}}{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.2
C
）。A.$\frac{\sqrt{6}}{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.2
答案
解：设$\odot O$的半径为$R$。
1. 求$EF$的长度：
因为正$△ AEF$内接于$\odot O$，由正三角形的外接圆性质，可得边长$EF = \sqrt{3}R$。
2. 求正方形的边长：
正方形$ABCD$内接于$\odot O$，其对角线等于圆的直径$2R$，因此正方形的边长为$\sqrt{2}R$。
3. 分析$GH$的长度：
由图形的对称性可知，$△ GCH$是等腰直角三角形，且$O$到$EF$的距离为$\frac{R}{2}$，可推得$GH = R$。
4. 计算比值：
$\frac{EF}{GH}=\frac{\sqrt{3}R}{R}=\sqrt{3}$
答案：$\sqrt{3}$，对应选项C。
1. 求$EF$的长度：
因为正$△ AEF$内接于$\odot O$，由正三角形的外接圆性质，可得边长$EF = \sqrt{3}R$。
2. 求正方形的边长：
正方形$ABCD$内接于$\odot O$，其对角线等于圆的直径$2R$，因此正方形的边长为$\sqrt{2}R$。
3. 分析$GH$的长度：
由图形的对称性可知，$△ GCH$是等腰直角三角形，且$O$到$EF$的距离为$\frac{R}{2}$，可推得$GH = R$。
4. 计算比值：
$\frac{EF}{GH}=\frac{\sqrt{3}R}{R}=\sqrt{3}$
答案：$\sqrt{3}$，对应选项C。
解析
【分析】
解题时可先设⊙O的半径为r简化计算：第一步先根据正三角形内接于圆的性质求出EF的长度；第二步结合正方形内接于圆的性质求出正方形的边长、对角线长度；第三步求出EF到点C的距离，利用EF与BD平行的关系得到△CGH与△CBD相似，进而求出GH的长度；最后计算EF与GH的比值即可。
【解析】
设⊙O的半径为r。
1. 求EF的长度：正△AEF内接于⊙O，连接OF，过点O作OM⊥EF于点M。正三角形外接圆半径为r，则∠OFM=30°，在Rt△OMF中，$MF=OF·\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}r$，因此$EF=2MF=\sqrt{3}r$。
2. 正方形ABCD内接于⊙O，其对角线AC为⊙O的直径，即$AC=2r$，因此正方形边长$BC=CD=\frac{AC}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}r$，对角线$BD=AC=2r$，AC与BD互相垂直且交于点O，点C到BD的距离等于OC的长度，即$r$。
3. 正△AEF的高为$\frac{3}{2}r$（正三角形外接圆半径是高的$\frac{2}{3}$），即点A到EF的距离为$\frac{3}{2}r$，因此点C到EF的距离为$AC-\frac{3}{2}r=2r-\frac{3}{2}r=\frac{r}{2}$。
4. 由对称性可知AC⊥EF，又AC⊥BD，因此EF//BD，可得△CGH∽△CBD，相似比等于对应高的比$\frac{\frac{r}{2}}{r}=\frac{1}{2}$，因此$\frac{GH}{BD}=\frac{1}{2}$，得$GH=\frac{1}{2}BD=r$。
5. 计算比值：$\frac{EF}{GH}=\frac{\sqrt{3}r}{r}=\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形和圆，相似三角形的性质，特殊三角形边角关系
【点评】
本题结合同圆内接正多边形的性质考查线段比的计算，通过设半径作为中间量简化计算，利用相似关系求线段长度是解题的核心思路。
【难度系数】
0.6
解题时可先设⊙O的半径为r简化计算：第一步先根据正三角形内接于圆的性质求出EF的长度；第二步结合正方形内接于圆的性质求出正方形的边长、对角线长度；第三步求出EF到点C的距离，利用EF与BD平行的关系得到△CGH与△CBD相似，进而求出GH的长度；最后计算EF与GH的比值即可。
【解析】
设⊙O的半径为r。
1. 求EF的长度：正△AEF内接于⊙O，连接OF，过点O作OM⊥EF于点M。正三角形外接圆半径为r，则∠OFM=30°，在Rt△OMF中，$MF=OF·\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}r$，因此$EF=2MF=\sqrt{3}r$。
2. 正方形ABCD内接于⊙O，其对角线AC为⊙O的直径，即$AC=2r$，因此正方形边长$BC=CD=\frac{AC}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}r$，对角线$BD=AC=2r$，AC与BD互相垂直且交于点O，点C到BD的距离等于OC的长度，即$r$。
3. 正△AEF的高为$\frac{3}{2}r$（正三角形外接圆半径是高的$\frac{2}{3}$），即点A到EF的距离为$\frac{3}{2}r$，因此点C到EF的距离为$AC-\frac{3}{2}r=2r-\frac{3}{2}r=\frac{r}{2}$。
4. 由对称性可知AC⊥EF，又AC⊥BD，因此EF//BD，可得△CGH∽△CBD，相似比等于对应高的比$\frac{\frac{r}{2}}{r}=\frac{1}{2}$，因此$\frac{GH}{BD}=\frac{1}{2}$，得$GH=\frac{1}{2}BD=r$。
5. 计算比值：$\frac{EF}{GH}=\frac{\sqrt{3}r}{r}=\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形和圆，相似三角形的性质，特殊三角形边角关系
【点评】
本题结合同圆内接正多边形的性质考查线段比的计算，通过设半径作为中间量简化计算，利用相似关系求线段长度是解题的核心思路。
【难度系数】
0.6
4 如图，点A、B、C、D在$\odot O$上，$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{CD}$，$∠ CAD=30°$，$∠ ACD=50°$，则$∠ ADB$的度数为________。
答案
4. $70°$
解析
【分析】
解题时先结合圆周角定理的推论分析角度关系：首先由等弧$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{CD}$可得二者所对的圆周角相等，推导得到$∠ CAB$的度数；再根据同弧所对的圆周角相等得到$∠ ABD$的度数；最后利用三角形内角和定理计算$∠ ADB$即可。也可以先在$△ ACD$中求出$∠ ADC$，再结合等弧对应的圆周角求出$∠ CDB$，作差得到结果。
【解析】
解：
∵$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{CD}$，根据等弧所对的圆周角相等，
∴$∠ CAB=∠ CAD=30°$，
∴$∠ DAB=∠ CAD+∠ CAB=30°+30°=60°$。
又
∵$∠ ABD$和$∠ ACD$都是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，
∴$∠ ABD=∠ ACD=50°$。
在$△ ABD$中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ ADB=180°-∠ DAB-∠ ABD=180°-60°-50°=70°$。
【答案】
$70°$
【知识点】
圆周角定理；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题，解题核心是准确识别同弧、等弧对应的相等圆周角，结合三角形内角和即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先结合圆周角定理的推论分析角度关系：首先由等弧$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{CD}$可得二者所对的圆周角相等，推导得到$∠ CAB$的度数；再根据同弧所对的圆周角相等得到$∠ ABD$的度数；最后利用三角形内角和定理计算$∠ ADB$即可。也可以先在$△ ACD$中求出$∠ ADC$，再结合等弧对应的圆周角求出$∠ CDB$，作差得到结果。
【解析】
解：
∵$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{CD}$，根据等弧所对的圆周角相等，
∴$∠ CAB=∠ CAD=30°$，
∴$∠ DAB=∠ CAD+∠ CAB=30°+30°=60°$。
又
∵$∠ ABD$和$∠ ACD$都是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，
∴$∠ ABD=∠ ACD=50°$。
在$△ ABD$中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ ADB=180°-∠ DAB-∠ ABD=180°-60°-50°=70°$。
【答案】
$70°$
【知识点】
圆周角定理；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题，解题核心是准确识别同弧、等弧对应的相等圆周角，结合三角形内角和即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5 如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE。若∠ABC=64°，则∠BAE的度数为
$52°$
。答案
5. $52°$
解析
【分析】
解题时从已知条件逐步推导：1. 看到圆内接四边形，优先利用其对角互补的性质，先求出∠D的度数；2. 已知点D与点E关于AC对称，根据轴对称的性质，对应角相等，可得∠AEC与∠D相等；3. 观察∠AEC的位置，它是△ABE的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角和，即可求出∠BAE的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴∠ABC + ∠D = 180°（圆内接四边形对角互补）
∵∠ABC=64°
∴∠D=180°-64°=116°
∵点D关于AC的对称点是E
∴∠AEC=∠D=116°（轴对称的对应角相等）
∵∠AEC是△ABE的外角
∴∠AEC=∠ABC + ∠BAE（三角形外角等于不相邻两个内角和）
∴∠BAE=∠AEC - ∠ABC=116°-64°=52°
【答案】
$52°$
【知识点】
圆内接四边形的性质；轴对称的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将圆、轴对称和三角形的性质结合考查，解题的关键是熟练掌握各基础性质，通过对称搭建已知角和未知角的联系，是圆相关知识点的常见基础考法。
【难度系数】
0.7
解题时从已知条件逐步推导：1. 看到圆内接四边形，优先利用其对角互补的性质，先求出∠D的度数；2. 已知点D与点E关于AC对称，根据轴对称的性质，对应角相等，可得∠AEC与∠D相等；3. 观察∠AEC的位置，它是△ABE的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角和，即可求出∠BAE的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴∠ABC + ∠D = 180°（圆内接四边形对角互补）
∵∠ABC=64°
∴∠D=180°-64°=116°
∵点D关于AC的对称点是E
∴∠AEC=∠D=116°（轴对称的对应角相等）
∵∠AEC是△ABE的外角
∴∠AEC=∠ABC + ∠BAE（三角形外角等于不相邻两个内角和）
∴∠BAE=∠AEC - ∠ABC=116°-64°=52°
【答案】
$52°$
【知识点】
圆内接四边形的性质；轴对称的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将圆、轴对称和三角形的性质结合考查，解题的关键是熟练掌握各基础性质，通过对称搭建已知角和未知角的联系，是圆相关知识点的常见基础考法。
【难度系数】
0.7
6 如图，在正十边形 $ A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8A_9A_{10} $ 中，连接 $ A_1A_4 $、$ A_1A_7 $，则 $ ∠ A_4A_1A_7 $ 的度数为
$54°$
。答案
6. $54°$
解析
【分析】
我们可以利用正多边形的外接圆性质和圆周角定理解题。正十边形的所有顶点都在同一个外接圆上，要求$∠ A_4A_1A_7$的度数，先计算正十边形每条边对应外接圆的中心角，再确定该角作为圆周角所对的弧的总度数，最后根据圆周角定理（圆周角度数等于所对弧度数的一半）即可求出角度。
【解析】
解：$\because$正十边形的各顶点共圆，
$\therefore$正十边形每条边所对的外接圆中心角为：$\frac{360°}{10}=36°$。
观察图形可知，$∠ A_4A_1A_7$是圆周角，它所对的弧$\overset{\frown}{A_4A_7}$包含3段正十边形的边对应的中心角，
$\therefore$$\overset{\frown}{A_4A_7}$的度数为：$3×36°=108°$。
根据圆周角定理：
$∠ A_4A_1A_7=\frac{1}{2}×108°=54°$。
【答案】
$54°$
【知识点】
正多边形与圆；圆周角定理
【点评】
本题将正多边形的性质与圆的相关定理结合，解题核心是把所求角转化为对应弧的圆周角计算，掌握圆周角定理和正多边形中心角的计算方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
我们可以利用正多边形的外接圆性质和圆周角定理解题。正十边形的所有顶点都在同一个外接圆上，要求$∠ A_4A_1A_7$的度数，先计算正十边形每条边对应外接圆的中心角，再确定该角作为圆周角所对的弧的总度数，最后根据圆周角定理（圆周角度数等于所对弧度数的一半）即可求出角度。
【解析】
解：$\because$正十边形的各顶点共圆，
$\therefore$正十边形每条边所对的外接圆中心角为：$\frac{360°}{10}=36°$。
观察图形可知，$∠ A_4A_1A_7$是圆周角，它所对的弧$\overset{\frown}{A_4A_7}$包含3段正十边形的边对应的中心角，
$\therefore$$\overset{\frown}{A_4A_7}$的度数为：$3×36°=108°$。
根据圆周角定理：
$∠ A_4A_1A_7=\frac{1}{2}×108°=54°$。
【答案】
$54°$
【知识点】
正多边形与圆；圆周角定理
【点评】
本题将正多边形的性质与圆的相关定理结合，解题核心是把所求角转化为对应弧的圆周角计算，掌握圆周角定理和正多边形中心角的计算方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
