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黄金矩形
活动主题 如何在矩形中折出黄金矩形
探究背景 宽与长之比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的矩形叫作“黄金矩形”，两个兴趣小组开启数学探究之旅，探究如何在宽$AB=2$，长足够长的矩形纸片中折出黄金矩形。
探究过程 第一小组:步骤1:如图①,将纸片折叠,使得$AB$与$AD$重合,折痕为$AC$,展开；步骤2:如图②,将纸片折叠,使得$AB$与$CD$重合,折痕为$EF$,展开；步骤3:如图③,先折出折痕$DF$,再将矩形沿过点$F$的直线折叠,使得$FD$的对应边$FG$落在直线$BC$上,展开；步骤4:如图④,过点$G$折出矩形$ABGH$,展开。
(1)图③中$DF=$
(2)请写出图④中的黄金矩形:
第二小组:我们小组的折叠步骤1、步骤2和第一小组相同,接下来的步骤不同。
步骤3:如图⑤,先折出折痕$EB$,再将纸片沿过点$E$的直线折叠,使得点$A$的对应点$G$落在$EB$上,展开；
步骤4:如图⑥,将纸片沿过点$B$的直线折叠,使$BA$的对应边落在$BE$上,点$G$与$AB$上的点$H$对应,展开；
步骤5:如图⑦,过点$H$折出矩形$AHPD$,展开。
(3)图⑦中的黄金矩形为
证明 (4)证明:请任意选择一个小组得到的图形,并证明其为黄金矩形.
活动主题 如何在矩形中折出黄金矩形
探究背景 宽与长之比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的矩形叫作“黄金矩形”，两个兴趣小组开启数学探究之旅，探究如何在宽$AB=2$，长足够长的矩形纸片中折出黄金矩形。
探究过程 第一小组:步骤1:如图①,将纸片折叠,使得$AB$与$AD$重合,折痕为$AC$,展开；步骤2:如图②,将纸片折叠,使得$AB$与$CD$重合,折痕为$EF$,展开；步骤3:如图③,先折出折痕$DF$,再将矩形沿过点$F$的直线折叠,使得$FD$的对应边$FG$落在直线$BC$上,展开；步骤4:如图④,过点$G$折出矩形$ABGH$,展开。
(1)图③中$DF=$
$\sqrt{5}$
,$CG=$$\sqrt{5}-1$
；(2)请写出图④中的黄金矩形:
四边形$DCGH$,四边形$ABGH$
.第二小组:我们小组的折叠步骤1、步骤2和第一小组相同,接下来的步骤不同。
步骤3:如图⑤,先折出折痕$EB$,再将纸片沿过点$E$的直线折叠,使得点$A$的对应点$G$落在$EB$上,展开；
步骤4:如图⑥,将纸片沿过点$B$的直线折叠,使$BA$的对应边落在$BE$上,点$G$与$AB$上的点$H$对应,展开；
步骤5:如图⑦,过点$H$折出矩形$AHPD$,展开。
(3)图⑦中的黄金矩形为
四边形$BCPH$
.证明 (4)证明:请任意选择一个小组得到的图形,并证明其为黄金矩形.
答案
(1) $\sqrt{5}$，$\sqrt{5}-1$
(2) 四边形$DCGH$,四边形$ABGH$
(3) 四边形$BCPH$
(4)解:答案不唯一.
选择第一小组得到的四边形$DCGH$.
证明:由题意可得 $AD=AB=2,∠ B=∠ BAD=∠ ADC=90°$,
$\therefore$ 四边形$ABCD$为正方形,
$\therefore BC=DC=2$.
由折叠可得 $AE=ED=BF=CF=1$,
$\therefore DF=\sqrt{DC^2+CF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$,
$\therefore FG=DF=\sqrt{5}$,
$\therefore CG=\sqrt{5}-1$,
$\therefore \frac{CG}{CD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
$\therefore$ 四边形$DCGH$为黄金矩形.
(2) 四边形$DCGH$,四边形$ABGH$
(3) 四边形$BCPH$
(4)解:答案不唯一.
选择第一小组得到的四边形$DCGH$.
证明:由题意可得 $AD=AB=2,∠ B=∠ BAD=∠ ADC=90°$,
$\therefore$ 四边形$ABCD$为正方形,
$\therefore BC=DC=2$.
由折叠可得 $AE=ED=BF=CF=1$,
$\therefore DF=\sqrt{DC^2+CF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$,
$\therefore FG=DF=\sqrt{5}$,
$\therefore CG=\sqrt{5}-1$,
$\therefore \frac{CG}{CD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
$\therefore$ 四边形$DCGH$为黄金矩形.
解析
【分析】
(1) 先根据折叠步骤确定CF、DC的长度，在直角△DCF中用勾股定理可求出DF的长度；再根据折叠的性质得FD=FG，用FG减去CF的长度即可求出CG。
(2) 分别计算图④中两个矩形的宽与长的比值，判断是否等于黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合的即为黄金矩形。
(3) 先在Rt△ABE中用勾股定理求出BE的长度，结合两次折叠的性质求出BH的长度，再验证对应矩形的宽长比，找到黄金矩形。
(4) 选择要证明的矩形，先求出它相邻两边的长度，计算宽与长的比值，验证其等于黄金比即可完成证明。
【解析】
(1) 由题意得$DC=AB=2$，折叠后点B、C重合，故$CF=\frac{1}{2}BC=1$，$∠ C=90°$，在$Rt△ DCF$中，$DF=\sqrt{DC^2+CF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$；由折叠性质可知$FG=FD=\sqrt{5}$，因此$CG=FG-CF=\sqrt{5}-1$。
(2) 矩形$DCGH$中，长$CD=2$，宽$CG=\sqrt{5}-1$，$\frac{CG}{CD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金矩形定义；矩形$ABGH$中，宽$AB=2$，长$BG=BC+CG=\sqrt{5}+1$，$\frac{AB}{BG}=\frac{2}{\sqrt{5}+1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，也符合黄金矩形定义。
(3) 在$Rt△ ABE$中，$AB=2$，$AE=1$，故$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{5}$，由折叠性质得$EG=AE=1$，故$BG=BE-EG=\sqrt{5}-1$，再次折叠得$BH=BG=\sqrt{5}-1$，矩形$BCPH$中$\frac{BH}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金矩形定义。
(4) 示例：选择第一小组得到的四边形$DCGH$证明：
由题意可得 $AD=AB=2$，$∠ B=∠ BAD=∠ ADC=90°$，
$\therefore$ 四边形$ABCD$为正方形，$\therefore BC=DC=2$。
由折叠可得 $AE=ED=BF=CF=1$，
$\therefore DF=\sqrt{DC^2+CF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
由折叠性质得$FG=DF=\sqrt{5}$，
$\therefore CG=\sqrt{5}-1$，
$\therefore \frac{CG}{CD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金矩形的定义，故四边形$DCGH$为黄金矩形。
【答案】
(1) $\sqrt{5}$，$\sqrt{5}-1$
(2) 四边形$DCGH$,四边形$ABGH$
(3) 四边形$BCPH$
(4) 答案不唯一，示例：选择第一小组得到的四边形$DCGH$，证明：由题意可得 $AD=AB=2,∠ B=∠ BAD=∠ ADC=90°$，$\therefore$ 四边形$ABCD$为正方形，$\therefore BC=DC=2$。由折叠可得 $AE=ED=BF=CF=1$，$\therefore DF=\sqrt{DC^2+CF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$\therefore FG=DF=\sqrt{5}$，$\therefore CG=\sqrt{5}-1$，$\therefore \frac{CG}{CD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\therefore$ 四边形$DCGH$为黄金矩形。
【知识点】
勾股定理，折叠的性质，黄金矩形的判定
【点评】
本题结合折叠操作考查黄金矩形的相关知识，解题核心是利用折叠前后对应边相等的性质，结合勾股定理计算相关线段的长度，再通过计算宽长比验证是否符合黄金矩形的定义，既考查了动手操作能力，也考查了几何推理与计算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 先根据折叠步骤确定CF、DC的长度，在直角△DCF中用勾股定理可求出DF的长度；再根据折叠的性质得FD=FG，用FG减去CF的长度即可求出CG。
(2) 分别计算图④中两个矩形的宽与长的比值，判断是否等于黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合的即为黄金矩形。
(3) 先在Rt△ABE中用勾股定理求出BE的长度，结合两次折叠的性质求出BH的长度，再验证对应矩形的宽长比，找到黄金矩形。
(4) 选择要证明的矩形，先求出它相邻两边的长度，计算宽与长的比值，验证其等于黄金比即可完成证明。
【解析】
(1) 由题意得$DC=AB=2$，折叠后点B、C重合，故$CF=\frac{1}{2}BC=1$，$∠ C=90°$，在$Rt△ DCF$中，$DF=\sqrt{DC^2+CF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$；由折叠性质可知$FG=FD=\sqrt{5}$，因此$CG=FG-CF=\sqrt{5}-1$。
(2) 矩形$DCGH$中，长$CD=2$，宽$CG=\sqrt{5}-1$，$\frac{CG}{CD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金矩形定义；矩形$ABGH$中，宽$AB=2$，长$BG=BC+CG=\sqrt{5}+1$，$\frac{AB}{BG}=\frac{2}{\sqrt{5}+1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，也符合黄金矩形定义。
(3) 在$Rt△ ABE$中，$AB=2$，$AE=1$，故$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{5}$，由折叠性质得$EG=AE=1$，故$BG=BE-EG=\sqrt{5}-1$，再次折叠得$BH=BG=\sqrt{5}-1$，矩形$BCPH$中$\frac{BH}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金矩形定义。
(4) 示例：选择第一小组得到的四边形$DCGH$证明：
由题意可得 $AD=AB=2$，$∠ B=∠ BAD=∠ ADC=90°$，
$\therefore$ 四边形$ABCD$为正方形，$\therefore BC=DC=2$。
由折叠可得 $AE=ED=BF=CF=1$，
$\therefore DF=\sqrt{DC^2+CF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
由折叠性质得$FG=DF=\sqrt{5}$，
$\therefore CG=\sqrt{5}-1$，
$\therefore \frac{CG}{CD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金矩形的定义，故四边形$DCGH$为黄金矩形。
【答案】
(1) $\sqrt{5}$，$\sqrt{5}-1$
(2) 四边形$DCGH$,四边形$ABGH$
(3) 四边形$BCPH$
(4) 答案不唯一，示例：选择第一小组得到的四边形$DCGH$，证明：由题意可得 $AD=AB=2,∠ B=∠ BAD=∠ ADC=90°$，$\therefore$ 四边形$ABCD$为正方形，$\therefore BC=DC=2$。由折叠可得 $AE=ED=BF=CF=1$，$\therefore DF=\sqrt{DC^2+CF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$\therefore FG=DF=\sqrt{5}$，$\therefore CG=\sqrt{5}-1$，$\therefore \frac{CG}{CD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\therefore$ 四边形$DCGH$为黄金矩形。
【知识点】
勾股定理，折叠的性质，黄金矩形的判定
【点评】
本题结合折叠操作考查黄金矩形的相关知识，解题核心是利用折叠前后对应边相等的性质，结合勾股定理计算相关线段的长度，再通过计算宽长比验证是否符合黄金矩形的定义，既考查了动手操作能力，也考查了几何推理与计算能力。
【难度系数】
0.7
