1 如图，甲、乙两个长方形有一部分重叠在一起，甲长方形不重叠的部分是甲长方形面积的$\frac{2}{3}$，乙长方形不重叠的部分是乙长方形面积的$\frac{5}{7}$，且甲、乙两个长方形面积之和为52 cm²，求重叠部分的面积.

设甲长方形的面积为 x cm²,则乙长方形的面积为(52−x) cm²,
由题意,得$(1-\dfrac{2}{3})x=(1-\dfrac{5}{7})(52-x)$,
解得 x=24.
故重叠部分的面积是$(1-\dfrac{2}{3})×24=8(\mathrm{cm}^2)$.

2 如图,在长方形ABCD中,AB=CD=6 cm,BC=AD=8 cm.动点P从点B出发沿B→C向点C运动,速度是2 cm/s;动点Q从点C出发沿C→B向点B运动,速度是4 cm/s,P,Q两点同时出发,当点Q到达点B时,两点同时停止,设运动的时间是t s.
（1）用含t的代数式表示线段BP与CQ的长；
（2）当t为何值时,点P与点Q相遇?
（3）当t为何值时,△APQ的面积为12 cm²?

（1）$BP=2t\ \mathrm{cm},CQ=4t\ \mathrm{cm}$.
（2）令$2t+4t=8$,解得$t=\dfrac{4}{3}$.
故当$t$为$\dfrac{4}{3}$时,点P与点Q相遇.
（3）①当$0＜ t＜ \dfrac{4}{3}$时,$PQ=8-2t-4t=8-6t$,
$S_{△ APQ}=\dfrac{1}{2}×6×(8-6t)=12$,解得$t=\dfrac{2}{3}$;
②当$\dfrac{4}{3}＜ t≤ 2$时,$PQ=QC-PC=4t-(8-2t)=6t-8$,
$S_{△ APQ}=\dfrac{1}{2}×6×(6t-8)=12$,解得$t=2$.
故当$t$为$\dfrac{2}{3}$或2时,$△ APQ$的面积为$12\ \mathrm{cm}^2$.

3（2026连云港海州期末）某学校将举办文化艺术节活动，现准备采购跳绳、魔方、钢笔三种礼品共100个作为奖励，且每种礼品均有购买。已知魔方的单价比跳绳的单价贵4元，买4个魔方和6根跳绳共需要116元.
（1）魔方和跳绳的单价分别是多少元？
（2）若某超市的钢笔有两种类型，学校只能从中选择一种，价格如表所示.现在该学校准备1600元去购买这三种礼品，其中魔方和钢笔的数量相同，1600元正好用完.

问：选择哪种钢笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由；
（3）若要求购买钢笔的数量是跳绳数量的$\frac{1}{3}$，跳绳和魔方的单价不变，钢笔的单价为$a$元，在总数量不变的前提下，无论这三种礼品的数量如何分配，总费用始终不变，求此时$a$的值和总费用.

（1）设跳绳的单价是x元,则魔方的单价是(x+4)元,
由题意,得$4(x+4)+6x=116$,
解得$x=10$,
所以$x+4=10+4=14$(元).
故魔方的单价是14元,跳绳的单价是10元.
（2）选择暗尖0.5 mm的钢笔比较合适,该学校购买25个魔方,25支钢笔,50根跳绳,理由如下:
当选择明尖0.7 mm的钢笔时,设该学校购买m个魔方,则购买m支钢笔,$(100-2m)$根跳绳,
由题意,得$14m+18m+10(100-2m)=1\ 600$,
解得$m=50$,所以$100-2m=100-2×50=0$(不符合题意,舍去);
当选择暗尖0.5 mm的钢笔时,设该学校购买n个魔方,则购买n支钢笔,$(100-2n)$根跳绳,
由题意,得$14n+30n+10(100-2n)=1600$,
解得$n=25$,所以$100-2n=100-2×25=50＞0$,符合题意.
故选择暗尖0.5 mm的钢笔比较合适,该学校购买25个魔方,25支钢笔,50根跳绳.
（3）设购买b支钢笔,则购买3b根跳绳,$(100-4b)$个魔方,
所以总费用为$ab+10×3b+14(100-4b)=1\ 400+(a-26)b$.
因为无论这三种礼品的数量如何分配,总费用始终不变,
所以$a-26=0$,解得$a=26$,
此时总费用为1 400元.
故a的值为26,总费用为1 400元.