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9 计算：
(1) $1\dfrac{1}{2} × \dfrac{5}{7} - (-\dfrac{5}{7}) × 2\dfrac{1}{2} + (-\dfrac{1}{2}) ÷ 1\dfrac{2}{5}$；
(2) $-1^4 - \dfrac{1}{6} × [2 - (-3)^2]$；
(3) $(-3 - 1) × (-\dfrac{3}{2})^2 - \dfrac{1}{2} ÷ (-\dfrac{1}{2})^3$；
(4) $(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2}) ÷ (-\dfrac{1}{2})^2 × 3$。
(1) $1\dfrac{1}{2} × \dfrac{5}{7} - (-\dfrac{5}{7}) × 2\dfrac{1}{2} + (-\dfrac{1}{2}) ÷ 1\dfrac{2}{5}$；
(2) $-1^4 - \dfrac{1}{6} × [2 - (-3)^2]$；
(3) $(-3 - 1) × (-\dfrac{3}{2})^2 - \dfrac{1}{2} ÷ (-\dfrac{1}{2})^3$；
(4) $(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2}) ÷ (-\dfrac{1}{2})^2 × 3$。
答案
9.(1)$\frac{5}{2}$ (2)$\frac{1}{6}$ (3)$-5$ (4)$-3$
解析
【分析】
有理数混合运算需遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，计算前可先观察算式特征，若有相同因数可逆用乘法分配律简化计算，遇到带分数先化为假分数、除法先转化为乘法再计算，同时要特别注意乘方、负号相关的符号判断，避免符号错误。
(1)题中各项变形后均含因数$\frac{5}{7}$，可逆用乘法分配律简化计算；
(2)(3)题按运算顺序先算乘方，再算括号内的运算，接着算乘除，最后算加减即可；
(4)题先算乘方，将除法转化为乘法后，可利用乘法分配律计算括号内与常数的乘积，简化运算。
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数，除法转化为乘法：
原式$=\frac{3}{2}×\frac{5}{7}+\frac{5}{7}×\frac{5}{2}-\frac{1}{2}×\frac{5}{7}$
逆用乘法分配律提取公因式$\frac{5}{7}$：
$=\frac{5}{7}×(\frac{3}{2}+\frac{5}{2}-\frac{1}{2})$
$=\frac{5}{7}×\frac{7}{2}$
$=\frac{5}{2}$
(2) 先计算乘方，再算括号内的运算：
原式$=-1-\frac{1}{6}×(2-9)$
$=-1-\frac{1}{6}×(-7)$
$=-1+\frac{7}{6}$
$=\frac{1}{6}$
(3) 先算括号内减法和乘方运算：
原式$=(-4)×\frac{9}{4}-\frac{1}{2}÷(-\frac{1}{8})$
再计算乘除运算：
$=-9 - \frac{1}{2}×(-8)$
$=-9 + 4$
$=-5$
(4) 先计算乘方，再将除法转化为乘法：
原式$=(\frac{3}{4}+\frac{1}{3}-\frac{5}{6}-\frac{1}{2})÷\frac{1}{4}×3$
$=(\frac{3}{4}+\frac{1}{3}-\frac{5}{6}-\frac{1}{2})×4×3$
$=(\frac{3}{4}+\frac{1}{3}-\frac{5}{6}-\frac{1}{2})×12$
利用乘法分配律展开计算：
$=\frac{3}{4}×12+\frac{1}{3}×12-\frac{5}{6}×12-\frac{1}{2}×12$
$=9+4-10-6$
$=-3$
【答案】
(1)$\frac{5}{2}$；(2)$\frac{1}{6}$；(3)$-5$；(4)$-3$
【知识点】
有理数混合运算，乘法运算律，乘方运算
【点评】
本题主要考察有理数混合运算的规则和运算律的灵活运用，计算时需重点关注乘方的符号判断、除法转乘法的变形，合理运用乘法分配律可大幅降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.7
有理数混合运算需遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，计算前可先观察算式特征，若有相同因数可逆用乘法分配律简化计算，遇到带分数先化为假分数、除法先转化为乘法再计算，同时要特别注意乘方、负号相关的符号判断，避免符号错误。
(1)题中各项变形后均含因数$\frac{5}{7}$，可逆用乘法分配律简化计算；
(2)(3)题按运算顺序先算乘方，再算括号内的运算，接着算乘除，最后算加减即可；
(4)题先算乘方，将除法转化为乘法后，可利用乘法分配律计算括号内与常数的乘积，简化运算。
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数，除法转化为乘法：
原式$=\frac{3}{2}×\frac{5}{7}+\frac{5}{7}×\frac{5}{2}-\frac{1}{2}×\frac{5}{7}$
逆用乘法分配律提取公因式$\frac{5}{7}$：
$=\frac{5}{7}×(\frac{3}{2}+\frac{5}{2}-\frac{1}{2})$
$=\frac{5}{7}×\frac{7}{2}$
$=\frac{5}{2}$
(2) 先计算乘方，再算括号内的运算：
原式$=-1-\frac{1}{6}×(2-9)$
$=-1-\frac{1}{6}×(-7)$
$=-1+\frac{7}{6}$
$=\frac{1}{6}$
(3) 先算括号内减法和乘方运算：
原式$=(-4)×\frac{9}{4}-\frac{1}{2}÷(-\frac{1}{8})$
再计算乘除运算：
$=-9 - \frac{1}{2}×(-8)$
$=-9 + 4$
$=-5$
(4) 先计算乘方，再将除法转化为乘法：
原式$=(\frac{3}{4}+\frac{1}{3}-\frac{5}{6}-\frac{1}{2})÷\frac{1}{4}×3$
$=(\frac{3}{4}+\frac{1}{3}-\frac{5}{6}-\frac{1}{2})×4×3$
$=(\frac{3}{4}+\frac{1}{3}-\frac{5}{6}-\frac{1}{2})×12$
利用乘法分配律展开计算：
$=\frac{3}{4}×12+\frac{1}{3}×12-\frac{5}{6}×12-\frac{1}{2}×12$
$=9+4-10-6$
$=-3$
【答案】
(1)$\frac{5}{2}$；(2)$\frac{1}{6}$；(3)$-5$；(4)$-3$
【知识点】
有理数混合运算，乘法运算律，乘方运算
【点评】
本题主要考察有理数混合运算的规则和运算律的灵活运用，计算时需重点关注乘方的符号判断、除法转乘法的变形，合理运用乘法分配律可大幅降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.7
10 整体思想 [2025 泗阳段考]已知$a$，$b$互为倒数，$c$，$d$互为相反数，$|m|=3$，求$\frac{ab}{3}+m+\frac{c+d}{4}$的值。
答案
10. 因为a,b互为倒数,c,d互为相反数,$|m|=3$,所以$ab=1$,$c+d=0$,$m=\pm3$,所以当$m=3$时,$\frac{ab}{3}+m+\frac{c+d}{4}=\frac{1}{3}+3+\frac{0}{4}=\frac{1}{3}+3+0=\frac{10}{3}$;当$m=-3$时,$\frac{ab}{3}+m+\frac{c+d}{4}=\frac{1}{3}+(-3)+\frac{0}{4}=\frac{1}{3}+(-3)+0=-\frac{8}{3}$.综上所述,$\frac{ab}{3}+m+\frac{c+d}{4}$的值是$\frac{10}{3}$或$-\frac{8}{3}$
解析
【分析】
解题时首先根据倒数、相反数、绝对值的相关概念，先求出ab、c+d的值以及m的可能取值，再将这些值整体代入所求代数式，由于m有两个不同的取值，所以需要分两种情况分别计算，最后汇总结果即可。
【解析】
解：
∵a，b互为倒数，c，d互为相反数，$|m|=3$，
∴$ab=1$，$c+d=0$，$m=\pm3$。
①当$m=3$时，
$\frac{ab}{3}+m+\frac{c+d}{4}=\frac{1}{3}+3+\frac{0}{4}=\frac{1}{3}+3+0=\frac{10}{3}$；
②当$m=-3$时，
$\frac{ab}{3}+m+\frac{c+d}{4}=\frac{1}{3}+(-3)+\frac{0}{4}=\frac{1}{3}-3+0=-\frac{8}{3}$。
综上，$\frac{ab}{3}+m+\frac{c+d}{4}$的值为$\frac{10}{3}$或$-\frac{8}{3}$。
【答案】
$\frac{10}{3}$或$-\frac{8}{3}$
【知识点】
倒数的定义；相反数的定义；绝对值的性质
【点评】
本题侧重考查基础概念的应用和整体代入的思想，解题时需注意绝对值对应两个互为相反数的数，避免因漏解导致错误，熟练掌握倒数、相反数、绝对值的相关性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据倒数、相反数、绝对值的相关概念，先求出ab、c+d的值以及m的可能取值，再将这些值整体代入所求代数式，由于m有两个不同的取值，所以需要分两种情况分别计算，最后汇总结果即可。
【解析】
解：
∵a，b互为倒数，c，d互为相反数，$|m|=3$，
∴$ab=1$，$c+d=0$，$m=\pm3$。
①当$m=3$时，
$\frac{ab}{3}+m+\frac{c+d}{4}=\frac{1}{3}+3+\frac{0}{4}=\frac{1}{3}+3+0=\frac{10}{3}$；
②当$m=-3$时，
$\frac{ab}{3}+m+\frac{c+d}{4}=\frac{1}{3}+(-3)+\frac{0}{4}=\frac{1}{3}-3+0=-\frac{8}{3}$。
综上，$\frac{ab}{3}+m+\frac{c+d}{4}$的值为$\frac{10}{3}$或$-\frac{8}{3}$。
【答案】
$\frac{10}{3}$或$-\frac{8}{3}$
【知识点】
倒数的定义；相反数的定义；绝对值的性质
【点评】
本题侧重考查基础概念的应用和整体代入的思想，解题时需注意绝对值对应两个互为相反数的数，避免因漏解导致错误，熟练掌握倒数、相反数、绝对值的相关性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
11 [2025 泗洪段考]【概念学习】定义:求若干个相同的有理数(均不等于 0)的除法运算叫作除方，如$2÷2÷2$，$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$等.类比有理数的乘方，我们把$2÷2÷2$记作$2_3$，读作“2的下3次方”，$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$记作$(-3)_4$，读作“-3的下4次方”.一般地，把$\underbrace{a÷a÷…÷a÷a}_{n个a}(a≠0)$记作$a_n$，读作“a的下n次方”.
(1) 直接写出计算结果:$2_3=$
【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如:$2_4=2÷2÷2÷2=2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^2$.
(2) 仿照上面的算式，将下面的运算写成幂的形式:$2_6=$
(3) 将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式:$a_n=$
【结论应用】(4) 计算:$12^2÷(-\frac{1}{3})_4×(-2)_6 - (-\frac{1}{3})_6 ÷3^3$.
(1) 直接写出计算结果:$2_3=$
$\frac{1}{2}$
，$(\frac{1}{2})_3=$$2$
.【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如:$2_4=2÷2÷2÷2=2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^2$.
(2) 仿照上面的算式，将下面的运算写成幂的形式:$2_6=$
$(\frac{1}{2})^4$
，$(-\frac{1}{3})_7=$$(-3)^5$
.(3) 将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式:$a_n=$
$(\frac{1}{a})^{n-2}$
.【结论应用】(4) 计算:$12^2÷(-\frac{1}{3})_4×(-2)_6 - (-\frac{1}{3})_6 ÷3^3$.
答案
11.(1)$\frac{1}{2}$ 2 (2)$(\frac{1}{2})^4$ $(-3)^5$ (3)$(\frac{1}{a})^{n-2}$ (4)$12^2 ÷ (-\frac{1}{3})_4 × (-2)_6 - (-\frac{1}{3})_6 ÷ 3^3 =144 ÷ (-3)^2 × (-\frac{1}{2})^4 - (-3)^4 ÷ 3^3 =144 ÷9 × \frac{1}{16} - 3^4 ÷3^3 =1-3=-2$
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题的核心是先准确理解“下n次方”的定义：$a_n$表示n个非零有理数a连续做除法运算。解题时可按以下思路推进：
(1) 直接根据定义把除方运算转化为连续除法计算即可；
(2) 仿照题干给出的示例，将连续除法转化为乘以倒数的乘法运算，再整理为幂的形式；
(3) 从(1)(2)的具体运算中总结通用规律，把a的下n次方转化为普通乘方的形式；
(4) 先利用(3)得到的规律把算式里的所有除方运算转化为普通乘方，再按照有理数混合运算的顺序（先乘方，再乘除，最后算加减）逐步计算即可。
【解析】
(1) 根据定义计算：
$2_3=2÷2÷2=1÷2=\frac{1}{2}$；
$(\frac{1}{2})_3=\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}=1÷\frac{1}{2}=2$。
(2) 仿照示例转化为幂的形式：
$2_6=2÷2÷2÷2÷2÷2=2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^4$；
$(-\frac{1}{3})_7=\underbrace{(-\frac{1}{3})÷(-\frac{1}{3})÷···÷(-\frac{1}{3})}_{7个-\frac{1}{3}}=(-\frac{1}{3})×\underbrace{(-3)×(-3)×···×(-3)}_{6个-3}=(-3)^5$。
(3) 总结通用规律：
n个a连续相除，$a_n=\underbrace{a÷ a÷···÷ a}_{n个a}=a×(\frac{1}{a})^{n-1}=(\frac{1}{a})^{n-2}\ (a≠0)$。
(4) 先转换除方为乘方，再按运算顺序计算：
$12^2÷(-\frac{1}{3})_4×(-2)_6 - (-\frac{1}{3})_6 ÷3^3$
$=144 ÷ (-3)^2 × (-\frac{1}{2})^4 - (-3)^4 ÷ 3^3$
$=144 ÷9 × \frac{1}{16} - 3^4 ÷3^3$
$=16×\frac{1}{16}-3$
$=1-3=-2$
【答案】
(1)$\frac{1}{2}$；$2$
(2)$(\frac{1}{2})^4$；$(-3)^5$
(3)$(\frac{1}{a})^{n-2}(a≠0)$
(4)$-2$
【知识点】
新定义运算；有理数混合运算；有理数的乘方
【点评】
本题属于新定义探究类题型，侧重考查对新概念的理解能力、知识迁移能力和运算能力，解题的关键是先读懂除方的定义，通过除法转乘法的方法推导得到除方转化为普通乘方的规律，再运用规律解决运算问题。
【难度系数】
0.7
本题是新定义运算类题目，解题的核心是先准确理解“下n次方”的定义：$a_n$表示n个非零有理数a连续做除法运算。解题时可按以下思路推进：
(1) 直接根据定义把除方运算转化为连续除法计算即可；
(2) 仿照题干给出的示例，将连续除法转化为乘以倒数的乘法运算，再整理为幂的形式；
(3) 从(1)(2)的具体运算中总结通用规律，把a的下n次方转化为普通乘方的形式；
(4) 先利用(3)得到的规律把算式里的所有除方运算转化为普通乘方，再按照有理数混合运算的顺序（先乘方，再乘除，最后算加减）逐步计算即可。
【解析】
(1) 根据定义计算：
$2_3=2÷2÷2=1÷2=\frac{1}{2}$；
$(\frac{1}{2})_3=\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}=1÷\frac{1}{2}=2$。
(2) 仿照示例转化为幂的形式：
$2_6=2÷2÷2÷2÷2÷2=2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^4$；
$(-\frac{1}{3})_7=\underbrace{(-\frac{1}{3})÷(-\frac{1}{3})÷···÷(-\frac{1}{3})}_{7个-\frac{1}{3}}=(-\frac{1}{3})×\underbrace{(-3)×(-3)×···×(-3)}_{6个-3}=(-3)^5$。
(3) 总结通用规律：
n个a连续相除，$a_n=\underbrace{a÷ a÷···÷ a}_{n个a}=a×(\frac{1}{a})^{n-1}=(\frac{1}{a})^{n-2}\ (a≠0)$。
(4) 先转换除方为乘方，再按运算顺序计算：
$12^2÷(-\frac{1}{3})_4×(-2)_6 - (-\frac{1}{3})_6 ÷3^3$
$=144 ÷ (-3)^2 × (-\frac{1}{2})^4 - (-3)^4 ÷ 3^3$
$=144 ÷9 × \frac{1}{16} - 3^4 ÷3^3$
$=16×\frac{1}{16}-3$
$=1-3=-2$
【答案】
(1)$\frac{1}{2}$；$2$
(2)$(\frac{1}{2})^4$；$(-3)^5$
(3)$(\frac{1}{a})^{n-2}(a≠0)$
(4)$-2$
【知识点】
新定义运算；有理数混合运算；有理数的乘方
【点评】
本题属于新定义探究类题型，侧重考查对新概念的理解能力、知识迁移能力和运算能力，解题的关键是先读懂除方的定义，通过除法转乘法的方法推导得到除方转化为普通乘方的规律，再运用规律解决运算问题。
【难度系数】
0.7
