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1.已知关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x+3y=13, \\4ax - by=5\end{cases}$和$\begin{cases}bx + 2ay=8, \\4x -10y=-22\end{cases}$有相同的解，求$2a+b$的值.
答案
因为关于x,y的二元一次方程组$\begin{cases}2x+3y=13, \\4ax - by=5\end{cases}$和$\begin{cases}bx + 2ay=8, \\4x -10y=-22\end{cases}$有相同的解，所以得方程组$\begin{cases}2x+3y=13, \\4x-10y=-22,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=2, \\y=3.\end{cases}$ 将$\begin{cases}x=2, \\y=3\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}bx+2ay=8, \\4ax-by=5,\end{cases}$得$\begin{cases}2b+6a=8, \\8a-3b=5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=1, \\b=1,\end{cases}$ 所以$2a+b=2+1=3$.
解析
【分析】
两个二元一次方程组有相同的解，说明这个解同时满足四个方程，解题思路分为三步：第一步，从两个方程组中选出不含参数a、b的两个方程，组成新的方程组，求解得到x、y的公共解；第二步，把求得的x、y代入剩下的含a、b的两个方程，得到关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的值；第三步，将a、b的值代入2a+b计算结果。
【解析】
∵ 两个二元一次方程组有相同的解，
∴ 该解同时满足四个方程，先将不含a、b的方程联立得：
$\begin{cases}2x+3y=13 \\4x -10y=-22\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2得：$4x+6y=26$，用该式减去第二个方程：
$(4x+6y)-(4x-10y)=26-(-22)$
$16y=48$，解得$y=3$
把$y=3$代入$2x+3y=13$，得$2x+9=13$，解得$x=2$
即公共解为$\begin{cases}x=2 \\y=3\end{cases}$
将$\begin{cases}x=2 \\y=3\end{cases}$代入含a、b的两个方程$\begin{cases}4ax - by=5 \\bx + 2ay=8\end{cases}$，得：
$\begin{cases}8a - 3b=5 \\2b + 6a=8\end{cases}$
整理第二个方程得$3a + b = 4$，即$b=4-3a$，代入第一个方程：
$8a - 3(4-3a)=5$
$8a -12 +9a=5$
$17a=17$，解得$a=1$
把$a=1$代入$b=4-3a$，得$b=1$
∴ $2a+b=2×1 +1=3$
【答案】
3
【知识点】
1.二元一次方程组同解的含义；2.解二元一次方程组；3.代数式求值
【点评】
本题是二元一次方程组同解问题的基础题型，解题核心是抓住“同解”的性质，先求出公共解再求解参数，主要考察学生的逻辑推理能力和计算能力，掌握方法后容易得分。
【难度系数】
0.7
两个二元一次方程组有相同的解，说明这个解同时满足四个方程，解题思路分为三步：第一步，从两个方程组中选出不含参数a、b的两个方程，组成新的方程组，求解得到x、y的公共解；第二步，把求得的x、y代入剩下的含a、b的两个方程，得到关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的值；第三步，将a、b的值代入2a+b计算结果。
【解析】
∵ 两个二元一次方程组有相同的解，
∴ 该解同时满足四个方程，先将不含a、b的方程联立得：
$\begin{cases}2x+3y=13 \\4x -10y=-22\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2得：$4x+6y=26$，用该式减去第二个方程：
$(4x+6y)-(4x-10y)=26-(-22)$
$16y=48$，解得$y=3$
把$y=3$代入$2x+3y=13$，得$2x+9=13$，解得$x=2$
即公共解为$\begin{cases}x=2 \\y=3\end{cases}$
将$\begin{cases}x=2 \\y=3\end{cases}$代入含a、b的两个方程$\begin{cases}4ax - by=5 \\bx + 2ay=8\end{cases}$，得：
$\begin{cases}8a - 3b=5 \\2b + 6a=8\end{cases}$
整理第二个方程得$3a + b = 4$，即$b=4-3a$，代入第一个方程：
$8a - 3(4-3a)=5$
$8a -12 +9a=5$
$17a=17$，解得$a=1$
把$a=1$代入$b=4-3a$，得$b=1$
∴ $2a+b=2×1 +1=3$
【答案】
3
【知识点】
1.二元一次方程组同解的含义；2.解二元一次方程组；3.代数式求值
【点评】
本题是二元一次方程组同解问题的基础题型，解题核心是抓住“同解”的性质，先求出公共解再求解参数，主要考察学生的逻辑推理能力和计算能力，掌握方法后容易得分。
【难度系数】
0.7
2. 在解方程组$\begin{cases} ax+by=2, \\ cx-7y=8 \end{cases}$时，哥哥正确地解得$\begin{cases} x=3, \\ y=-2. \end{cases}$弟弟因把$c$写错而解得$\begin{cases} x=-2, \\ y=2. \end{cases}$
(1)求$a+b+c$的值.
(2)弟弟把$c$写错成了什么数？
(1)求$a+b+c$的值.
(2)弟弟把$c$写错成了什么数？
答案
(1)因为哥哥正确地解得$\begin{cases} x=3, \\ y=-2, \end{cases}$弟弟因把c写错而解得$\begin{cases} x=-2, \\ y=2, \end{cases}$所以$\begin{cases}3a-2b=2,① \\ 3c+14=8,② \\ -2a+2b=2.③\end{cases}$ 由②得$c=-2$.
①+③,得$a=4$.把$a=4$代入①,得$12-2b=2$,解得$b=5$.所以$a+b+c=4+5+(-2)=7$.
(2)因为弟弟因把c写错而解得$\begin{cases} x=-2, \\ y=2, \end{cases}$所以$-2c-7×2=8$,解得$c=-11$.
故弟弟把c写错成了-11.
①+③,得$a=4$.把$a=4$代入①,得$12-2b=2$,解得$b=5$.所以$a+b+c=4+5+(-2)=7$.
(2)因为弟弟因把c写错而解得$\begin{cases} x=-2, \\ y=2, \end{cases}$所以$-2c-7×2=8$,解得$c=-11$.
故弟弟把c写错成了-11.
解析
【分析】
解题的核心是明确二元一次方程组解的含义：正确的解满足方程组的所有方程；仅写错某个系数得到的解，仍然满足系数未写错的方程。
求解(1)时：第一步将哥哥的正确解代入原方程组，可得到关于a、b的一个方程，同时直接求出正确的c值；第二步将弟弟的解代入不含c的第一个方程，得到另一个关于a、b的方程，联立两个a、b的方程即可求出a、b的值，最后计算a+b+c的和。
求解(2)时：弟弟写错了c，因此将弟弟的解代入第二个方程，求出的c值就是弟弟写错的数值。
【解析】
(1) 因为哥哥的解是正确的，将$\begin{cases} x=3, \\ y=-2 \end{cases}$代入原方程组；弟弟仅写错c，他的解满足第一个方程，将$\begin{cases} x=-2, \\ y=2 \end{cases}$代入$ax+by=2$，可得方程组：
$\begin{cases}3a-2b=2,① \\ 3c-7×(-2)=8,② \\ -2a+2b=2.③\end{cases}$
解方程②：$3c+14=8$，移项得$3c=-6$，解得$c=-2$。
①+③得：$3a-2b-2a+2b=2+2$，化简得$a=4$。
把$a=4$代入①：$12-2b=2$，移项得$-2b=-10$，解得$b=5$。
因此$a+b+c=4+5+(-2)=7$。
(2) 将弟弟的解$\begin{cases} x=-2, \\ y=2 \end{cases}$代入$cx-7y=8$，得：
$-2c -14=8$，移项得$-2c=22$，解得$c=-11$，即弟弟写错的c为-11。
【答案】
(1) $\boldsymbol{7}$
(2) $\boldsymbol{-11}$
【知识点】
1. 二元一次方程组解的含义
2. 解二元一次方程组
3. 含参方程求值
【点评】
本题是含参二元一次方程组的典型考法，解题关键是筛选出不同解对应的有效方程，进而建立关于参数的方程（组）求解，能够锻炼学生分析题意、提取条件的能力。
【难度系数】
0.6
解题的核心是明确二元一次方程组解的含义：正确的解满足方程组的所有方程；仅写错某个系数得到的解，仍然满足系数未写错的方程。
求解(1)时：第一步将哥哥的正确解代入原方程组，可得到关于a、b的一个方程，同时直接求出正确的c值；第二步将弟弟的解代入不含c的第一个方程，得到另一个关于a、b的方程，联立两个a、b的方程即可求出a、b的值，最后计算a+b+c的和。
求解(2)时：弟弟写错了c，因此将弟弟的解代入第二个方程，求出的c值就是弟弟写错的数值。
【解析】
(1) 因为哥哥的解是正确的，将$\begin{cases} x=3, \\ y=-2 \end{cases}$代入原方程组；弟弟仅写错c，他的解满足第一个方程，将$\begin{cases} x=-2, \\ y=2 \end{cases}$代入$ax+by=2$，可得方程组：
$\begin{cases}3a-2b=2,① \\ 3c-7×(-2)=8,② \\ -2a+2b=2.③\end{cases}$
解方程②：$3c+14=8$，移项得$3c=-6$，解得$c=-2$。
①+③得：$3a-2b-2a+2b=2+2$，化简得$a=4$。
把$a=4$代入①：$12-2b=2$，移项得$-2b=-10$，解得$b=5$。
因此$a+b+c=4+5+(-2)=7$。
(2) 将弟弟的解$\begin{cases} x=-2, \\ y=2 \end{cases}$代入$cx-7y=8$，得：
$-2c -14=8$，移项得$-2c=22$，解得$c=-11$，即弟弟写错的c为-11。
【答案】
(1) $\boldsymbol{7}$
(2) $\boldsymbol{-11}$
【知识点】
1. 二元一次方程组解的含义
2. 解二元一次方程组
3. 含参方程求值
【点评】
本题是含参二元一次方程组的典型考法，解题关键是筛选出不同解对应的有效方程，进而建立关于参数的方程（组）求解，能够锻炼学生分析题意、提取条件的能力。
【难度系数】
0.6
3. 已知关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}4x - 3y = 6, \\6x + my = 26\end{cases}$有正整数解，则正整数$m$的值是 ______ 。
答案
【点拨】原方程组为$\begin{cases}4x-3y=6,① \\6x+my=26,②\end{cases}$ ②$×2-$①$×3$,得$(2m+9)y=34$,所以$y=\frac{34}{2m+9}$.把$y=\frac{34}{2m+9}$代入①,得$x=\frac{3m+39}{2m+9}$.因为y是正整数,所以$2m+9=1$或2或17或34.所以$m=-4$或$-3.5$或4或12.5.又因为m为正整数,所以$m=4$.因为x是正整数,当$m=4$时,$x=3$,符合题意,所以正整数m的值是4.
解析
【分析】
解题时先利用加减消元法消去x，得到用含m的代数式表示y的表达式，结合方程组的解是正整数、m是正整数的条件，可知2m+9是34的正因数，先筛选出符合条件的m的候选值，再代入验证x是否为正整数，最终确定m的取值。
【解析】
解：将方程组标注序号：
$\begin{cases}4x - 3y = 6&① \\6x + my = 26&②\end{cases}$
利用加减消元法消去x，②×2 - ①×3得：
$2(6x+my) - 3(4x-3y) = 2×26 - 3×6$
展开计算得：$12x + 2my - 12x + 9y = 52 - 18$
合并同类项得：$(2m + 9)y = 34$
因此$y = \frac{34}{2m + 9}$。
因为方程组的解是正整数，且m为正整数，所以$2m + 9$是34的正因数，34的正因数有1、2、17、34。
分别计算对应m的值：
当$2m + 9 = 1$时，$m = -4$，不符合m是正整数的要求，舍去；
当$2m + 9 = 2$时，$m = -3.5$，不符合m是正整数的要求，舍去；
当$2m + 9 = 17$时，$m = 4$，符合正整数要求；
当$2m + 9 = 34$时，$m = 12.5$，不符合m是正整数的要求，舍去。
将$m=4$代入$y = \frac{34}{2m + 9}$得$y = \frac{34}{17}=2$，再将y=2代入①得：$4x - 3×2 = 6$，解得$x=3$，x是正整数，符合题意。
【答案】
$4$
【知识点】
加减消元法，含参数二元一次方程组，正整数解筛选
【点评】
本题属于含参数二元一次方程组的常考题型，解题核心是通过消元将未知数用参数表示，再结合正整数的限制条件筛选参数值，最后要注意验证两个未知数均为正整数，避免错解。
【难度系数】
0.6
解题时先利用加减消元法消去x，得到用含m的代数式表示y的表达式，结合方程组的解是正整数、m是正整数的条件，可知2m+9是34的正因数，先筛选出符合条件的m的候选值，再代入验证x是否为正整数，最终确定m的取值。
【解析】
解：将方程组标注序号：
$\begin{cases}4x - 3y = 6&① \\6x + my = 26&②\end{cases}$
利用加减消元法消去x，②×2 - ①×3得：
$2(6x+my) - 3(4x-3y) = 2×26 - 3×6$
展开计算得：$12x + 2my - 12x + 9y = 52 - 18$
合并同类项得：$(2m + 9)y = 34$
因此$y = \frac{34}{2m + 9}$。
因为方程组的解是正整数，且m为正整数，所以$2m + 9$是34的正因数，34的正因数有1、2、17、34。
分别计算对应m的值：
当$2m + 9 = 1$时，$m = -4$，不符合m是正整数的要求，舍去；
当$2m + 9 = 2$时，$m = -3.5$，不符合m是正整数的要求，舍去；
当$2m + 9 = 17$时，$m = 4$，符合正整数要求；
当$2m + 9 = 34$时，$m = 12.5$，不符合m是正整数的要求，舍去。
将$m=4$代入$y = \frac{34}{2m + 9}$得$y = \frac{34}{17}=2$，再将y=2代入①得：$4x - 3×2 = 6$，解得$x=3$，x是正整数，符合题意。
【答案】
$4$
【知识点】
加减消元法，含参数二元一次方程组，正整数解筛选
【点评】
本题属于含参数二元一次方程组的常考题型，解题核心是通过消元将未知数用参数表示，再结合正整数的限制条件筛选参数值，最后要注意验证两个未知数均为正整数，避免错解。
【难度系数】
0.6
4. ★★ 新题型新定义题 对于有理数 $ x, y $，定义新运算：$ x*y = ax + by $，$ x\otimes y = ax - by $，其中 $ a, b $ 是常数。已知 $ 1*1 = 1 $，$ 3\otimes2 = 8 $。
(1) 求 $ a, b $ 的值；
(2) 若关于 $ x, y $ 的方程组 $ \begin{cases} x*y = 4 - m, \\ x\otimes y = 5m \end{cases} $ 的解满足 $ x + y = 5 $，求 $ m $ 的值。
(1) 求 $ a, b $ 的值；
(2) 若关于 $ x, y $ 的方程组 $ \begin{cases} x*y = 4 - m, \\ x\otimes y = 5m \end{cases} $ 的解满足 $ x + y = 5 $，求 $ m $ 的值。
答案
(1)由题意得$\begin{cases}a+b=1, \\3a-2b=8,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=2, \\b=-1.\end{cases}$
(2)由题意得$\begin{cases}2x-y=4-m, \\2x+y=5m,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=m+1, \\y=3m-2.\end{cases}$
因为$x+y=5$,所以$m+1+3m-2=5$,解得$m=\frac{3}{2}$.
(2)由题意得$\begin{cases}2x-y=4-m, \\2x+y=5m,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=m+1, \\y=3m-2.\end{cases}$
因为$x+y=5$,所以$m+1+3m-2=5$,解得$m=\frac{3}{2}$.
解析
【分析】
(1) 首先根据题目给出的新运算规则，把已知的$1*1=1$和$3\otimes2=8$分别代入对应的运算公式，就能得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解该方程组即可求出$a$、$b$的值。
(2) 先把第(1)问求出的$a$、$b$代入新运算，将题中含$m$的方程组转化为普通的关于$x$、$y$的二元一次方程组，用含$m$的代数式表示出$x$和$y$，再结合$x+y=5$的条件建立关于$m$的一元一次方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
(1) 根据新运算的定义，将$1*1=1$、$3\otimes2=8$代入对应公式，可得方程组：
$\begin{cases}a + b = 1 \\3a - 2b = 8\end{cases}$
给第一个方程两边同乘2得$2a+2b=2$，与第二个方程相加得$5a=10$，解得$a=2$。
将$a=2$代入$a+b=1$，得$2+b=1$，解得$b=-1$。
(2) 将$a=2$、$b=-1$代入题中方程组，可得：
$\begin{cases}2x - y = 4 - m \\2x + y = 5m\end{cases}$
两个方程相加得$4x=4+4m$，解得$x=m+1$。
两个方程相减得$2y=6m-4$，解得$y=3m-2$。
将$x=m+1$、$y=3m-2$代入$x+y=5$，得：
$m+1+3m-2=5$
合并同类项得$4m-1=5$，解得$m=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $\begin{cases}a=2 \\b=-1\end{cases}$；(2) $m=\frac{3}{2}$
【知识点】
新定义运算，二元一次方程组的解法，含参方程求解
【点评】
本题属于新定义类基础综合题，重点考查对新运算规则的转化能力和方程组的计算能力，解题核心是将新定义运算准确转化为常规代数表达式，再结合方程的性质逐步计算即可，熟练掌握方程组解法就能顺利作答。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据题目给出的新运算规则，把已知的$1*1=1$和$3\otimes2=8$分别代入对应的运算公式，就能得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解该方程组即可求出$a$、$b$的值。
(2) 先把第(1)问求出的$a$、$b$代入新运算，将题中含$m$的方程组转化为普通的关于$x$、$y$的二元一次方程组，用含$m$的代数式表示出$x$和$y$，再结合$x+y=5$的条件建立关于$m$的一元一次方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
(1) 根据新运算的定义，将$1*1=1$、$3\otimes2=8$代入对应公式，可得方程组：
$\begin{cases}a + b = 1 \\3a - 2b = 8\end{cases}$
给第一个方程两边同乘2得$2a+2b=2$，与第二个方程相加得$5a=10$，解得$a=2$。
将$a=2$代入$a+b=1$，得$2+b=1$，解得$b=-1$。
(2) 将$a=2$、$b=-1$代入题中方程组，可得：
$\begin{cases}2x - y = 4 - m \\2x + y = 5m\end{cases}$
两个方程相加得$4x=4+4m$，解得$x=m+1$。
两个方程相减得$2y=6m-4$，解得$y=3m-2$。
将$x=m+1$、$y=3m-2$代入$x+y=5$，得：
$m+1+3m-2=5$
合并同类项得$4m-1=5$，解得$m=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $\begin{cases}a=2 \\b=-1\end{cases}$；(2) $m=\frac{3}{2}$
【知识点】
新定义运算，二元一次方程组的解法，含参方程求解
【点评】
本题属于新定义类基础综合题，重点考查对新运算规则的转化能力和方程组的计算能力，解题核心是将新定义运算准确转化为常规代数表达式，再结合方程的性质逐步计算即可，熟练掌握方程组解法就能顺利作答。
【难度系数】
0.7
5. 请问 $m$，$n$ 满足什么条件时，方程组 $\begin{cases}5x+y=7, \\ mx+2y=n.\end{cases}$
(1)有无数解？
(2)无解？
(3)有唯一的解？
(1)有无数解？
(2)无解？
(3)有唯一的解？
答案
$\begin{cases}5x+y=7,① \\mx+2y=n,②\end{cases}$ 由①,得$y=7-5x$,将其代入②,整理得$(m-10)x=n-14.$ ③
(1)若方程③有无数解,则$\begin{cases}m-10=0, \\n-14=0,\end{cases}$ 所以$\begin{cases}m=10, \\n=14.\end{cases}$ 所以当$m=10,n=14$时,原方程组有无数解.
(2)若方程③无解,则$\begin{cases}m-10=0, \\n-14≠0,\end{cases}$ 所以$\begin{cases}m=10, \\n≠14.\end{cases}$ 所以当$m=10,n≠14$时,原方程组无解.
(3)若方程③有唯一解,则$m-10≠0$,即$m≠10$.所以当$m≠10,n$为任意实数时,原方程组有唯一解.
(1)若方程③有无数解,则$\begin{cases}m-10=0, \\n-14=0,\end{cases}$ 所以$\begin{cases}m=10, \\n=14.\end{cases}$ 所以当$m=10,n=14$时,原方程组有无数解.
(2)若方程③无解,则$\begin{cases}m-10=0, \\n-14≠0,\end{cases}$ 所以$\begin{cases}m=10, \\n≠14.\end{cases}$ 所以当$m=10,n≠14$时,原方程组无解.
(3)若方程③有唯一解,则$m-10≠0$,即$m≠10$.所以当$m≠10,n$为任意实数时,原方程组有唯一解.
解析
【分析】
要判断含字母系数的二元一次方程组的解的情况，我们可以先通过代入消元法将二元方程组转化为一元一次方程，再结合一元一次方程$ax=b$的解的规律分类讨论：当$a=0$且$b=0$时，方程有无数解；当$a=0$且$b≠0$时，方程无解；当$a≠0$时，方程有唯一解，对应即可求出$m$、$n$满足的条件。
【解析】
$\begin{cases}5x+y=7,① \\mx+2y=n,②\end{cases}$
由①，得$y=7-5x$，将其代入②，整理得$(m-10)x=n-14$ ③
(1)若方程③有无数解，则$\begin{cases}m-10=0, \\n-14=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=10, \\n=14.\end{cases}$ 即当$m=10,n=14$时，原方程组有无数解。
(2)若方程③无解，则$\begin{cases}m-10=0, \\n-14≠0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=10, \\n≠14.\end{cases}$ 即当$m=10,n≠14$时，原方程组无解。
(3)若方程③有唯一解，则$m-10≠0$，即$m≠10$。即当$m≠10$，$n$为任意实数时，原方程组有唯一解。
【答案】
(1)$m=10,n=14$；
(2)$m=10,n≠14$；
(3)$m≠10$，$n$为任意实数。
【知识点】
代入消元法，含参方程解的判定，二元一次方程组解的分类
【点评】
本题核心是通过消元将二元方程组转化为一元一次方程，再根据系数和常数项的关系分类讨论求解，解题时要注意分类标准清晰，避免漏解或错判解的情况。
【难度系数】
0.6
要判断含字母系数的二元一次方程组的解的情况，我们可以先通过代入消元法将二元方程组转化为一元一次方程，再结合一元一次方程$ax=b$的解的规律分类讨论：当$a=0$且$b=0$时，方程有无数解；当$a=0$且$b≠0$时，方程无解；当$a≠0$时，方程有唯一解，对应即可求出$m$、$n$满足的条件。
【解析】
$\begin{cases}5x+y=7,① \\mx+2y=n,②\end{cases}$
由①，得$y=7-5x$，将其代入②，整理得$(m-10)x=n-14$ ③
(1)若方程③有无数解，则$\begin{cases}m-10=0, \\n-14=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=10, \\n=14.\end{cases}$ 即当$m=10,n=14$时，原方程组有无数解。
(2)若方程③无解，则$\begin{cases}m-10=0, \\n-14≠0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=10, \\n≠14.\end{cases}$ 即当$m=10,n≠14$时，原方程组无解。
(3)若方程③有唯一解，则$m-10≠0$，即$m≠10$。即当$m≠10$，$n$为任意实数时，原方程组有唯一解。
【答案】
(1)$m=10,n=14$；
(2)$m=10,n≠14$；
(3)$m≠10$，$n$为任意实数。
【知识点】
代入消元法，含参方程解的判定，二元一次方程组解的分类
【点评】
本题核心是通过消元将二元方程组转化为一元一次方程，再根据系数和常数项的关系分类讨论求解，解题时要注意分类标准清晰，避免漏解或错判解的情况。
【难度系数】
0.6
