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1.如图，点P是反比例函数$y=-\frac{2}{x}(x＜0)$图象上的一点，过点P向x轴作垂线，垂足为M，连接PO，则△OPM的面积为（
A.4
B.3
C.2
D.1
D
）A.4
B.3
C.2
D.1
答案
设$P(x,y)$,$\because$ 点 P 在反比例函数 $y=-\frac{2}{x}$ 的图象上,$\therefore xy=-2$,则$S_{△ OPM}=\frac{1}{2}OM· PM=\frac{1}{2}(-x)y=1$。故选 D.
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆反比例函数的相关性质：过反比例函数图象上任意一点向x轴（或y轴）作垂线，该点、垂足与原点围成的三角形面积和反比例函数的系数$k$相关。首先设出点$P$的坐标，利用点在反比例函数图象上的特征，得到横纵坐标的乘积等于$k$；再结合$x＜0$的取值范围，把线段$OM$、$PM$的长度用点$P$的坐标表示，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
设点$P$的坐标为$(x,y)$，其中$x＜0$，$y＞0$。
$\because$点$P$在反比例函数$y=-\frac{2}{x}$的图象上，
$\therefore$将$P$点坐标代入解析式可得$xy=-2$。
由图可知，$PM$是点$P$到$x$轴的距离，即$PM=y$；$OM$是点$M$到原点的距离，因为$x$为负数，所以$OM=|x|=-x$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ OPM}=\frac{1}{2} × OM × PM = \frac{1}{2} × (-x) × y = \frac{1}{2} × (-xy)$
把$xy=-2$代入上式，得：
$S_{△ OPM}=\frac{1}{2} × [-(-2)] = \frac{1}{2} × 2 = 1$
故选D。
【答案】D
【知识点】1.反比例函数$k$的几何意义 2.三角形面积计算
【点评】
这道题是反比例函数的基础应用题，核心是利用反比例函数系数$k$的几何意义快速求解三角形面积，解题时要注意坐标的正负与线段长度（非负）的转换，避免符号计算错误。记住结论“过反比例函数图象上一点作坐标轴的垂线，与原点围成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$”可以提高解题效率。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆反比例函数的相关性质：过反比例函数图象上任意一点向x轴（或y轴）作垂线，该点、垂足与原点围成的三角形面积和反比例函数的系数$k$相关。首先设出点$P$的坐标，利用点在反比例函数图象上的特征，得到横纵坐标的乘积等于$k$；再结合$x＜0$的取值范围，把线段$OM$、$PM$的长度用点$P$的坐标表示，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
设点$P$的坐标为$(x,y)$，其中$x＜0$，$y＞0$。
$\because$点$P$在反比例函数$y=-\frac{2}{x}$的图象上，
$\therefore$将$P$点坐标代入解析式可得$xy=-2$。
由图可知，$PM$是点$P$到$x$轴的距离，即$PM=y$；$OM$是点$M$到原点的距离，因为$x$为负数，所以$OM=|x|=-x$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ OPM}=\frac{1}{2} × OM × PM = \frac{1}{2} × (-x) × y = \frac{1}{2} × (-xy)$
把$xy=-2$代入上式，得：
$S_{△ OPM}=\frac{1}{2} × [-(-2)] = \frac{1}{2} × 2 = 1$
故选D。
【答案】D
【知识点】1.反比例函数$k$的几何意义 2.三角形面积计算
【点评】
这道题是反比例函数的基础应用题，核心是利用反比例函数系数$k$的几何意义快速求解三角形面积，解题时要注意坐标的正负与线段长度（非负）的转换，避免符号计算错误。记住结论“过反比例函数图象上一点作坐标轴的垂线，与原点围成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$”可以提高解题效率。
【难度系数】
0.8
2.「2026江苏南通海门海南中学期中」如图,反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过$□ ABCD$对角线的交点$P$,已知点$A,C,D$在坐标轴上,$BD ⊥ DC$,$□ ABCD$的面积为6,则$k$的值为（
A.$-6$
B.$-5$
C.$-4$
D.$-3$
D
）A.$-6$
B.$-5$
C.$-4$
D.$-3$
答案
设 $P(x,y)$，$\because$ 点 P 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象上,$\therefore k=xy$，$\because$ 点 P 是$□ ABCD$ 对角线的交点,$\therefore BP=DP$，$\because BD ⊥ DC$,$\therefore D(x,0),\therefore B(x,2y)$，$\because □ ABCD$ 的面积为 6，$\therefore AB · BD=-x×2y=-2k=6$,解得 $k=-3$.
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，因此对角线交点P是BD的中点。观察图形可知BD垂直于x轴，故B、P、D三点横坐标相同，我们可以通过设P点坐标，利用中点性质推出B、D的坐标，再结合平行四边形的面积公式（底×高）建立等式，最后结合反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k=xy$的关系即可求出k的值，注意P在第二象限，x为负，最终k为负数。
【解析】
设点$P$的坐标为$(x,y)$，
∵ 点$P$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴ $y=\frac{k}{x}$，即$k=xy$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，$P$是对角线的交点，
∴ 平行四边形对角线互相平分，可得$BP=DP$，即$P$为$BD$的中点。
又
∵ $BD⊥ DC$，$DC$在$x$轴上，
∴ $BD$为竖直线段，$D$点横坐标与$P$相同，纵坐标为$0$，即$D(x,0)$；
结合$P$是$BD$中点，可得$B$点坐标为$(x,2y)$。
∵ 平行四边形$ABCD$中$AB// CD$，$CD$在$x$轴上，点$A$在$y$轴上，
∴ $AB$的长度为$0-x=-x$（$x$为负数，长度为正），$BD$的长度为$2y-0=2y$。
已知平行四边形$ABCD$的面积为6，由面积公式得：
$AB· BD=-x× 2y=6$，整理得$-2xy=6$。
将$k=xy$代入上式，得$-2k=6$，解得$k=-3$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质，反比例函数的性质，坐标与图形的性质
【点评】
本题是反比例函数与平行四边形的综合题，解题核心是利用平行四边形对角线互相平分的性质得到点坐标的关系，再结合面积公式建立与反比例函数系数k的关联，解题时要注意坐标的符号，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，因此对角线交点P是BD的中点。观察图形可知BD垂直于x轴，故B、P、D三点横坐标相同，我们可以通过设P点坐标，利用中点性质推出B、D的坐标，再结合平行四边形的面积公式（底×高）建立等式，最后结合反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k=xy$的关系即可求出k的值，注意P在第二象限，x为负，最终k为负数。
【解析】
设点$P$的坐标为$(x,y)$，
∵ 点$P$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴ $y=\frac{k}{x}$，即$k=xy$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，$P$是对角线的交点，
∴ 平行四边形对角线互相平分，可得$BP=DP$，即$P$为$BD$的中点。
又
∵ $BD⊥ DC$，$DC$在$x$轴上，
∴ $BD$为竖直线段，$D$点横坐标与$P$相同，纵坐标为$0$，即$D(x,0)$；
结合$P$是$BD$中点，可得$B$点坐标为$(x,2y)$。
∵ 平行四边形$ABCD$中$AB// CD$，$CD$在$x$轴上，点$A$在$y$轴上，
∴ $AB$的长度为$0-x=-x$（$x$为负数，长度为正），$BD$的长度为$2y-0=2y$。
已知平行四边形$ABCD$的面积为6，由面积公式得：
$AB· BD=-x× 2y=6$，整理得$-2xy=6$。
将$k=xy$代入上式，得$-2k=6$，解得$k=-3$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质，反比例函数的性质，坐标与图形的性质
【点评】
本题是反比例函数与平行四边形的综合题，解题核心是利用平行四边形对角线互相平分的性质得到点坐标的关系，再结合面积公式建立与反比例函数系数k的关联，解题时要注意坐标的符号，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.6
3.「2025海南中考」如图,在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y_1=kx+b$的图象与反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$的图象交于点$A(-1,-2),B(2,n)$,则不等式$kx+b＞\frac{m}{x}$的解集为（
A.$x＞2$
B.$x＜-1$
C.$-1＜x＜2$
D.$-1＜x＜0$或$x＞2$
D
）A.$x＞2$
B.$x＜-1$
C.$-1＜x＜2$
D.$-1＜x＜0$或$x＞2$
答案
当直线在双曲线上方时,$kx+6＞\frac{m}{x}$,由图象可得此时$-1＜x＜0$ 或 $x＞2$.故选 D.
解析
【分析】
求解不等式$kx+b＞\frac{m}{x}$的本质是找一次函数图象位于反比例函数图象上方时对应的$x$的取值范围。首先我们利用已知交点$A$的坐标求出反比例函数解析式，得到点$B$的坐标，明确两个函数图象的交点横坐标为$-1$和$2$，再结合反比例函数自变量$x≠0$的特点，将数轴划分为四个区间，逐一判断每个区间内两个函数的上下位置关系，即可得到解集。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
已知点$A(-1,-2)$在反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$的图象上，将$x=-1$，$y=-2$代入解析式得：
$-2=\frac{m}{-1}$，解得$m=2$，因此反比例函数解析式为$y_2=\frac{2}{x}$。
2. 求点$B$的坐标：
将$B(2,n)$代入$y_2=\frac{2}{x}$得：$n=\frac{2}{2}=1$，即$B$点坐标为$(2,1)$。
3. 结合图象判断满足条件的$x$范围：
两个函数的交点横坐标为$x=-1$和$x=2$，且反比例函数$x≠0$，因此将数轴分为$x＜-1$、$-1＜x＜0$、$0＜x＜2$、$x＞2$四个区间：
① 当$x＜-1$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，不满足$kx+b＞\frac{m}{x}$；
② 当$-1＜x＜0$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足不等式；
③ 当$0＜x＜2$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，不满足不等式；
④ 当$x＞2$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足不等式。
因此不等式$kx+b＞\frac{m}{x}$的解集为$-1＜x＜0$或$x＞2$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数与一次函数综合，利用函数图象解不等式，反比例函数图象性质
【点评】
本题侧重考查数形结合思想的应用，解题关键是理解不等式对应的函数图象位置关系，注意反比例函数图象分布在两个象限，需要以$x=0$为界分段讨论，避免遗漏$x＜0$时的解集。
【难度系数】
0.7
求解不等式$kx+b＞\frac{m}{x}$的本质是找一次函数图象位于反比例函数图象上方时对应的$x$的取值范围。首先我们利用已知交点$A$的坐标求出反比例函数解析式，得到点$B$的坐标，明确两个函数图象的交点横坐标为$-1$和$2$，再结合反比例函数自变量$x≠0$的特点，将数轴划分为四个区间，逐一判断每个区间内两个函数的上下位置关系，即可得到解集。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
已知点$A(-1,-2)$在反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$的图象上，将$x=-1$，$y=-2$代入解析式得：
$-2=\frac{m}{-1}$，解得$m=2$，因此反比例函数解析式为$y_2=\frac{2}{x}$。
2. 求点$B$的坐标：
将$B(2,n)$代入$y_2=\frac{2}{x}$得：$n=\frac{2}{2}=1$，即$B$点坐标为$(2,1)$。
3. 结合图象判断满足条件的$x$范围：
两个函数的交点横坐标为$x=-1$和$x=2$，且反比例函数$x≠0$，因此将数轴分为$x＜-1$、$-1＜x＜0$、$0＜x＜2$、$x＞2$四个区间：
① 当$x＜-1$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，不满足$kx+b＞\frac{m}{x}$；
② 当$-1＜x＜0$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足不等式；
③ 当$0＜x＜2$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，不满足不等式；
④ 当$x＞2$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足不等式。
因此不等式$kx+b＞\frac{m}{x}$的解集为$-1＜x＜0$或$x＞2$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数与一次函数综合，利用函数图象解不等式，反比例函数图象性质
【点评】
本题侧重考查数形结合思想的应用，解题关键是理解不等式对应的函数图象位置关系，注意反比例函数图象分布在两个象限，需要以$x=0$为界分段讨论，避免遗漏$x＜0$时的解集。
【难度系数】
0.7
4.「2025江苏常州中考」如图，在平面直角坐标系$xOy$中，一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象相交于点$A(1,n)$，$B(-3,-2)$，且与$y$轴交于点$C$.
(1)求一次函数、反比例函数的表达式.
(2)连接$OA$，求$△ OAC$的面积.
(1)求一次函数、反比例函数的表达式.
(2)连接$OA$，求$△ OAC$的面积.
答案
(1)将 $B(-3,-2)$ 代入 $y=\frac{m}{x}$,得$-2=\frac{m}{-3}$,解得 $m=6$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\frac{6}{x}$.将 $A(1,n)$ 代入 $y=\frac{6}{x}$,得 $n=6$,$\therefore A(1,6)$,将 $A(1,6)$,$B(-3,-2)$ 代入 $y=kx+b$,得$\begin{cases}6=k+b,\\-2=-3k+b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=2,\\b=4,\end{cases}$$\therefore$ 一次函数的表达式为 $y=2x+4$.
(2)当 $x=0$ 时,$y=2x+4=4$,$\therefore C(0,4)$,$\therefore OC=4$,
$\therefore S_{△ AOC}=\frac{1}{2}OC· |x_A|=\frac{1}{2}×4×1=2$.
(2)当 $x=0$ 时,$y=2x+4=4$,$\therefore C(0,4)$,$\therefore OC=4$,
$\therefore S_{△ AOC}=\frac{1}{2}OC· |x_A|=\frac{1}{2}×4×1=2$.
解析
【分析】
(1)求解函数表达式优先使用待定系数法：反比例函数仅含1个未知参数m，已知点B在反比例函数图象上，代入B点坐标即可求出m，得到反比例函数表达式；再将A点横坐标代入反比例函数求出n，得到A点完整坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数表达式，联立二元一次方程组求解k、b，即可得到一次函数表达式。
(2)求△OAC的面积时，首先确定点C是一次函数与y轴的交点，令一次函数中x=0即可求出C点坐标，得到OC的长度；△OAC以OC为底时，对应的高是点A到y轴的水平距离，即A点横坐标的绝对值，代入三角形面积公式即可计算出结果。
【解析】
(1)将点$B(-3,-2)$代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，可得：
$-2=\frac{m}{-3}$，解得$m=6$，
因此反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$。
将点$A(1,n)$代入$y=\frac{6}{x}$，得$n=\frac{6}{1}=6$，即A点坐标为$(1,6)$。
将$A(1,6)$、$B(-3,-2)$代入一次函数$y=kx+b$，联立方程组：
$\begin{cases}k+b=6\\-3k+b=-2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=2\\b=4\end{cases}$，
因此一次函数的表达式为$y=2x+4$。
(2)一次函数与y轴交于点C，令$x=0$，代入$y=2x+4$得$y=4$，即C点坐标为$(0,4)$，因此$OC=4$。
△OAC中，以OC为底，点A到y轴的距离为高，高等于A点横坐标的绝对值，即$|x_A|=1$，
因此面积$S_{△ OAC}=\frac{1}{2} × OC × |x_A|=\frac{1}{2} × 4 × 1=2$。
【答案】
(1)反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{6}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=2x+4}$；
(2)$△ OAC$的面积为$\boldsymbol{2}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的性质，反比例函数的性质
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，核心考察待定系数法求函数解析式的方法，以及坐标系中三角形面积的计算技巧，解题的关键是明确函数图象上的点坐标满足对应函数的解析式，同时能灵活选择底和高简化面积计算。
【难度系数】
0.8
(1)求解函数表达式优先使用待定系数法：反比例函数仅含1个未知参数m，已知点B在反比例函数图象上，代入B点坐标即可求出m，得到反比例函数表达式；再将A点横坐标代入反比例函数求出n，得到A点完整坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数表达式，联立二元一次方程组求解k、b，即可得到一次函数表达式。
(2)求△OAC的面积时，首先确定点C是一次函数与y轴的交点，令一次函数中x=0即可求出C点坐标，得到OC的长度；△OAC以OC为底时，对应的高是点A到y轴的水平距离，即A点横坐标的绝对值，代入三角形面积公式即可计算出结果。
【解析】
(1)将点$B(-3,-2)$代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，可得：
$-2=\frac{m}{-3}$，解得$m=6$，
因此反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$。
将点$A(1,n)$代入$y=\frac{6}{x}$，得$n=\frac{6}{1}=6$，即A点坐标为$(1,6)$。
将$A(1,6)$、$B(-3,-2)$代入一次函数$y=kx+b$，联立方程组：
$\begin{cases}k+b=6\\-3k+b=-2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=2\\b=4\end{cases}$，
因此一次函数的表达式为$y=2x+4$。
(2)一次函数与y轴交于点C，令$x=0$，代入$y=2x+4$得$y=4$，即C点坐标为$(0,4)$，因此$OC=4$。
△OAC中，以OC为底，点A到y轴的距离为高，高等于A点横坐标的绝对值，即$|x_A|=1$，
因此面积$S_{△ OAC}=\frac{1}{2} × OC × |x_A|=\frac{1}{2} × 4 × 1=2$。
【答案】
(1)反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{6}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=2x+4}$；
(2)$△ OAC$的面积为$\boldsymbol{2}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的性质，反比例函数的性质
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，核心考察待定系数法求函数解析式的方法，以及坐标系中三角形面积的计算技巧，解题的关键是明确函数图象上的点坐标满足对应函数的解析式，同时能灵活选择底和高简化面积计算。
【难度系数】
0.8
5.「2025宁夏中考，★☆」函数$y=\frac{k_1}{x}(k_1≠0)$和$y=\frac{k_2}{x}(k_2≠0)$的部分图象如图所示，点A在$y=\frac{k_1}{x}$的图象上，过点A作$AB// y$轴交x轴于点C，交$y=\frac{k_2}{x}$的图象于点B。若$AC=3BC$，则$\frac{k_1}{k_2}$的值为（
A.$-3$
B.$-\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$3$
A
）A.$-3$
B.$-\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$3$
答案
连接 $OA,OB$(图略),
由题意知 $OC ⊥ AB$,$AC=3BC$,则 $S_{△ OAC}=3S_{△ OBC}$.
由图象所在象限可得 $k_1＞0,k_2＜0$,
$\therefore S_{△ OAC}=\frac{|k_1|}{2}=\frac{k_1}{2}$,$S_{△ OBC}=\frac{|k_2|}{2}=\frac{k_2}{-2}$,
$\therefore \frac{k_1}{2}=3×(-\frac{k_2}{2})$,整理得$\frac{k_1}{k_2}=-3$.故选 A.
由题意知 $OC ⊥ AB$,$AC=3BC$,则 $S_{△ OAC}=3S_{△ OBC}$.
由图象所在象限可得 $k_1＞0,k_2＜0$,
$\therefore S_{△ OAC}=\frac{|k_1|}{2}=\frac{k_1}{2}$,$S_{△ OBC}=\frac{|k_2|}{2}=\frac{k_2}{-2}$,
$\therefore \frac{k_1}{2}=3×(-\frac{k_2}{2})$,整理得$\frac{k_1}{k_2}=-3$.故选 A.
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数中|k|的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足、原点构成的三角形面积为$\frac{|k|}{2}$。首先观察图象判断$k_1、k_2$的正负，再由$AC=3BC$得到$△ OAC$和$△ OBC$的面积关系，最后结合反比例函数k的几何意义建立等式，即可求出$\frac{k_1}{k_2}$的比值。
【解析】
连接$OA、OB$，
$\because AB// y$轴，$OC$在x轴上，$\therefore OC⊥ AB$，
$\because AC=3BC$，$△ OAC$和$△ OBC$同高（高为OC），
$\therefore S_{△ OAC}=3S_{△ OBC}$，
由图象可知，$y=\frac{k_1}{x}$的图象在第一象限，$\therefore k_1＞0$，$y=\frac{k_2}{x}$的图象在第四象限，$\therefore k_2＜0$，
根据反比例函数k的几何意义可得：$S_{△ OAC}=\frac{|k_1|}{2}=\frac{k_1}{2}$，$S_{△ OBC}=\frac{|k_2|}{2}=-\frac{k_2}{2}$，
代入面积关系得：$\frac{k_1}{2}=3×(-\frac{k_2}{2})$，
两边同乘2得$k_1=-3k_2$，整理得$\frac{k_1}{k_2}=-3$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的常见基础题型，解题的核心是利用同高三角形的面积比等于底边长的比，结合反比例函数k的几何意义建立关系，解题时需注意结合图象所在象限判断k的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆反比例函数中|k|的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足、原点构成的三角形面积为$\frac{|k|}{2}$。首先观察图象判断$k_1、k_2$的正负，再由$AC=3BC$得到$△ OAC$和$△ OBC$的面积关系，最后结合反比例函数k的几何意义建立等式，即可求出$\frac{k_1}{k_2}$的比值。
【解析】
连接$OA、OB$，
$\because AB// y$轴，$OC$在x轴上，$\therefore OC⊥ AB$，
$\because AC=3BC$，$△ OAC$和$△ OBC$同高（高为OC），
$\therefore S_{△ OAC}=3S_{△ OBC}$，
由图象可知，$y=\frac{k_1}{x}$的图象在第一象限，$\therefore k_1＞0$，$y=\frac{k_2}{x}$的图象在第四象限，$\therefore k_2＜0$，
根据反比例函数k的几何意义可得：$S_{△ OAC}=\frac{|k_1|}{2}=\frac{k_1}{2}$，$S_{△ OBC}=\frac{|k_2|}{2}=-\frac{k_2}{2}$，
代入面积关系得：$\frac{k_1}{2}=3×(-\frac{k_2}{2})$，
两边同乘2得$k_1=-3k_2$，整理得$\frac{k_1}{k_2}=-3$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的常见基础题型，解题的核心是利用同高三角形的面积比等于底边长的比，结合反比例函数k的几何意义建立关系，解题时需注意结合图象所在象限判断k的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
6.「2026江苏南通期中，★☆」如图，点A,B分别在反比例函数$y=\frac{1}{x}$和$y=\frac{4}{x}$的图象上，且$AB// x$轴，连接OB与反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象交于点C，连接AC，则$△ ABC$的面积为
$\frac{3}{4}$
。答案
设$A(a,\frac{1}{a})$,由题意得$a＞0$,$\because AB// x$轴,$\therefore y_B=y_A=\frac{1}{a}$,将$y_B=\frac{1}{a}$代入$y=\frac{4}{x}$,得$x_B=4a$,则$B(4a,\frac{1}{a})$,
设直线 $OB$ 的表达式为 $y=mx$,则$\frac{1}{a}=m· 4a$,解得 $m=\frac{1}{4a^2}$,$\therefore$ 直线 $OB$ 的表达式为 $y=\frac{1}{4a^2}x$,联立$\begin{cases}y=\frac{1}{4a^2}x,\\y=\frac{1}{x},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=2a,\\y=\frac{1}{2a}\end{cases}$ 或$\begin{cases}x=-2a,\\y=-\frac{1}{2a}\end{cases}$(舍),$\therefore C(2a,\frac{1}{2a})$,$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(4a-a)· (\frac{1}{a}-\frac{1}{2a})=\frac{3}{4}$.
设直线 $OB$ 的表达式为 $y=mx$,则$\frac{1}{a}=m· 4a$,解得 $m=\frac{1}{4a^2}$,$\therefore$ 直线 $OB$ 的表达式为 $y=\frac{1}{4a^2}x$,联立$\begin{cases}y=\frac{1}{4a^2}x,\\y=\frac{1}{x},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=2a,\\y=\frac{1}{2a}\end{cases}$ 或$\begin{cases}x=-2a,\\y=-\frac{1}{2a}\end{cases}$(舍),$\therefore C(2a,\frac{1}{2a})$,$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(4a-a)· (\frac{1}{a}-\frac{1}{2a})=\frac{3}{4}$.
解析
【分析】
解题时先利用AB平行于x轴的特征，可知A、B两点纵坐标相等，我们可以先设出点A的坐标，结合两个反比例函数的表达式求出点B的坐标；再用待定系数法求出直线OB的解析式，将其与反比例函数$y=\frac{1}{x}$联立求解得到点C的坐标；最后△ABC的底为AB的长度，高为AB所在直线与点C的垂直距离（即A、C两点纵坐标的差），代入三角形面积公式计算即可，计算过程中参数a会被消去，得到固定的面积值。
【解析】
设$A(a,\frac{1}{a})$，由题意得$a＞0$，
$\because AB// x$轴，$\therefore y_B=y_A=\frac{1}{a}$，
将$y_B=\frac{1}{a}$代入$y=\frac{4}{x}$，得$x_B=4a$，则$B(4a,\frac{1}{a})$，
设直线OB的表达式为$y=mx$，代入B点坐标得$\frac{1}{a}=m·4a$，解得$m=\frac{1}{4a^2}$，
$\therefore$直线OB的表达式为$y=\frac{1}{4a^2}x$，
联立$\begin{cases}y=\frac{1}{4a^2}x\\y=\frac{1}{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=2a\\y=\frac{1}{2a}\end{cases}$或$\begin{cases}x=-2a\\y=-\frac{1}{2a}\end{cases}$（图象在第一象限，舍去负解），
$\therefore C(2a,\frac{1}{2a})$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(4a-a)·(\frac{1}{a}-\frac{1}{2a})=\frac{1}{2}×3a×\frac{1}{2a}=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
反比例函数的性质，待定系数法求解析式，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数结合的常考题型，解题核心是利用平行于x轴的直线上点的纵坐标相等的特征设点，通过函数表达式依次求出各点坐标，计算面积时参数会自然消去，无需额外求解参数值，整体思路清晰。
【难度系数】
0.7
解题时先利用AB平行于x轴的特征，可知A、B两点纵坐标相等，我们可以先设出点A的坐标，结合两个反比例函数的表达式求出点B的坐标；再用待定系数法求出直线OB的解析式，将其与反比例函数$y=\frac{1}{x}$联立求解得到点C的坐标；最后△ABC的底为AB的长度，高为AB所在直线与点C的垂直距离（即A、C两点纵坐标的差），代入三角形面积公式计算即可，计算过程中参数a会被消去，得到固定的面积值。
【解析】
设$A(a,\frac{1}{a})$，由题意得$a＞0$，
$\because AB// x$轴，$\therefore y_B=y_A=\frac{1}{a}$，
将$y_B=\frac{1}{a}$代入$y=\frac{4}{x}$，得$x_B=4a$，则$B(4a,\frac{1}{a})$，
设直线OB的表达式为$y=mx$，代入B点坐标得$\frac{1}{a}=m·4a$，解得$m=\frac{1}{4a^2}$，
$\therefore$直线OB的表达式为$y=\frac{1}{4a^2}x$，
联立$\begin{cases}y=\frac{1}{4a^2}x\\y=\frac{1}{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=2a\\y=\frac{1}{2a}\end{cases}$或$\begin{cases}x=-2a\\y=-\frac{1}{2a}\end{cases}$（图象在第一象限，舍去负解），
$\therefore C(2a,\frac{1}{2a})$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(4a-a)·(\frac{1}{a}-\frac{1}{2a})=\frac{1}{2}×3a×\frac{1}{2a}=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
反比例函数的性质，待定系数法求解析式，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数结合的常考题型，解题核心是利用平行于x轴的直线上点的纵坐标相等的特征设点，通过函数表达式依次求出各点坐标，计算面积时参数会自然消去，无需额外求解参数值，整体思路清晰。
【难度系数】
0.7
