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10.「2026江苏淮安外国语学校一模，★☆」猜想函数$y=\frac{x-1}{x}$的性质，下面说法不正确的是（
A.该函数的函数值不可能为1
B.该函数图象不经过第三象限
C.该函数的图象关于点$(0,1)$对称
D.函数值$y$随$x$的增大而增大
D
）A.该函数的函数值不可能为1
B.该函数图象不经过第三象限
C.该函数的图象关于点$(0,1)$对称
D.函数值$y$随$x$的增大而增大
答案
10. D
∵y=(x-1)/x = x/x -1/x = -1/x +1,
∴该函数图象可以看作双曲线y=-1/x向上平移1个单位长度得到的,作函数图象示意图如图,
结合y=-1/x的图象性质及平移的性质可得,
y=(x-1)/x的图象关于点(0,1)对称,故C选项正确;
y=(x-1)/x的图象与直线y=1无交点,即函数值不可能为1,故A选项正确;
y=(x-1)/x的图象不经过第三象限,故B选项正确;
当x＞0或x＜0时,y随x的增大而增大,故D选项错误.故选D.
解析
【分析】
遇到这类陌生的分式函数，可先对函数表达式分离常数，将其转化为我们熟悉的反比例函数加常数的形式：先变形$y=\frac{x-1}{x}=1-\frac{1}{x}$，可知该函数是反比例函数$y=-\frac{1}{x}$向上平移1个单位得到的。接下来结合反比例函数$y=-\frac{1}{x}$的性质、函数平移的规律，逐一判断四个选项的正误，最终选出说法不正确的选项即可。
【解析】
先对函数变形：$y=\frac{x-1}{x} = \frac{x}{x} -\frac{1}{x} = 1-\frac{1}{x}$，因此该函数图象可以看作双曲线$y=-\frac{1}{x}$向上平移1个单位长度得到的，图象示意图如下：
结合反比例函数性质和平移规律分析选项：
1. 选项A：令$y=1$，则$1-\frac{1}{x}=1$，化简得$-\frac{1}{x}=0$，该方程无实数解，说明函数图象与直线$y=1$无交点，函数值不可能为1，A说法正确。
2. 选项B：当$x＜0$时，$-\frac{1}{x}＞0$，因此$y=1-\frac{1}{x}＞1$，对应图象在第二象限；当$x＞0$时，$-\frac{1}{x}＜0$，因此$y=1-\frac{1}{x}＜1$，对应图象在第一、第四象限，因此图象不经过第三象限，B说法正确。
3. 选项C：反比例函数$y=-\frac{1}{x}$的对称中心为$(0,0)$，向上平移1个单位后，对称中心也向上平移1个单位，变为$(0,1)$，因此该函数图象关于点$(0,1)$对称，C说法正确。
4. 选项D：该函数在$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，在$x＞0$时，$y$也随$x$的增大而增大，但不是在整个定义域内$y$随$x$的增大而增大：例如取$x_1=-1$，$y_1=2$；取$x_2=1$，$y_2=0$，$x_2＞x_1$但$y_2＜y_1$，因此D说法错误。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质，函数图象平移，函数单调性判断
【点评】
本题通过将陌生函数转化为熟悉的反比例函数平移形式来考查函数性质，解题的关键是掌握反比例函数的对称性、单调性、图象所在象限等性质，以及函数平移的规律，尤其要注意反比例函数的单调性仅在每个独立的分支上成立，不能直接描述为整体单调。
【难度系数】
0.7
遇到这类陌生的分式函数，可先对函数表达式分离常数，将其转化为我们熟悉的反比例函数加常数的形式：先变形$y=\frac{x-1}{x}=1-\frac{1}{x}$，可知该函数是反比例函数$y=-\frac{1}{x}$向上平移1个单位得到的。接下来结合反比例函数$y=-\frac{1}{x}$的性质、函数平移的规律，逐一判断四个选项的正误，最终选出说法不正确的选项即可。
【解析】
先对函数变形：$y=\frac{x-1}{x} = \frac{x}{x} -\frac{1}{x} = 1-\frac{1}{x}$，因此该函数图象可以看作双曲线$y=-\frac{1}{x}$向上平移1个单位长度得到的，图象示意图如下：
结合反比例函数性质和平移规律分析选项：
1. 选项A：令$y=1$，则$1-\frac{1}{x}=1$，化简得$-\frac{1}{x}=0$，该方程无实数解，说明函数图象与直线$y=1$无交点，函数值不可能为1，A说法正确。
2. 选项B：当$x＜0$时，$-\frac{1}{x}＞0$，因此$y=1-\frac{1}{x}＞1$，对应图象在第二象限；当$x＞0$时，$-\frac{1}{x}＜0$，因此$y=1-\frac{1}{x}＜1$，对应图象在第一、第四象限，因此图象不经过第三象限，B说法正确。
3. 选项C：反比例函数$y=-\frac{1}{x}$的对称中心为$(0,0)$，向上平移1个单位后，对称中心也向上平移1个单位，变为$(0,1)$，因此该函数图象关于点$(0,1)$对称，C说法正确。
4. 选项D：该函数在$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，在$x＞0$时，$y$也随$x$的增大而增大，但不是在整个定义域内$y$随$x$的增大而增大：例如取$x_1=-1$，$y_1=2$；取$x_2=1$，$y_2=0$，$x_2＞x_1$但$y_2＜y_1$，因此D说法错误。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质，函数图象平移，函数单调性判断
【点评】
本题通过将陌生函数转化为熟悉的反比例函数平移形式来考查函数性质，解题的关键是掌握反比例函数的对称性、单调性、图象所在象限等性质，以及函数平移的规律，尤其要注意反比例函数的单调性仅在每个独立的分支上成立，不能直接描述为整体单调。
【难度系数】
0.7
11.「2026福建泉州期末，★☆」已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k＞0$），当$2≤x≤3$时，函数$y$的最大值为$a$，则当$-2≤x≤-1$时，函数$y$有（
A.最大值$-2a$
B.最小值$-2a$
C.最小值$-a$
D.最大值$-\frac{2}{a}$
B
）A.最大值$-2a$
B.最小值$-2a$
C.最小值$-a$
D.最大值$-\frac{2}{a}$
答案
11. B
∵y=k/x(k＞0),
∴反比例函数的图象位于第一、三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小,
∵当2≤x≤3时,函数y的最大值是a,
∴当x=2时,y=a,
∴k=2×a=2a,
∵当-2≤x≤-1时,反比例函数图象在第三象限,
∴当x=-2时,函数有最大值,为2a/-2=-a,当x=-1时,函数有最小值,为2a/-1=-2a.故选B.
∵y=k/x(k＞0),
∴反比例函数的图象位于第一、三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小,
∵当2≤x≤3时,函数y的最大值是a,
∴当x=2时,y=a,
∴k=2×a=2a,
∵当-2≤x≤-1时,反比例函数图象在第三象限,
∴当x=-2时,函数有最大值,为2a/-2=-a,当x=-1时,函数有最小值,为2a/-1=-2a.故选B.
解析
【分析】
解题时先回忆反比例函数的性质：当k＞0时，函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小。首先根据x在[2,3]区间的最大值求出k的值，再分析x在[-2,-1]区间时函数的增减性，进而确定对应的最值即可。
【解析】
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＞0$，
∴函数图象位于第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小。
∵当$2≤x≤3$时，x均为正数，属于第一象限的取值范围，此时函数最大值为a，结合增减性可知x取最小值时y最大，即$x=2$时，$y=a$，
代入解析式得$a=\frac{k}{2}$，解得$k=2a$。
当$-2≤x≤-1$时，x均为负数，属于第三象限的取值范围，仍满足y随x的增大而减小：
当$x=-2$时，y取最大值，为$\frac{2a}{-2}=-a$；
当$x=-1$时，y取最小值，为$\frac{2a}{-1}=-2a$。
因此函数有最小值$-2a$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数系数与图象的关系；反比例函数的最值
【点评】
本题考查反比例函数增减性的应用，解题的关键是明确反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，需先判断自变量所在象限，再结合增减性确定最值对应的自变量取值，属于基础考点。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆反比例函数的性质：当k＞0时，函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小。首先根据x在[2,3]区间的最大值求出k的值，再分析x在[-2,-1]区间时函数的增减性，进而确定对应的最值即可。
【解析】
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＞0$，
∴函数图象位于第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小。
∵当$2≤x≤3$时，x均为正数，属于第一象限的取值范围，此时函数最大值为a，结合增减性可知x取最小值时y最大，即$x=2$时，$y=a$，
代入解析式得$a=\frac{k}{2}$，解得$k=2a$。
当$-2≤x≤-1$时，x均为负数，属于第三象限的取值范围，仍满足y随x的增大而减小：
当$x=-2$时，y取最大值，为$\frac{2a}{-2}=-a$；
当$x=-1$时，y取最小值，为$\frac{2a}{-1}=-2a$。
因此函数有最小值$-2a$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数系数与图象的关系；反比例函数的最值
【点评】
本题考查反比例函数增减性的应用，解题的关键是明确反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，需先判断自变量所在象限，再结合增减性确定最值对应的自变量取值，属于基础考点。
【难度系数】
0.8
12. 学科特色 设点坐标法「2025江苏无锡中考，★☆」如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OBA的直角边OB在x轴上，AO，AB分别与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象相交于点C，D，且C为AO的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接DE。若△BDE的面积为$\frac{5}{4}$，则k的值为（
A.$\frac{5}{4}$
B.$\frac{5}{2}$
C.5
D.10
C
）A.$\frac{5}{4}$
B.$\frac{5}{2}$
C.5
D.10
答案
12. C
设C(a,k/a),
∵CE⊥x轴,
∴E(a,0),
∵C为AO的中点,
∴A(2a,2k/a),
∵AB⊥x轴,点D在y=k/x的图象上,
∴D(2a,k/(2a)),B(2a,0),则S△BDE=1/2 ×EB×BD=1/2 ×a ×k/(2a)=1/4 k=5/4,
∴k=5.故选C.
技巧归纳 ①对于函数图象上的点,可以设点的横坐标,代入函数表达式表示其纵坐标.
②平行于x轴的线段长度=横坐标"右-左";
平行于y轴的线段长度=纵坐标"上-下";
对于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则AB的中点坐标为((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2).
设C(a,k/a),
∵CE⊥x轴,
∴E(a,0),
∵C为AO的中点,
∴A(2a,2k/a),
∵AB⊥x轴,点D在y=k/x的图象上,
∴D(2a,k/(2a)),B(2a,0),则S△BDE=1/2 ×EB×BD=1/2 ×a ×k/(2a)=1/4 k=5/4,
∴k=5.故选C.
技巧归纳 ①对于函数图象上的点,可以设点的横坐标,代入函数表达式表示其纵坐标.
②平行于x轴的线段长度=横坐标"右-左";
平行于y轴的线段长度=纵坐标"上-下";
对于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则AB的中点坐标为((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2).
解析
【分析】
本题是反比例函数与平面几何结合的问题，可采用设点坐标法求解：①先利用反比例函数解析式设出点C的坐标，根据CE垂直x轴可直接得到点E的坐标；②结合C是AO中点的性质，利用中点坐标公式推导得到点A的坐标；③由AB垂直x轴可知点B、D的横坐标与点A相同，代入反比例函数解析式得到点D、B的坐标；④最后根据△BDE的面积公式列方程，化简后即可求出k的值。
【解析】
设点C的坐标为$\boldsymbol{(a,\frac{k}{a})}$，
∵$CE⊥ x$轴，E为垂足，
∴E点坐标为$(a,0)$，
∵C是AO的中点，O为坐标原点$(0,0)$，根据中点坐标公式可得A点坐标为$(2a,\frac{2k}{a})$，
∵$AB⊥ x$轴，
∴点B、D的横坐标均为$2a$，则B点坐标为$(2a,0)$，
又
∵点D在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，将$x=2a$代入解析式得$y=\frac{k}{2a}$，即D点坐标为$(2a,\frac{k}{2a})$，
∴$EB=2a - a = a$，$BD=\frac{k}{2a}-0=\frac{k}{2a}$，
$△ BDE$的面积$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}× EB× BD=\frac{1}{2}× a×\frac{k}{2a}=\frac{k}{4}$，
由题知$S_{△ BDE}=\frac{5}{4}$，即$\frac{k}{4}=\frac{5}{4}$，解得$k=5$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，中点坐标公式，三角形面积计算
【点评】
本题考查反比例函数与几何的综合应用，核心方法是设点坐标法，将几何中的位置关系、长度关系转化为坐标的代数运算，解题的关键是准确表示出各相关点的坐标，结合面积公式建立方程求解。
【难度系数】
0.7
本题是反比例函数与平面几何结合的问题，可采用设点坐标法求解：①先利用反比例函数解析式设出点C的坐标，根据CE垂直x轴可直接得到点E的坐标；②结合C是AO中点的性质，利用中点坐标公式推导得到点A的坐标；③由AB垂直x轴可知点B、D的横坐标与点A相同，代入反比例函数解析式得到点D、B的坐标；④最后根据△BDE的面积公式列方程，化简后即可求出k的值。
【解析】
设点C的坐标为$\boldsymbol{(a,\frac{k}{a})}$，
∵$CE⊥ x$轴，E为垂足，
∴E点坐标为$(a,0)$，
∵C是AO的中点，O为坐标原点$(0,0)$，根据中点坐标公式可得A点坐标为$(2a,\frac{2k}{a})$，
∵$AB⊥ x$轴，
∴点B、D的横坐标均为$2a$，则B点坐标为$(2a,0)$，
又
∵点D在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，将$x=2a$代入解析式得$y=\frac{k}{2a}$，即D点坐标为$(2a,\frac{k}{2a})$，
∴$EB=2a - a = a$，$BD=\frac{k}{2a}-0=\frac{k}{2a}$，
$△ BDE$的面积$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}× EB× BD=\frac{1}{2}× a×\frac{k}{2a}=\frac{k}{4}$，
由题知$S_{△ BDE}=\frac{5}{4}$，即$\frac{k}{4}=\frac{5}{4}$，解得$k=5$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，中点坐标公式，三角形面积计算
【点评】
本题考查反比例函数与几何的综合应用，核心方法是设点坐标法，将几何中的位置关系、长度关系转化为坐标的代数运算，解题的关键是准确表示出各相关点的坐标，结合面积公式建立方程求解。
【难度系数】
0.7
13. 学科特色 多解法「2025陕西中考，★☆」一个反比例函数的图象经过A(m,-4),B(3,n)两点,若m＜-3,则n的取值范围是
n＞4
.答案
13. n＞4
解析 【解法一】图象法:
∵A(m,-4),m＜-3,
∴点A位于第三象限,故该反比例函数图象位于第一、三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小.
设点A(m,-4)关于原点中心对称的点为A',
则A'(-m,4)且点A'在该反比例函数图象上,
∵m＜-3,
∴-m＞3,
∴n＞4.
【解法二】代数法:
∵反比例函数的图象经过A(m,-4),B(3,n)两点,
∴k=-4m=3n,
∴m=3n/-4,
∵m＜-3,
∴3n/-4＜-3,解得n＞4.
解析 【解法一】图象法:
∵A(m,-4),m＜-3,
∴点A位于第三象限,故该反比例函数图象位于第一、三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小.
设点A(m,-4)关于原点中心对称的点为A',
则A'(-m,4)且点A'在该反比例函数图象上,
∵m＜-3,
∴-m＞3,
∴n＞4.
【解法二】代数法:
∵反比例函数的图象经过A(m,-4),B(3,n)两点,
∴k=-4m=3n,
∴m=3n/-4,
∵m＜-3,
∴3n/-4＜-3,解得n＞4.
解析
【分析】
本题可从两种角度思考解题：思路一（代数法）：利用反比例函数图象上任意点的横、纵坐标乘积等于定值k的特征，建立m和n的等量关系，再结合m＜-3的已知条件列不等式求解；思路二（图象法）：先根据点A的坐标和m的范围判断反比例函数所在象限及增减性，再结合坐标大小关系和增减性推导n的取值范围。
【解析】
解法一（代数法）：
设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
∵函数图象经过A(m,-4)、B(3,n)两点，
∴$k=-4m=3n$，整理得$m=-\frac{3n}{4}$，
∵$m ＜ -3$，代入得：
$-\frac{3n}{4} ＜ -3$，
不等式两边同时乘$-\frac{4}{3}$，不等号方向改变，解得$n ＞ 4$。
解法二（图象法）：
∵点A(m,-4)纵坐标为-4＜0，且$m ＜ -3 ＜ 0$，
∴点A位于第三象限，说明该反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小。
点A关于原点对称的点$A'(-m,4)$也在该反比例函数图象上，且位于第一象限，
∵$m ＜ -3$，
∴$-m ＞ 3$，
根据第一象限内y随x增大而减小的性质，横坐标$-m ＞ 3$，则对应纵坐标$4 ＜ n$，即$n ＞ 4$。
【答案】
$n＞4$
【知识点】
1.反比例函数图象上点的坐标特征
2.反比例函数的增减性
3.一元一次不等式的解法
【点评】
本题是反比例函数性质的基础考法，两种解题思路分别从代数计算和图象性质两个角度切入，能够帮助学生理解反比例函数数与形的对应关系，巩固核心知识点。
【难度系数】
0.75
本题可从两种角度思考解题：思路一（代数法）：利用反比例函数图象上任意点的横、纵坐标乘积等于定值k的特征，建立m和n的等量关系，再结合m＜-3的已知条件列不等式求解；思路二（图象法）：先根据点A的坐标和m的范围判断反比例函数所在象限及增减性，再结合坐标大小关系和增减性推导n的取值范围。
【解析】
解法一（代数法）：
设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
∵函数图象经过A(m,-4)、B(3,n)两点，
∴$k=-4m=3n$，整理得$m=-\frac{3n}{4}$，
∵$m ＜ -3$，代入得：
$-\frac{3n}{4} ＜ -3$，
不等式两边同时乘$-\frac{4}{3}$，不等号方向改变，解得$n ＞ 4$。
解法二（图象法）：
∵点A(m,-4)纵坐标为-4＜0，且$m ＜ -3 ＜ 0$，
∴点A位于第三象限，说明该反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小。
点A关于原点对称的点$A'(-m,4)$也在该反比例函数图象上，且位于第一象限，
∵$m ＜ -3$，
∴$-m ＞ 3$，
根据第一象限内y随x增大而减小的性质，横坐标$-m ＞ 3$，则对应纵坐标$4 ＜ n$，即$n ＞ 4$。
【答案】
$n＞4$
【知识点】
1.反比例函数图象上点的坐标特征
2.反比例函数的增减性
3.一元一次不等式的解法
【点评】
本题是反比例函数性质的基础考法，两种解题思路分别从代数计算和图象性质两个角度切入，能够帮助学生理解反比例函数数与形的对应关系，巩固核心知识点。
【难度系数】
0.75
14. 学科特色易错题「2026江苏南京建邺二模，★☆」已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），当$1≤x≤2$时，$y$的最大值与最小值的差为2，则$k=$
±4
。答案
14. ±4
解析 当k＞0时,在每一象限内,y随x的增大而减小,
∴k/1 -k/2=2,解得k=4;当k＜0时,在每一象限内,y随x的增大而增大,
∴k/2 -k/1=2,解得k=-4.
综上所述,k=±4.
易错警示 容易忽略分类讨论,尤其是k＜0的情况.
解析 当k＞0时,在每一象限内,y随x的增大而减小,
∴k/1 -k/2=2,解得k=4;当k＜0时,在每一象限内,y随x的增大而增大,
∴k/2 -k/1=2,解得k=-4.
综上所述,k=±4.
易错警示 容易忽略分类讨论,尤其是k＜0的情况.
解析
【分析】
解决本题首先要明确反比例函数的增减性由常数k的符号决定，因此需要分k＞0和k＜0两种情况分类讨论。已知x的取值范围是1≤x≤2，均为正数，函数在该区间内属于同一象限，可根据对应k值下的增减性分别求出y的最大值和最小值，再根据“最大值与最小值的差为2”列方程求解，最后验证解是否符合对应的k的符号范围即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当$k＞0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$在每一象限内，y随x的增大而减小，
∵$1≤x≤2$，
∴当$x=1$时，y取得最大值，最大值为$\frac{k}{1}=k$；当$x=2$时，y取得最小值，最小值为$\frac{k}{2}$，
根据题意列方程：$k - \frac{k}{2} = 2$，
解得：$k=4$，符合$k＞0$的前提条件；
② 当$k＜0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$在每一象限内，y随x的增大而增大，
∵$1≤x≤2$，
∴当$x=2$时，y取得最大值，最大值为$\frac{k}{2}$；当$x=1$时，y取得最小值，最小值为$\frac{k}{1}=k$，
根据题意列方程：$\frac{k}{2} - k = 2$，
解得：$k=-4$，符合$k＜0$的前提条件；
综上所述，$k=\pm4$。
【答案】
$\pm4$
【知识点】
反比例函数的性质；分类讨论思想；一元一次方程的解法
【点评】
本题是反比例函数性质的典型易错题，解题核心是明确反比例函数的增减性与k的符号直接相关，切勿遗漏k＜0的情况，需先分类判断增减性再求解最值，最后要验证解是否符合对应的前提条件。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确反比例函数的增减性由常数k的符号决定，因此需要分k＞0和k＜0两种情况分类讨论。已知x的取值范围是1≤x≤2，均为正数，函数在该区间内属于同一象限，可根据对应k值下的增减性分别求出y的最大值和最小值，再根据“最大值与最小值的差为2”列方程求解，最后验证解是否符合对应的k的符号范围即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当$k＞0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$在每一象限内，y随x的增大而减小，
∵$1≤x≤2$，
∴当$x=1$时，y取得最大值，最大值为$\frac{k}{1}=k$；当$x=2$时，y取得最小值，最小值为$\frac{k}{2}$，
根据题意列方程：$k - \frac{k}{2} = 2$，
解得：$k=4$，符合$k＞0$的前提条件；
② 当$k＜0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$在每一象限内，y随x的增大而增大，
∵$1≤x≤2$，
∴当$x=2$时，y取得最大值，最大值为$\frac{k}{2}$；当$x=1$时，y取得最小值，最小值为$\frac{k}{1}=k$，
根据题意列方程：$\frac{k}{2} - k = 2$，
解得：$k=-4$，符合$k＜0$的前提条件；
综上所述，$k=\pm4$。
【答案】
$\pm4$
【知识点】
反比例函数的性质；分类讨论思想；一元一次方程的解法
【点评】
本题是反比例函数性质的典型易错题，解题核心是明确反比例函数的增减性与k的符号直接相关，切勿遗漏k＜0的情况，需先分类判断增减性再求解最值，最后要验证解是否符合对应的前提条件。
【难度系数】
0.6
15. 核心 素养 推理能力「2025广西中考」如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足$BC=DE=FG=1$，点A,C,E,G均在双曲线$y=\frac{k}{x}$的一支上。若点A的坐标为$(4,\frac{3}{2})$，则第三级阶梯的高$EF=$(
A.4
B.3
C.$\frac{7}{2}$
D.$\frac{5}{2}$
B
)A.4
B.3
C.$\frac{7}{2}$
D.$\frac{5}{2}$
答案
15. B
∵点A(4,3/2)在双曲线y=k/x上,
∴k=4×3/2=6,
∵BC=DE=FG=1,点A,C,E,G均在双曲线y=6/x上,
∴C(3,2),E(2,3),G(1,6),
∴EF=y_G - y_E=6-3=3.故选B.
∵点A(4,3/2)在双曲线y=k/x上,
∴k=4×3/2=6,
∵BC=DE=FG=1,点A,C,E,G均在双曲线y=6/x上,
∴C(3,2),E(2,3),G(1,6),
∴EF=y_G - y_E=6-3=3.故选B.
解析
【分析】
解题时首先利用点A在反比例函数图象上的条件，代入坐标求出反比例函数的系数k，确定函数解析式；再结合“双曲线阶梯”的线段特点，已知BC=DE=FG=1，可得点C、E、G的横坐标依次比前一个曲线上的点小1，依次代入解析式求出三点的纵坐标；最后EF为竖直方向线段，其长度等于G点与E点的纵坐标之差，计算即可得到结果。
【解析】
∵点$A(4,\frac{3}{2})$在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，
∴将A点坐标代入解析式得：$k=4×\frac{3}{2}=6$，即反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$。
∵阶梯的线段均与x轴或y轴平行，且$BC=DE=FG=1$，
∴点C的横坐标为$4-1=3$，代入$y=\frac{6}{x}$得$y=\frac{6}{3}=2$，即$C(3,2)$；
点E的横坐标为$3-1=2$，代入$y=\frac{6}{x}$得$y=\frac{6}{2}=3$，即$E(2,3)$；
点G的横坐标为$2-1=1$，代入$y=\frac{6}{x}$得$y=\frac{6}{1}=6$，即$G(1,6)$。
∵EF为竖直方向线段，
∴$EF=y_G - y_E=6-3=3$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数解析式确定，反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与线段长度计算
【点评】
本题将反比例函数与趣味阶梯图形结合，考查了对反比例函数性质的应用能力，解题的核心是抓住阶梯线段与坐标轴平行的特点，找到各点坐标的变化规律，是反比例函数的基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用点A在反比例函数图象上的条件，代入坐标求出反比例函数的系数k，确定函数解析式；再结合“双曲线阶梯”的线段特点，已知BC=DE=FG=1，可得点C、E、G的横坐标依次比前一个曲线上的点小1，依次代入解析式求出三点的纵坐标；最后EF为竖直方向线段，其长度等于G点与E点的纵坐标之差，计算即可得到结果。
【解析】
∵点$A(4,\frac{3}{2})$在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，
∴将A点坐标代入解析式得：$k=4×\frac{3}{2}=6$，即反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$。
∵阶梯的线段均与x轴或y轴平行，且$BC=DE=FG=1$，
∴点C的横坐标为$4-1=3$，代入$y=\frac{6}{x}$得$y=\frac{6}{3}=2$，即$C(3,2)$；
点E的横坐标为$3-1=2$，代入$y=\frac{6}{x}$得$y=\frac{6}{2}=3$，即$E(2,3)$；
点G的横坐标为$2-1=1$，代入$y=\frac{6}{x}$得$y=\frac{6}{1}=6$，即$G(1,6)$。
∵EF为竖直方向线段，
∴$EF=y_G - y_E=6-3=3$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数解析式确定，反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与线段长度计算
【点评】
本题将反比例函数与趣味阶梯图形结合，考查了对反比例函数性质的应用能力，解题的核心是抓住阶梯线段与坐标轴平行的特点，找到各点坐标的变化规律，是反比例函数的基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
16. 核心素养 运算能力 「2025江苏南京中考」已知反比例函数 $y=\frac{6}{x}$，则当 $1≤x≤3$ 时，$\frac{y}{x}$ 的最小值是
2/3
。答案
16. 2/3
解析 设w=y/x,将y=6/x代入,得w=6/x²,
则w与x²成反比例关系,
∵当1≤x≤3时,x²随着x增大而增大,
∴w随着x²增大而减小,
即w随着x的增大而减小,
∴当x=3时,y=6/x²取得最小值,最小值为6/3²=2/3.
解析 设w=y/x,将y=6/x代入,得w=6/x²,
则w与x²成反比例关系,
∵当1≤x≤3时,x²随着x增大而增大,
∴w随着x²增大而减小,
即w随着x的增大而减小,
∴当x=3时,y=6/x²取得最小值,最小值为6/3²=2/3.
解析
【分析】
要计算1≤x≤3时$\frac{y}{x}$的最小值，首先可利用已知的反比例函数解析式消去y，将$\frac{y}{x}$转化为仅含x的代数式，再结合x的取值范围分析该代数式的变化规律，即可求出最小值。
【解析】
设$w=\frac{y}{x}$，将$y=\frac{6}{x}$代入得：
$w=\frac{\frac{6}{x}}{x}=\frac{6}{x^2}$
可知$w$与$x^2$成反比例关系，且比例系数$6＞0$。
当$1≤x≤3$时，$x^2$随$x$的增大而增大，根据反比例函数的性质，$w$随$x^2$的增大而减小，即$w$随$x$的增大而减小。
因此当$x$取区间最大值3时，$w$取得最小值，最小值为$\frac{6}{3^2}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
反比例函数的性质，函数最值求解
【点评】
本题考查反比例函数性质的灵活运用，解题关键是通过代入消元将所求代数式转化为熟悉的反比例函数形式，再结合函数单调性判断最值，侧重对运算能力和逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.7
要计算1≤x≤3时$\frac{y}{x}$的最小值，首先可利用已知的反比例函数解析式消去y，将$\frac{y}{x}$转化为仅含x的代数式，再结合x的取值范围分析该代数式的变化规律，即可求出最小值。
【解析】
设$w=\frac{y}{x}$，将$y=\frac{6}{x}$代入得：
$w=\frac{\frac{6}{x}}{x}=\frac{6}{x^2}$
可知$w$与$x^2$成反比例关系，且比例系数$6＞0$。
当$1≤x≤3$时，$x^2$随$x$的增大而增大，根据反比例函数的性质，$w$随$x^2$的增大而减小，即$w$随$x$的增大而减小。
因此当$x$取区间最大值3时，$w$取得最小值，最小值为$\frac{6}{3^2}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
反比例函数的性质，函数最值求解
【点评】
本题考查反比例函数性质的灵活运用，解题关键是通过代入消元将所求代数式转化为熟悉的反比例函数形式，再结合函数单调性判断最值，侧重对运算能力和逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.7
1.「2025江苏镇江中考」已知点$A(-1,y_1)$,$B(a,y_2)$在反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象上,若$y_2＞y_1$,则$a$的取值范围是 (
A.$a＜-1$或$a＞0$
B.$-1＜a＜0$
C.$a＞0$
D.$a＜-1$
A
)A.$a＜-1$或$a＞0$
B.$-1＜a＜0$
C.$a＞0$
D.$a＜-1$
答案
1.A 由$y=\frac{1}{x}$得该图象位于第一、三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小,
当点A位于第三象限,点B位于第一象限时,满足$y_2＞y_1$,此时$a＞0$;
当点A,B均位于第三象限时,若$y_2＞y_1$,则$a＜-1$.
综上所述,$a＜-1$或$a＞0$.故选A.
当点A位于第三象限,点B位于第一象限时,满足$y_2＞y_1$,此时$a＞0$;
当点A,B均位于第三象限时,若$y_2＞y_1$,则$a＜-1$.
综上所述,$a＜-1$或$a＞0$.故选A.
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数$y=\frac{1}{x}$的基本性质：图象位于第一、三象限，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。首先确定点A的位置：$x=-1＜0$，所以A在第三象限，$y_1＜0$。接下来分两种情况讨论点B的位置：①点B在第一象限，此时$y_2$为正数，必然大于负的$y_1$，可得到对应横坐标的范围；②点B和点A同在第三象限，此时根据增减性，由$y_2＞y_1$可推导横坐标的大小关系，最后合并两种情况的范围即可得到答案。
【解析】
已知反比例函数为$y=\frac{1}{x}$，其中$k=1＞0$，因此该函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
点$A(-1,y_1)$的横坐标为$-1＜0$，因此点A在第三象限，$y_1＜0$。
分两种情况讨论：
1. 当点B位于第一象限时，$y_2＞0$，显然满足$y_2＞y_1$，此时$a＞0$；
2. 当点B也位于第三象限时，两点在同一象限，根据函数的增减性，若$y_2＞y_1$，则$a＜-1$。
综上，$a$的取值范围是$a＜-1$或$a＞0$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数图象性质、函数值大小比较
【点评】
本题考查反比例函数增减性的应用，解题关键是注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，需要分不同象限的情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆反比例函数$y=\frac{1}{x}$的基本性质：图象位于第一、三象限，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。首先确定点A的位置：$x=-1＜0$，所以A在第三象限，$y_1＜0$。接下来分两种情况讨论点B的位置：①点B在第一象限，此时$y_2$为正数，必然大于负的$y_1$，可得到对应横坐标的范围；②点B和点A同在第三象限，此时根据增减性，由$y_2＞y_1$可推导横坐标的大小关系，最后合并两种情况的范围即可得到答案。
【解析】
已知反比例函数为$y=\frac{1}{x}$，其中$k=1＞0$，因此该函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
点$A(-1,y_1)$的横坐标为$-1＜0$，因此点A在第三象限，$y_1＜0$。
分两种情况讨论：
1. 当点B位于第一象限时，$y_2＞0$，显然满足$y_2＞y_1$，此时$a＞0$；
2. 当点B也位于第三象限时，两点在同一象限，根据函数的增减性，若$y_2＞y_1$，则$a＜-1$。
综上，$a$的取值范围是$a＜-1$或$a＞0$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数图象性质、函数值大小比较
【点评】
本题考查反比例函数增减性的应用，解题关键是注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，需要分不同象限的情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
2.「2026甘肃期中」已知$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$均在反比例函数$y=\frac{(k+1)^2}{x}$(k为常数,且$k≠-1$)的图象上,若$x_1＜x_2＜x_3,y_2＜y_1＜y_3$,则下列结论不正确的是 (
A.$x_1+x_2＜0$
B.$x_1·x_2＞0$
C.$x_2·x_3＜0$
D.$x_1·x_3＞0$
D
)A.$x_1+x_2＜0$
B.$x_1·x_2＞0$
C.$x_2·x_3＜0$
D.$x_1·x_3＞0$
答案
2.D $\because y=\frac{(k+1)^2}{x}$,且$k≠-1$,$\therefore (k+1)^2＞0$,
$\therefore$ 函数图象在第一、三象限,且在每个象限内,y随x增大而减小.$\because x_1＜x_2＜x_3$,且$y_2＜y_1＜y_3$,$\therefore x_1＜x_2＜0＜x_3$.
$\therefore x_1 · x_3＜0$,故选项D错误.故选D.
$\therefore$ 函数图象在第一、三象限,且在每个象限内,y随x增大而减小.$\because x_1＜x_2＜x_3$,且$y_2＜y_1＜y_3$,$\therefore x_1＜x_2＜0＜x_3$.
$\therefore x_1 · x_3＜0$,故选项D错误.故选D.
解析
【分析】
解题第一步先判断反比例函数的比例系数符号：由$(k+1)^2≥0$且$k≠-1$，可知比例系数为正，因此函数图象在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小。第二步结合已知的x、y的大小关系分析点所在象限：若三点在同一象限，x增大时y应减小，不符合$y_2＜y_1$的关系，说明三点不在同一象限；$x_1＜x_2$时$y_2＜y_1$符合同一象限内的增减性，说明$x_1、x_2$在同一象限，且二者对应的y值都小于$y_3$，而第一象限y值恒为正、第三象限y值恒为负，因此$x_1、x_2$在第三象限（均为负），$x_3$在第一象限（为正），即$x_1＜x_2＜0＜x_3$。第三步根据三个x的正负逐一判断选项正误即可。
【解析】
∵ 反比例函数解析式为$y=\frac{(k+1)^2}{x}$，且$k≠-1$，
∴ $(k+1)^2＞0$，
∴ 该反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小。
已知$x_1＜x_2＜x_3$，$y_2＜y_1＜y_3$，
∵ $x_1＜x_2$时$y_2＜y_1$，符合第三象限内y随x增大而减小的规律，且$y_1＜y_3$，说明$y_3$为正数、$y_1、y_2$为负数，
∴ $x_1＜x_2＜0＜x_3$。
逐一判断选项：
A. $x_1、x_2$均为负数，和为负，即$x_1+x_2＜0$，结论正确；
B. 两个负数相乘为正，即$x_1·x_2＞0$，结论正确；
C. 负数乘正数为负，即$x_2·x_3＜0$，结论正确；
D. 负数乘正数为负，即$x_1·x_3＜0$，该结论错误。
题目要求选不正确的，故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；有理数乘法的符号判定
【点评】
本题考查反比例函数的性质应用，解题核心是先确定函数图象所在象限，再结合增减性和y值的大小关系判断三个点所在的象限，进而判断各代数式的符号，是反比例函数的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题第一步先判断反比例函数的比例系数符号：由$(k+1)^2≥0$且$k≠-1$，可知比例系数为正，因此函数图象在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小。第二步结合已知的x、y的大小关系分析点所在象限：若三点在同一象限，x增大时y应减小，不符合$y_2＜y_1$的关系，说明三点不在同一象限；$x_1＜x_2$时$y_2＜y_1$符合同一象限内的增减性，说明$x_1、x_2$在同一象限，且二者对应的y值都小于$y_3$，而第一象限y值恒为正、第三象限y值恒为负，因此$x_1、x_2$在第三象限（均为负），$x_3$在第一象限（为正），即$x_1＜x_2＜0＜x_3$。第三步根据三个x的正负逐一判断选项正误即可。
【解析】
∵ 反比例函数解析式为$y=\frac{(k+1)^2}{x}$，且$k≠-1$，
∴ $(k+1)^2＞0$，
∴ 该反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小。
已知$x_1＜x_2＜x_3$，$y_2＜y_1＜y_3$，
∵ $x_1＜x_2$时$y_2＜y_1$，符合第三象限内y随x增大而减小的规律，且$y_1＜y_3$，说明$y_3$为正数、$y_1、y_2$为负数，
∴ $x_1＜x_2＜0＜x_3$。
逐一判断选项：
A. $x_1、x_2$均为负数，和为负，即$x_1+x_2＜0$，结论正确；
B. 两个负数相乘为正，即$x_1·x_2＞0$，结论正确；
C. 负数乘正数为负，即$x_2·x_3＜0$，结论正确；
D. 负数乘正数为负，即$x_1·x_3＜0$，该结论错误。
题目要求选不正确的，故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；有理数乘法的符号判定
【点评】
本题考查反比例函数的性质应用，解题核心是先确定函数图象所在象限，再结合增减性和y值的大小关系判断三个点所在的象限，进而判断各代数式的符号，是反比例函数的常考题型。
【难度系数】
0.7
3.「2026 四川成都郫都期中」已知$A(1,y_1),B(2,y_2),C(-3,y_3)$在反比例函数$y=\frac{-a^2 -1}{x}$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是
$y_1＜y_2＜y_3$
.(用“＜”连接)答案
3.答案 $y_1＜y_2＜y_3$
解析 $\because k=-a^2-1＜0$,$\therefore$ 此函数图象位于第二、四象限,且在每一象限内,y随x的增大而增大,
$\therefore C(-3,y_3)$在第二象限,$y_3＞0$,$A(1,y_1)$,$B(2,y_2)$在第四象限,$y_1＜y_2＜0$,$\therefore y_1＜y_2＜y_3$.
解析 $\because k=-a^2-1＜0$,$\therefore$ 此函数图象位于第二、四象限,且在每一象限内,y随x的增大而增大,
$\therefore C(-3,y_3)$在第二象限,$y_3＞0$,$A(1,y_1)$,$B(2,y_2)$在第四象限,$y_1＜y_2＜0$,$\therefore y_1＜y_2＜y_3$.
解析
【分析】
要比较反比例函数上三个点的纵坐标大小，可按以下思路推导：①首先判断反比例函数的比例系数k的正负，确定函数图象所在象限和增减性；②根据三个点横坐标的正负，判断各点所属象限，不同象限的点纵坐标正负性不同：第二象限的点纵坐标为正，第四象限的点纵坐标为负，可先区分出最大的y值；③对同一象限内的点，再结合反比例函数的增减性比较纵坐标的大小即可。
【解析】
$\because$ 反比例函数的比例系数$k=-a^2-1$，由偶次幂的非负性可知$a^2≥0$，因此$k=-a^2-1≤-1＜0$，
$\therefore$ 该反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，$y$随$x$的增大而增大。
$\because$ 点$C(-3,y_3)$的横坐标为$-3＜0$，$\therefore$ 点$C$在第二象限，可得$y_3＞0$；
$\because$ 点$A(1,y_1)$、$B(2,y_2)$的横坐标均为正数，$\therefore$ 两点都在第四象限，纵坐标均小于0，
又$\because 1＜2$，且第四象限内$y$随$x$的增大而增大，$\therefore y_1＜y_2＜0$。
综上可得三者大小关系为$y_1＜y_2＜y_3$。
【答案】
$y_1＜y_2＜y_3$
【知识点】
1.反比例函数的性质 2.反比例函数图象与系数的关系 3.实数大小比较
【点评】
本题是反比例函数值大小比较的常规题型，解题核心是先确定k的符号，再分类讨论点所在的象限，要特别注意反比例函数的增减性仅适用于同一象限内的点，跨象限比较时需先判断纵坐标的正负性，避免直接套用增减性出错。
【难度系数】
0.8
要比较反比例函数上三个点的纵坐标大小，可按以下思路推导：①首先判断反比例函数的比例系数k的正负，确定函数图象所在象限和增减性；②根据三个点横坐标的正负，判断各点所属象限，不同象限的点纵坐标正负性不同：第二象限的点纵坐标为正，第四象限的点纵坐标为负，可先区分出最大的y值；③对同一象限内的点，再结合反比例函数的增减性比较纵坐标的大小即可。
【解析】
$\because$ 反比例函数的比例系数$k=-a^2-1$，由偶次幂的非负性可知$a^2≥0$，因此$k=-a^2-1≤-1＜0$，
$\therefore$ 该反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，$y$随$x$的增大而增大。
$\because$ 点$C(-3,y_3)$的横坐标为$-3＜0$，$\therefore$ 点$C$在第二象限，可得$y_3＞0$；
$\because$ 点$A(1,y_1)$、$B(2,y_2)$的横坐标均为正数，$\therefore$ 两点都在第四象限，纵坐标均小于0，
又$\because 1＜2$，且第四象限内$y$随$x$的增大而增大，$\therefore y_1＜y_2＜0$。
综上可得三者大小关系为$y_1＜y_2＜y_3$。
【答案】
$y_1＜y_2＜y_3$
【知识点】
1.反比例函数的性质 2.反比例函数图象与系数的关系 3.实数大小比较
【点评】
本题是反比例函数值大小比较的常规题型，解题核心是先确定k的符号，再分类讨论点所在的象限，要特别注意反比例函数的增减性仅适用于同一象限内的点，跨象限比较时需先判断纵坐标的正负性，避免直接套用增减性出错。
【难度系数】
0.8
