登录
7.如图，四边形ABCD是菱形，$CD=5$，$BD=8$，$AE⊥BC$于点E，则AE的长是 （
A.$\frac{24}{5}$
B.6
C.$\frac{48}{5}$
D.12
一练一得
菱形的两种面积计算方法
要灵活运用，因菱形的对角线互相垂直，故常与勾股定理综合计算。
A
）A.$\frac{24}{5}$
B.6
C.$\frac{48}{5}$
D.12
一练一得
菱形的两种面积计算方法
要灵活运用，因菱形的对角线互相垂直，故常与勾股定理综合计算。
答案
7.A
解析
【分析】
解题时先从菱形的性质入手：①菱形四条边相等，②菱形对角线互相垂直且平分。首先根据BD的长度求出对角线一半OB的长，再在直角三角形BOC中用勾股定理求出OC的长度，进而得到另一条对角线AC的长度。接下来利用菱形面积的两种计算方法：一是对角线乘积的一半，二是底乘高，两种方法计算的面积相等，建立等式即可求出AE的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，$OB = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} × 8 = 4$，$BC = CD = 5$
在$Rt△ BOC$中，由勾股定理得：
$OC = \sqrt{BC^2 - OB^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3$
∴$AC = 2OC = 6$
菱形ABCD的面积有两种计算方式：
方法1：$S = \frac{1}{2} × AC × BD = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$
方法2：$S = BC × AE$
∴$5·AE = 24$
解得$AE = \frac{24}{5}$
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，菱形面积计算
【点评】
本题核心是灵活运用菱形面积的两种计算方法建立等量关系，解题时需要熟练掌握菱形对角线的相关性质，结合勾股定理求出对角线长度是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先从菱形的性质入手：①菱形四条边相等，②菱形对角线互相垂直且平分。首先根据BD的长度求出对角线一半OB的长，再在直角三角形BOC中用勾股定理求出OC的长度，进而得到另一条对角线AC的长度。接下来利用菱形面积的两种计算方法：一是对角线乘积的一半，二是底乘高，两种方法计算的面积相等，建立等式即可求出AE的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，$OB = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} × 8 = 4$，$BC = CD = 5$
在$Rt△ BOC$中，由勾股定理得：
$OC = \sqrt{BC^2 - OB^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3$
∴$AC = 2OC = 6$
菱形ABCD的面积有两种计算方式：
方法1：$S = \frac{1}{2} × AC × BD = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$
方法2：$S = BC × AE$
∴$5·AE = 24$
解得$AE = \frac{24}{5}$
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，菱形面积计算
【点评】
本题核心是灵活运用菱形面积的两种计算方法建立等量关系，解题时需要熟练掌握菱形对角线的相关性质，结合勾股定理求出对角线长度是解题的关键。
【难度系数】
0.7
8.如图,在四边形ABCD中,AB//DC,AC⊥BD于点O,O为AC的中点.
(1)求证:四边形ABCD是菱形；
(2)延长AB到点E,使得BE=AB,连接CE.若AC=8,BC=5,求CE的长.
(1)求证:四边形ABCD是菱形；
(2)延长AB到点E,使得BE=AB,连接CE.若AC=8,BC=5,求CE的长.
答案
8.(1)证明:
∵AB//DC，
∴∠OAB=∠OCD,∠OBA=∠ODC.
∵O 为 AC 的中点，
∴OA=OC.
在△ABO 和△CDO 中，
$\begin{cases} ∠OBA=∠ODC, \\ ∠OAB=∠OCD, \\ OA=OC, \end{cases}$
∴△ABO≌△CDO(AAS)，
∴OB=OD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∵AC⊥BD，
∴四边形 ABCD 是菱形.
(2)解:
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}×8=4$,OB=OD=$\frac{1}{2}$BD,AB=CD.
∵AC⊥BD，
∴在 Rt△BCO 中,$OB=\sqrt{BC^2−OC^2}=\sqrt{5^2−4^2}=3$,
∴BD=2OB=6.
∵BE=AB，
∴CD=BE.
又 AB//DC，
∴四边形 CDBE 是平行四边形，
∴CE=BD=6.
∵AB//DC，
∴∠OAB=∠OCD,∠OBA=∠ODC.
∵O 为 AC 的中点，
∴OA=OC.
在△ABO 和△CDO 中，
$\begin{cases} ∠OBA=∠ODC, \\ ∠OAB=∠OCD, \\ OA=OC, \end{cases}$
∴△ABO≌△CDO(AAS)，
∴OB=OD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∵AC⊥BD，
∴四边形 ABCD 是菱形.
(2)解:
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}×8=4$,OB=OD=$\frac{1}{2}$BD,AB=CD.
∵AC⊥BD，
∴在 Rt△BCO 中,$OB=\sqrt{BC^2−OC^2}=\sqrt{5^2−4^2}=3$,
∴BD=2OB=6.
∵BE=AB，
∴CD=BE.
又 AB//DC，
∴四边形 CDBE 是平行四边形，
∴CE=BD=6.
解析
【分析】
(1)要证明四边形ABCD是菱形，可先判定其为平行四边形，再结合对角线垂直的条件得到结论。首先由AB//DC可得两组内错角相等，结合O是AC中点即OA=OC，可证△ABO≌△CDO，得到OB=OD，即四边形ABCD对角线互相平分，先判定为平行四边形，再由AC⊥BD，即可根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”得证。
(2)求CE的长时，先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，求出OC的长度，在Rt△BOC中用勾股定理算出OB的长，进而得到BD的长度；再由BE=AB、AB平行且等于CD，可得BE平行且等于CD，判定四边形CDBE是平行四边形，根据平行四边形对边相等即可得到CE=BD，从而求出CE的长度。
【解析】
(1)证明:
∵AB//DC，
∴∠OAB=∠OCD,∠OBA=∠ODC.
∵O为AC的中点，
∴OA=OC.
在△ABO和△CDO中，
$\begin{cases} ∠OBA=∠ODC, \\ ∠OAB=∠OCD, \\ OA=OC, \end{cases}$
∴△ABO≌△CDO(AAS)，
∴OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形.
(2)解:
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}×8=4$,OB=OD=$\frac{1}{2}$BD,AB=CD.
∵AC⊥BD，
∴在Rt△BCO中,$OB=\sqrt{BC^2−OC^2}=\sqrt{5^2−4^2}=3$,
∴BD=2OB=6.
∵BE=AB，
∴CD=BE.
又AB//DC，
∴四边形CDBE是平行四边形，
∴CE=BD=6.
【答案】
(1)证明见解析，四边形ABCD是菱形；(2)6
【知识点】
菱形的判定与性质；全等三角形的判定；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，围绕特殊四边形的判定与性质设计，同时考查了全等三角形证明和勾股定理的简单应用，解题时需要理清特殊四边形的判定逻辑，按照步骤逐步推导即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1)要证明四边形ABCD是菱形，可先判定其为平行四边形，再结合对角线垂直的条件得到结论。首先由AB//DC可得两组内错角相等，结合O是AC中点即OA=OC，可证△ABO≌△CDO，得到OB=OD，即四边形ABCD对角线互相平分，先判定为平行四边形，再由AC⊥BD，即可根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”得证。
(2)求CE的长时，先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，求出OC的长度，在Rt△BOC中用勾股定理算出OB的长，进而得到BD的长度；再由BE=AB、AB平行且等于CD，可得BE平行且等于CD，判定四边形CDBE是平行四边形，根据平行四边形对边相等即可得到CE=BD，从而求出CE的长度。
【解析】
(1)证明:
∵AB//DC，
∴∠OAB=∠OCD,∠OBA=∠ODC.
∵O为AC的中点，
∴OA=OC.
在△ABO和△CDO中，
$\begin{cases} ∠OBA=∠ODC, \\ ∠OAB=∠OCD, \\ OA=OC, \end{cases}$
∴△ABO≌△CDO(AAS)，
∴OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形.
(2)解:
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}×8=4$,OB=OD=$\frac{1}{2}$BD,AB=CD.
∵AC⊥BD，
∴在Rt△BCO中,$OB=\sqrt{BC^2−OC^2}=\sqrt{5^2−4^2}=3$,
∴BD=2OB=6.
∵BE=AB，
∴CD=BE.
又AB//DC，
∴四边形CDBE是平行四边形，
∴CE=BD=6.
【答案】
(1)证明见解析，四边形ABCD是菱形；(2)6
【知识点】
菱形的判定与性质；全等三角形的判定；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，围绕特殊四边形的判定与性质设计，同时考查了全等三角形证明和勾股定理的简单应用，解题时需要理清特殊四边形的判定逻辑，按照步骤逐步推导即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
