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7.「2026江苏扬州一模，★☆」如图所示，一次函数$y=mx+n(m≠0)$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象交于点$A(-2,a)$和点$B(b,-2)$，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，$△ AOC$的面积为4.
(1)分别求出$a$和$b$的值.
(2)结合图象直接写出$mx-\frac{k}{x}+n≥0$时，$x$的取值范围.
(3)在$y$轴上取点$P$，当$PB-PA$取得最大值时，求出点$P$的坐标.
(1)分别求出$a$和$b$的值.
(2)结合图象直接写出$mx-\frac{k}{x}+n≥0$时，$x$的取值范围.
(3)在$y$轴上取点$P$，当$PB-PA$取得最大值时，求出点$P$的坐标.
答案
(1)将 $A(-2,a)$ 代入 $y=\frac{k}{x}$,得 $k=-2a$,
$\because S_{△ AOC}=\frac{1}{2}OC· AC=\frac{1}{2}×2× a=a=4$,$\therefore k=-2a=-8$,
$\therefore$ 反比例函数的关系式为 $y=-\frac{8}{x}$,将点 $B(b,-2)$ 代入 $y=-\frac{8}{x}$,得 $b=4$.综上所述,$a=4$,$b=4$.
(2)$x≤ -2$ 或 $0＜x≤ 4$.
详解:由(1)得 $A(-2,4)$,$B(4,-2)$,
$mx-\frac{k}{x}+n≥ 0$ 可整理为 $mx+n≥ \frac{k}{x}$,
结合图象可得直线在双曲线上方或相交时,
$x$ 的取值范围为 $x≤ -2$ 或 $0＜x≤ 4$.
(3)作点 A 关于 y 轴的对称点 $A'$,连接 $BA'$ 并延长,交 y 轴于点 P,连接 PA,如图,此时 $PB-PA$ 的值最大,为 $A'B$ 的长.
易知点 $A'$ 的坐标为 $(2,4)$,设直线 $A'B$ 的关系式为 $y=cx+d$,将 $A'(2,4)$ 和 $B(4,-2)$ 代入,得$\begin{cases}2c+d=4,\\4c+d=-2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}c=-3,\\d=10,\end{cases}$$\therefore$ 直线 $A'B$ 的关系式为 $y=-3x+10$,在 $y=-3x+10$ 中,令 $x=0$,则 $y=10$,$\therefore$ 直线 $y=-3x+10$ 与 y 轴的交点坐标为 $(0,10)$,即点 P 的坐标为 $(0,10)$.
解析
【分析】
(1) 求解a值可利用△AOC的面积，A点横坐标为-2可知OC长为2，AC长等于A点纵坐标a，代入三角形面积公式即可直接求出a；再将A点坐标代入反比例函数求出k值，得到反比例函数解析式后，将B点纵坐标代入解析式即可求出b的值。
(2) 先将不等式$mx-\frac{k}{x}+n≥0$变形为$mx+n≥\frac{k}{x}$，即求一次函数值大于等于反比例函数值时x的范围，结合两个函数的交点坐标，观察图像中直线在双曲线上方（含交点）对应的x取值即可，注意反比例函数自变量x不为0。
(3) 求y轴上点P使$PB-PA$最大，可利用轴对称性质：作点A关于y轴的对称点$A'$，则$PA=PA'$，因此$PB-PA=PB-PA'$，根据三角形三边关系，当P、$A'$、B三点共线时，$PB-PA'=A'B$，此时差值最大，求出直线$A'B$的解析式后，计算其与y轴的交点即为点P的坐标。
【解析】
(1) 将 $A(-2,a)$ 代入 $y=\frac{k}{x}$,得 $k=-2a$,
$\because S_{△ AOC}=\frac{1}{2}OC· AC=\frac{1}{2}×2× a=a=4$,$\therefore a=4$，$k=-2a=-8$,
$\therefore$ 反比例函数的关系式为 $y=-\frac{8}{x}$,将点 $B(b,-2)$ 代入 $y=-\frac{8}{x}$,得 $-2=\frac{-8}{b}$，解得$b=4$。
(2) 由(1)得 $A(-2,4)$,$B(4,-2)$,
$mx-\frac{k}{x}+n≥ 0$ 可整理为 $mx+n≥ \frac{k}{x}$,即一次函数值大于等于反比例函数值，
结合图象可得直线在双曲线上方或相交时，$x$的取值范围为 $x≤ -2$ 或 $0＜x≤ 4$。
(3) 作点 A 关于 y 轴的对称点 $A'$,连接 $BA'$ 并延长,交 y 轴于点 P,连接 PA,如图,此时 $PB-PA$ 的值最大,为 $A'B$ 的长。
易知点 $A'$ 的坐标为 $(2,4)$,设直线 $A'B$ 的关系式为 $y=cx+d$,将 $A'(2,4)$ 和 $B(4,-2)$ 代入,得$\begin{cases}2c+d=4,\\4c+d=-2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}c=-3,\\d=10,\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $A'B$ 的关系式为 $y=-3x+10$,在 $y=-3x+10$ 中,令 $x=0$,则 $y=10$,
$\therefore$ 直线 $y=-3x+10$ 与 y 轴的交点坐标为 $(0,10)$,即点 P 的坐标为 $(0,10)$。
【答案】
(1)$a=4$，$b=4$
(2)$x≤ -2$ 或 $0＜x≤ 4$
(3)点P的坐标为$(0,10)$，对应辅助线图：
【知识点】
反比例函数的性质，函数图像解不等式，轴对称求最值
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，既考查了待定系数法求函数解析式的基础能力，也需要运用数形结合思想求解不等式，还结合轴对称性质解决最值问题，能有效考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求解a值可利用△AOC的面积，A点横坐标为-2可知OC长为2，AC长等于A点纵坐标a，代入三角形面积公式即可直接求出a；再将A点坐标代入反比例函数求出k值，得到反比例函数解析式后，将B点纵坐标代入解析式即可求出b的值。
(2) 先将不等式$mx-\frac{k}{x}+n≥0$变形为$mx+n≥\frac{k}{x}$，即求一次函数值大于等于反比例函数值时x的范围，结合两个函数的交点坐标，观察图像中直线在双曲线上方（含交点）对应的x取值即可，注意反比例函数自变量x不为0。
(3) 求y轴上点P使$PB-PA$最大，可利用轴对称性质：作点A关于y轴的对称点$A'$，则$PA=PA'$，因此$PB-PA=PB-PA'$，根据三角形三边关系，当P、$A'$、B三点共线时，$PB-PA'=A'B$，此时差值最大，求出直线$A'B$的解析式后，计算其与y轴的交点即为点P的坐标。
【解析】
(1) 将 $A(-2,a)$ 代入 $y=\frac{k}{x}$,得 $k=-2a$,
$\because S_{△ AOC}=\frac{1}{2}OC· AC=\frac{1}{2}×2× a=a=4$,$\therefore a=4$，$k=-2a=-8$,
$\therefore$ 反比例函数的关系式为 $y=-\frac{8}{x}$,将点 $B(b,-2)$ 代入 $y=-\frac{8}{x}$,得 $-2=\frac{-8}{b}$，解得$b=4$。
(2) 由(1)得 $A(-2,4)$,$B(4,-2)$,
$mx-\frac{k}{x}+n≥ 0$ 可整理为 $mx+n≥ \frac{k}{x}$,即一次函数值大于等于反比例函数值，
结合图象可得直线在双曲线上方或相交时，$x$的取值范围为 $x≤ -2$ 或 $0＜x≤ 4$。
(3) 作点 A 关于 y 轴的对称点 $A'$,连接 $BA'$ 并延长,交 y 轴于点 P,连接 PA,如图,此时 $PB-PA$ 的值最大,为 $A'B$ 的长。
易知点 $A'$ 的坐标为 $(2,4)$,设直线 $A'B$ 的关系式为 $y=cx+d$,将 $A'(2,4)$ 和 $B(4,-2)$ 代入,得$\begin{cases}2c+d=4,\\4c+d=-2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}c=-3,\\d=10,\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $A'B$ 的关系式为 $y=-3x+10$,在 $y=-3x+10$ 中,令 $x=0$,则 $y=10$,
$\therefore$ 直线 $y=-3x+10$ 与 y 轴的交点坐标为 $(0,10)$,即点 P 的坐标为 $(0,10)$。
【答案】
(1)$a=4$，$b=4$
(2)$x≤ -2$ 或 $0＜x≤ 4$
(3)点P的坐标为$(0,10)$，对应辅助线图：
【知识点】
反比例函数的性质，函数图像解不等式，轴对称求最值
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，既考查了待定系数法求函数解析式的基础能力，也需要运用数形结合思想求解不等式，还结合轴对称性质解决最值问题，能有效考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
8. 核心素养模型观念 在学习反比例函数后,小华在同一个平面直角坐标系中画出了 $y=\dfrac{9}{x}(x＞0)$ 和 $y=-x+10$ 的图象,两个函数图象交于 $A(1,9),B(9,1)$ 两点,在线段 $AB$ 上选取一点 $P$,过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线交反比例函数图象于点 $Q$(如图 1),在点 $P$ 移动的过程中,发现 $PQ$ 的长度随着点 $P$ 的运动而变化.为了进一步研究 $PQ$ 的长度与点 $P$ 的横坐标之间的关系,小华提出了下列问题:
(1)设点 $P$ 的横坐标为 $x$,$PQ$ 的长度为 $y$,则 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $\underline{\hspace{5cm}}$($1≤ x≤9$).
(2)为了进一步研究(1)中的函数关系,决定运用列表,描点,连线的方法绘制函数的图象.
①列表:表中 $m=\underline{\hspace{1cm}}$.
| $x$ | $1$ | $\dfrac{3}{2}$ | $2$ | $3$ | $4$ | $\dfrac{9}{2}$ | $6$ | $9$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $0$ | $\dfrac{5}{2}$ | $m$ | $4$ | $\dfrac{15}{4}$ | $\dfrac{7}{2}$ | $\dfrac{5}{2}$ | $0$ |
②描点:根据上表中的数据,在图2中描出各点.
③连线:请在图2中画出该函数的图象.观察函数图象,$y$ 的最大值为 $\underline{\hspace{1cm}}$.
④阅读:当 $a,b$ 都是正数时,有 $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2≥0$,即 $a+b≥2\sqrt{ab}$,只有当 $a=b$ 时,$a+b=2\sqrt{ab}$ 才成立.
请用这个规律说明③中 $y$ 的最大值的正确性.
(1)设点 $P$ 的横坐标为 $x$,$PQ$ 的长度为 $y$,则 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $\underline{\hspace{5cm}}$($1≤ x≤9$).
(2)为了进一步研究(1)中的函数关系,决定运用列表,描点,连线的方法绘制函数的图象.
①列表:表中 $m=\underline{\hspace{1cm}}$.
| $x$ | $1$ | $\dfrac{3}{2}$ | $2$ | $3$ | $4$ | $\dfrac{9}{2}$ | $6$ | $9$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $0$ | $\dfrac{5}{2}$ | $m$ | $4$ | $\dfrac{15}{4}$ | $\dfrac{7}{2}$ | $\dfrac{5}{2}$ | $0$ |
②描点:根据上表中的数据,在图2中描出各点.
③连线:请在图2中画出该函数的图象.观察函数图象,$y$ 的最大值为 $\underline{\hspace{1cm}}$.
④阅读:当 $a,b$ 都是正数时,有 $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2≥0$,即 $a+b≥2\sqrt{ab}$,只有当 $a=b$ 时,$a+b=2\sqrt{ab}$ 才成立.
请用这个规律说明③中 $y$ 的最大值的正确性.
答案
(1)$y=-x-\frac{9}{x}+10$.
详解:由点 P 的横坐标为 x,可得 $P(x,-x+10)$,
$Q(x,\frac{9}{x})$,$\because PQ$ 的长度为 $y$,$\therefore y=-x-\frac{9}{x}+10$.
(2)①$\frac{7}{2}$.
②如图.
③如图,$y$ 的最大值为 4.
④$\because x+\frac{9}{x}≥ 2\sqrt{x· \frac{9}{x}}=6$,
$\therefore$ 当 $x=\frac{9}{x}$,即 $x=3$($x=-3$ 舍去)时,$x+\frac{9}{x}$ 有最小值,为 6,
$\therefore$ 此时$-(x+\frac{9}{x})$ 有最大值,为$-6$,
$\therefore y=-x-\frac{9}{x}+10$ 有最大值,为 $10-6=4$,
故③中 $y$ 的最大值正确.
解析
【分析】
解题思路分步骤梳理：
1. 第(1)问：已知P点横坐标为x，首先根据P在线段AB上（对应一次函数$y=-x+10$）得到P点坐标；Q点与P点横坐标相同，在反比例函数$y=\frac{9}{x}$上，可得Q点坐标。1≤x≤9范围内一次函数图象在反比例函数上方，故PQ长度为P点纵坐标减Q点纵坐标，整理可得函数关系式。
2. 第(2)问①：将x=2代入第(1)问得到的函数关系式，计算即可得到m的值。
3. 第(2)问③：将描出的点用平滑曲线连接，观察图象的最高点对应纵坐标，即可得到y的最大值。
4. 第(2)问④：将函数解析式变形为$y=10-(x+\frac{9}{x})$，利用题中给出的$a+b≥2\sqrt{ab}$的规律，代入a=x、b=$\frac{9}{x}$，先求$x+\frac{9}{x}$的最小值，进而推导得到y的最大值，验证图象结论即可。
【解析】
(1) 已知点P横坐标为x，且P在线段AB上，故P点坐标为$(x, -x+10)$；PQ平行于y轴，故Q点横坐标也为x，Q在反比例函数$y=\frac{9}{x}(x＞0)$上，故Q点坐标为$(x, \frac{9}{x})$。
1≤x≤9时一次函数图象在反比例函数上方，因此PQ的长度$y=(-x+10)-\frac{9}{x}$，整理得$y=-x-\frac{9}{x}+10(1≤x≤9)$。
(2) ① 将x=2代入$y=-x-\frac{9}{x}+10$，得$m=-2-\frac{9}{2}+10=\frac{7}{2}$。
② 按照表格中对应坐标在坐标系内描点即可。
③ 用平滑曲线连接各点，观察图象可得最高点的纵坐标为4，即y的最大值为4。
④ 证明：将函数变形为$y=10-(x+\frac{9}{x})$，已知x＞0，故x和$\frac{9}{x}$均为正数，根据题给规律$a+b≥2\sqrt{ab}$，令a=x，b=$\frac{9}{x}$，可得$x+\frac{9}{x}≥2\sqrt{x·\frac{9}{x}}=6$，当且仅当$x=\frac{9}{x}$即x=3（x=-3舍去）时，等号成立，即$x+\frac{9}{x}$的最小值为6。此时$10-(x+\frac{9}{x})$的最大值为$10-6=4$，即y的最大值为4，因此③中y的最大值正确。
【答案】
(1)$y=-x-\frac{9}{x}+10$
(2)①$\frac{7}{2}$
②如图.
③如图,$y$ 的最大值为 4.
④$\because x+\frac{9}{x}≥ 2\sqrt{x· \frac{9}{x}}=6$,$\therefore$ 当 $x=\frac{9}{x}$,即 $x=3$($x=-3$ 舍去)时,$x+\frac{9}{x}$ 有最小值,为 6,$\therefore$ 此时$-(x+\frac{9}{x})$ 有最大值,为$-6$,$\therefore y=-x-\frac{9}{x}+10$ 有最大值,为 $10-6=4$,故③中 $y$ 的最大值正确.
【知识点】
1. 函数综合应用
2. 函数图象绘制
3. 不等式求最值
【点评】
本题结合反比例函数与一次函数考察函数关系式推导、图象绘制能力，同时通过给定新不等式规律，考察新知识迁移应用能力，注重对学生分析问题、解决问题能力的培养，贴合核心素养中模型观念的考察要求。
【难度系数】
0.7
解题思路分步骤梳理：
1. 第(1)问：已知P点横坐标为x，首先根据P在线段AB上（对应一次函数$y=-x+10$）得到P点坐标；Q点与P点横坐标相同，在反比例函数$y=\frac{9}{x}$上，可得Q点坐标。1≤x≤9范围内一次函数图象在反比例函数上方，故PQ长度为P点纵坐标减Q点纵坐标，整理可得函数关系式。
2. 第(2)问①：将x=2代入第(1)问得到的函数关系式，计算即可得到m的值。
3. 第(2)问③：将描出的点用平滑曲线连接，观察图象的最高点对应纵坐标，即可得到y的最大值。
4. 第(2)问④：将函数解析式变形为$y=10-(x+\frac{9}{x})$，利用题中给出的$a+b≥2\sqrt{ab}$的规律，代入a=x、b=$\frac{9}{x}$，先求$x+\frac{9}{x}$的最小值，进而推导得到y的最大值，验证图象结论即可。
【解析】
(1) 已知点P横坐标为x，且P在线段AB上，故P点坐标为$(x, -x+10)$；PQ平行于y轴，故Q点横坐标也为x，Q在反比例函数$y=\frac{9}{x}(x＞0)$上，故Q点坐标为$(x, \frac{9}{x})$。
1≤x≤9时一次函数图象在反比例函数上方，因此PQ的长度$y=(-x+10)-\frac{9}{x}$，整理得$y=-x-\frac{9}{x}+10(1≤x≤9)$。
(2) ① 将x=2代入$y=-x-\frac{9}{x}+10$，得$m=-2-\frac{9}{2}+10=\frac{7}{2}$。
② 按照表格中对应坐标在坐标系内描点即可。
③ 用平滑曲线连接各点，观察图象可得最高点的纵坐标为4，即y的最大值为4。
④ 证明：将函数变形为$y=10-(x+\frac{9}{x})$，已知x＞0，故x和$\frac{9}{x}$均为正数，根据题给规律$a+b≥2\sqrt{ab}$，令a=x，b=$\frac{9}{x}$，可得$x+\frac{9}{x}≥2\sqrt{x·\frac{9}{x}}=6$，当且仅当$x=\frac{9}{x}$即x=3（x=-3舍去）时，等号成立，即$x+\frac{9}{x}$的最小值为6。此时$10-(x+\frac{9}{x})$的最大值为$10-6=4$，即y的最大值为4，因此③中y的最大值正确。
【答案】
(1)$y=-x-\frac{9}{x}+10$
(2)①$\frac{7}{2}$
②如图.
③如图,$y$ 的最大值为 4.
④$\because x+\frac{9}{x}≥ 2\sqrt{x· \frac{9}{x}}=6$,$\therefore$ 当 $x=\frac{9}{x}$,即 $x=3$($x=-3$ 舍去)时,$x+\frac{9}{x}$ 有最小值,为 6,$\therefore$ 此时$-(x+\frac{9}{x})$ 有最大值,为$-6$,$\therefore y=-x-\frac{9}{x}+10$ 有最大值,为 $10-6=4$,故③中 $y$ 的最大值正确.
【知识点】
1. 函数综合应用
2. 函数图象绘制
3. 不等式求最值
【点评】
本题结合反比例函数与一次函数考察函数关系式推导、图象绘制能力，同时通过给定新不等式规律，考察新知识迁移应用能力，注重对学生分析问题、解决问题能力的培养，贴合核心素养中模型观念的考察要求。
【难度系数】
0.7
