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1. 配方法:通过配成
完全平方式
来解一元二次方程的方法,叫做配方法.答案
1. 完全平方式
解析
【分析】
本题考查配方法的基本定义，解题时直接回忆配方法的概念即可作答。配方法是解一元二次方程的常用方法，核心思路是把方程中含未知数的项变形为完全平方的形式，进而可以用直接开平方法求解，因此要填的就是配方法定义里对应的配成的形式名称。
【解析】
根据配方法的标准定义：通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，因此本题横线处应填入完全平方式。
【答案】
完全平方式
【知识点】
配方法的概念；完全平方式
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，侧重考查对教材基础定义的掌握，熟记课本核心概念即可快速解答。
【难度系数】
0.9
本题考查配方法的基本定义，解题时直接回忆配方法的概念即可作答。配方法是解一元二次方程的常用方法，核心思路是把方程中含未知数的项变形为完全平方的形式，进而可以用直接开平方法求解，因此要填的就是配方法定义里对应的配成的形式名称。
【解析】
根据配方法的标准定义：通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，因此本题横线处应填入完全平方式。
【答案】
完全平方式
【知识点】
配方法的概念；完全平方式
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，侧重考查对教材基础定义的掌握，熟记课本核心概念即可快速解答。
【难度系数】
0.9
2. 用配方法解一元二次方程的一般步骤:(1)化二次项系数为
1
,并将含有未知数的项移到方程的左
边,常数项移到方程的右
边;(2)配方,方程两边同时加上一次项系数一半的平方
,使左边配成一个完全平方式,写成$(mx + n)^2 = p$的形式;(3)若$p$≥
0,则可直接开平方求出方程的根;若$p$＜
0,则方程无实数根.答案
2. (1)1 左 右 (2)一次项系数一半的平方 (3)≥ ＜
解析
【分析】
本题考查配方法解一元二次方程的基本步骤，解题时可结合配方法的操作逻辑和原理逐一推导填空：首先配方法是基于完全平方公式变形，第一步需先统一二次项系数为1，方便后续凑完全平方，移项时要分离含未知数的项和常数项；第二步配方的核心是凑完全平方式，结合完全平方公式的结构确定需要添加的项；第三步根据平方根的性质，判断右边的常数是否满足开平方的条件，进而确定方程是否有实根。
【解析】
(1) 配方法首先要将二次项系数化为1，使二次项变为平方项的形式，契合完全平方公式的结构；随后将含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，分离未知项和常数项，方便后续左边配方操作。
(2) 依据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，对于左边形如$x^2+bx$的式子，需要添加一次项系数一半的平方，即可凑成完全平方式，为保证等式成立，方程两边要同时加上这个数，最终写成$(mx+n)^2=p$的形式。
(3) 实数范围内，非负数才有平方根，因此若$p≥0$，右边的数可开平方，能直接求出方程的根；若$p＜0$，负数没有平方根，方程无实数根。
【答案】
(1)1 左 右 (2)一次项系数一半的平方 (3)≥ ＜
【知识点】
配方法解方程、完全平方公式、平方根性质
【点评】
本题属于基础概念类填空题，直接考查配方法的核心操作步骤，熟练掌握该内容是后续求解一元二次方程、解决二次函数相关问题的重要基础，学习时要结合原理记忆步骤，避免混淆。
【难度系数】
0.9
本题考查配方法解一元二次方程的基本步骤，解题时可结合配方法的操作逻辑和原理逐一推导填空：首先配方法是基于完全平方公式变形，第一步需先统一二次项系数为1，方便后续凑完全平方，移项时要分离含未知数的项和常数项；第二步配方的核心是凑完全平方式，结合完全平方公式的结构确定需要添加的项；第三步根据平方根的性质，判断右边的常数是否满足开平方的条件，进而确定方程是否有实根。
【解析】
(1) 配方法首先要将二次项系数化为1，使二次项变为平方项的形式，契合完全平方公式的结构；随后将含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，分离未知项和常数项，方便后续左边配方操作。
(2) 依据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，对于左边形如$x^2+bx$的式子，需要添加一次项系数一半的平方，即可凑成完全平方式，为保证等式成立，方程两边要同时加上这个数，最终写成$(mx+n)^2=p$的形式。
(3) 实数范围内，非负数才有平方根，因此若$p≥0$，右边的数可开平方，能直接求出方程的根；若$p＜0$，负数没有平方根，方程无实数根。
【答案】
(1)1 左 右 (2)一次项系数一半的平方 (3)≥ ＜
【知识点】
配方法解方程、完全平方公式、平方根性质
【点评】
本题属于基础概念类填空题，直接考查配方法的核心操作步骤，熟练掌握该内容是后续求解一元二次方程、解决二次函数相关问题的重要基础，学习时要结合原理记忆步骤，避免混淆。
【难度系数】
0.9
3. 若$x^2 + mx + 9$是一个完全平方式，则$m=$
±6
。答案
3. ±6
解析
【分析】
解题时首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式有两种形式，分别是$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$和$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，即中间项是前后两个平方项底数乘积的2倍，符号可正可负。接下来将给定的多项式$x^2+mx+9$和完全平方式结构对应，先确定前后两个平方项对应的底数：$x^2$对应$a^2$，可得$a=x$；$9=3^2$对应$b^2$，可得$b=3$，最后根据中间项的两种可能计算$m$的值即可，注意不要遗漏负号的情况。
【解析】
解：根据完全平方公式：$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$
∵ $x^2+mx+9$是完全平方式
∴ 该式可对应为$(x±3)^2$
展开得：$(x±3)^2=x^2±6x+9$
将展开式与$x^2+mx+9$对比，对应项系数相等，可得：
$m=±6$
【答案】
±6
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 完全平方式的特征
【点评】
本题是整式乘法中的常见基础题型，核心考查对完全平方式两种形式的掌握，易错点是容易只考虑和的平方的情况，遗漏差的平方对应的负的中间项系数，做题时要注意全面考虑两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式有两种形式，分别是$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$和$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，即中间项是前后两个平方项底数乘积的2倍，符号可正可负。接下来将给定的多项式$x^2+mx+9$和完全平方式结构对应，先确定前后两个平方项对应的底数：$x^2$对应$a^2$，可得$a=x$；$9=3^2$对应$b^2$，可得$b=3$，最后根据中间项的两种可能计算$m$的值即可，注意不要遗漏负号的情况。
【解析】
解：根据完全平方公式：$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$
∵ $x^2+mx+9$是完全平方式
∴ 该式可对应为$(x±3)^2$
展开得：$(x±3)^2=x^2±6x+9$
将展开式与$x^2+mx+9$对比，对应项系数相等，可得：
$m=±6$
【答案】
±6
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 完全平方式的特征
【点评】
本题是整式乘法中的常见基础题型，核心考查对完全平方式两种形式的掌握，易错点是容易只考虑和的平方的情况，遗漏差的平方对应的负的中间项系数，做题时要注意全面考虑两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
4. 若$x^2 + 6x + m^2$是一个完全平方式，则$m=$
±3
。答案
4. ±3
解析
【分析】
首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，由两项的平方和与这两项乘积的2倍（符号可正可负）组成。解题时先将给定的多项式$x^2+6x+m^2$与完全平方式的标准形式对应，确定首项对应的a，再根据中间项求出b的值，最后根据尾项的关系列等式求解m，注意平方等于正数的数有正负两个，不要漏解。
【解析】
根据完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，
已知$x^2+6x+m^2$是完全平方式，其中首项$x^2$对应$a^2$，可得$a=x$；
中间项$6x$对应$2ab$，将$a=x$代入得：$2· x· b=6x$，解得$b=3$；
完全平方式的尾项$b^2$对应$m^2$，因此$m^2=b^2=3^2=9$，
对$m^2=9$开平方，得$m=\pm3$。
【答案】
$\pm3$
【知识点】
完全平方公式；平方根的运算
【点评】
本题是完全平方式应用的基础题，解题关键是准确对应完全平方式的各项结构，需注意平方项对应的底数有正负两种情况，避免只写出正数值漏写负数值的错误。
【难度系数】
0.7
首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，由两项的平方和与这两项乘积的2倍（符号可正可负）组成。解题时先将给定的多项式$x^2+6x+m^2$与完全平方式的标准形式对应，确定首项对应的a，再根据中间项求出b的值，最后根据尾项的关系列等式求解m，注意平方等于正数的数有正负两个，不要漏解。
【解析】
根据完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，
已知$x^2+6x+m^2$是完全平方式，其中首项$x^2$对应$a^2$，可得$a=x$；
中间项$6x$对应$2ab$，将$a=x$代入得：$2· x· b=6x$，解得$b=3$；
完全平方式的尾项$b^2$对应$m^2$，因此$m^2=b^2=3^2=9$，
对$m^2=9$开平方，得$m=\pm3$。
【答案】
$\pm3$
【知识点】
完全平方公式；平方根的运算
【点评】
本题是完全平方式应用的基础题，解题关键是准确对应完全平方式的各项结构，需注意平方项对应的底数有正负两种情况，避免只写出正数值漏写负数值的错误。
【难度系数】
0.7
1. 用配方法使下列等式成立：
（1）$x^2 - 2x - 3=(x - \_\_\_\_\_\_)^2 + (\_\_\_\_\_\_)$；
（2）$3x^2 + 2x - 2=3(x + \_\_\_\_\_\_)^2 + (\_\_\_\_\_\_)$。
（1）$x^2 - 2x - 3=(x - \_\_\_\_\_\_)^2 + (\_\_\_\_\_\_)$；
（2）$3x^2 + 2x - 2=3(x + \_\_\_\_\_\_)^2 + (\_\_\_\_\_\_)$。
答案
1. (1)1 -4 (2)$\frac{1}{3}$ $-\frac{7}{3}$
解析
【分析】
解本题需遵循配方法的核心逻辑：①若二次三项式的二次项系数为1，配方时先加上“一次项系数一半的平方”，再减去相同的数保证式子值不变，即可凑成完全平方形式；②若二次项系数不为1，先提取二次项系数，将括号内的式子化为二次项系数为1的形式，再按上述规则配方，最后展开整理得到结果。
【解析】
（1）对$x^2 - 2x - 3$配方：
一次项系数为$-2$，其一半为$-1$，因此：
$\begin{aligned}x^2 - 2x - 3&=x^2 - 2x + 1^2 - 1^2 - 3\\&=(x-1)^2 -1 -3\\&=(x-1)^2 + (-4)\end{aligned}$
（2）对$3x^2 + 2x -2$配方：
先提取二次项系数$3$，再对括号内的式子配方：
$\begin{aligned}3x^2 + 2x - 2&=3(x^2 + \frac{2}{3}x) - 2\\&=3[x^2 + \frac{2}{3}x + (\frac{1}{3})^2 - (\frac{1}{3})^2] -2\\&=3[(x+\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{9}] -2\\&=3(x+\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} -2\\&=3(x+\frac{1}{3})^2 + (-\frac{7}{3})\end{aligned}$
【答案】
(1)$1$，$-4$；(2)$\frac{1}{3}$，$-\frac{7}{3}$
【知识点】
配方法，完全平方公式，整式恒等变形
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是牢记配方步骤，二次项系数不为1时，需注意提取系数后，配方新增的常数项要乘回原系数，保证变形前后式子的值不变。
【难度系数】
0.8
解本题需遵循配方法的核心逻辑：①若二次三项式的二次项系数为1，配方时先加上“一次项系数一半的平方”，再减去相同的数保证式子值不变，即可凑成完全平方形式；②若二次项系数不为1，先提取二次项系数，将括号内的式子化为二次项系数为1的形式，再按上述规则配方，最后展开整理得到结果。
【解析】
（1）对$x^2 - 2x - 3$配方：
一次项系数为$-2$，其一半为$-1$，因此：
$\begin{aligned}x^2 - 2x - 3&=x^2 - 2x + 1^2 - 1^2 - 3\\&=(x-1)^2 -1 -3\\&=(x-1)^2 + (-4)\end{aligned}$
（2）对$3x^2 + 2x -2$配方：
先提取二次项系数$3$，再对括号内的式子配方：
$\begin{aligned}3x^2 + 2x - 2&=3(x^2 + \frac{2}{3}x) - 2\\&=3[x^2 + \frac{2}{3}x + (\frac{1}{3})^2 - (\frac{1}{3})^2] -2\\&=3[(x+\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{9}] -2\\&=3(x+\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} -2\\&=3(x+\frac{1}{3})^2 + (-\frac{7}{3})\end{aligned}$
【答案】
(1)$1$，$-4$；(2)$\frac{1}{3}$，$-\frac{7}{3}$
【知识点】
配方法，完全平方公式，整式恒等变形
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是牢记配方步骤，二次项系数不为1时，需注意提取系数后，配方新增的常数项要乘回原系数，保证变形前后式子的值不变。
【难度系数】
0.8
2. 在括号内填适当的数：
(1) $x^2 + 4x + (\_\_\_\_\_\_) = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
(2) $x^2 + (\_\_\_\_\_\_)x + \frac{25}{4} = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$；
(3) $x^2 - \frac{4}{3}x + (\_\_\_\_\_\_) = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$；
(4) $x^2 + px + (\_\_\_\_\_\_) = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$。
(1) $x^2 + 4x + (\_\_\_\_\_\_) = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
(2) $x^2 + (\_\_\_\_\_\_)x + \frac{25}{4} = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$；
(3) $x^2 - \frac{4}{3}x + (\_\_\_\_\_\_) = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$；
(4) $x^2 + px + (\_\_\_\_\_\_) = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$。
答案
2. (1)4 2 (2)$-5$ $\frac{5}{2}$ (3)$\frac{4}{9}$ $\frac{2}{3}$ (4)$\frac{p^2}{4}$ $\frac{p}{2}$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题核心是牢记完全平方公式的结构：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，即二次三项式中，常数项等于一次项系数一半的平方，等号右边括号内的常数项就是一次项系数的一半，解题时注意符号要对应。解题时可先定位每道题的一次项系数，计算其一半的数值，平方后得到左侧的常数项，再根据符号匹配右侧括号内的常数即可。
【解析】
根据完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，逐一计算：
(1) 一次项系数为4，其一半为$4÷2=2$，平方得$2^2=4$，因此左侧空填4，右侧空填2；
(2) 常数项为$\frac{25}{4}=(\frac{5}{2})^2$，右侧为$(x-\_\_\_\_\_\_)^2$，可知$b=\frac{5}{2}$，一次项为$-2× x×\frac{5}{2}=-5x$，因此左侧空填$-5$，右侧空填$\frac{5}{2}$；
(3) 一次项系数为$-\frac{4}{3}$，其一半为$-\frac{4}{3}÷2=-\frac{2}{3}$，平方得$(-\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，因此左侧空填$\frac{4}{9}$，右侧空填$\frac{2}{3}$；
(4) 一次项系数为$p$，其一半为$\frac{p}{2}$，平方得$(\frac{p}{2})^2=\frac{p^2}{4}$，因此左侧空填$\frac{p^2}{4}$，右侧空填$\frac{p}{2}$。
【答案】
(1)4，2；(2)$-5$，$\frac{5}{2}$；(3)$\frac{4}{9}$，$\frac{2}{3}$；(4)$\frac{p^2}{4}$，$\frac{p}{2}$
【知识点】
完全平方公式，配方法，整式恒等变形
【点评】
本题是配方法的基础练习题，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键，尤其要注意一次项系数的符号与配方后括号内常数的符号对应关系，掌握该类题型可为后续用配方法解一元二次方程、求二次函数最值等内容打好基础。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的应用，解题核心是牢记完全平方公式的结构：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，即二次三项式中，常数项等于一次项系数一半的平方，等号右边括号内的常数项就是一次项系数的一半，解题时注意符号要对应。解题时可先定位每道题的一次项系数，计算其一半的数值，平方后得到左侧的常数项，再根据符号匹配右侧括号内的常数即可。
【解析】
根据完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，逐一计算：
(1) 一次项系数为4，其一半为$4÷2=2$，平方得$2^2=4$，因此左侧空填4，右侧空填2；
(2) 常数项为$\frac{25}{4}=(\frac{5}{2})^2$，右侧为$(x-\_\_\_\_\_\_)^2$，可知$b=\frac{5}{2}$，一次项为$-2× x×\frac{5}{2}=-5x$，因此左侧空填$-5$，右侧空填$\frac{5}{2}$；
(3) 一次项系数为$-\frac{4}{3}$，其一半为$-\frac{4}{3}÷2=-\frac{2}{3}$，平方得$(-\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，因此左侧空填$\frac{4}{9}$，右侧空填$\frac{2}{3}$；
(4) 一次项系数为$p$，其一半为$\frac{p}{2}$，平方得$(\frac{p}{2})^2=\frac{p^2}{4}$，因此左侧空填$\frac{p^2}{4}$，右侧空填$\frac{p}{2}$。
【答案】
(1)4，2；(2)$-5$，$\frac{5}{2}$；(3)$\frac{4}{9}$，$\frac{2}{3}$；(4)$\frac{p^2}{4}$，$\frac{p}{2}$
【知识点】
完全平方公式，配方法，整式恒等变形
【点评】
本题是配方法的基础练习题，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键，尤其要注意一次项系数的符号与配方后括号内常数的符号对应关系，掌握该类题型可为后续用配方法解一元二次方程、求二次函数最值等内容打好基础。
【难度系数】
0.8
3. 把下列各式配成完全平方式：
(1) $x^2 - \frac{1}{3}x +$
(2) $x^2 + \frac{\sqrt{2}}{3}x +$
(3)
(4)
(1) $x^2 - \frac{1}{3}x +$
$\frac{1}{36}$
$=(x -$ $\frac{1}{6}$
$)^2$；(2) $x^2 + \frac{\sqrt{2}}{3}x +$
$\frac{1}{18}$
$=(x +$ $\frac{\sqrt{2}}{6}$
$)^2$；(3)
$x^2$
$-$ $\frac{9}{2}x$
$+\frac{81}{16}=(x -$ $\frac{9}{4}$
$)^2$；(4)
$x^2$
$+$ $28x$
$+196=(x +$ $14$
$)^2$；答案
3. (1)$\frac{1}{36}$ $\frac{1}{6}$ (2)$\frac{1}{18}$ $\frac{\sqrt{2}}{6}$ (3)$x^2$ $\frac{9}{2}x$ $\frac{9}{4}$ (4)$x^2$ $28x$ $14$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，配完全平方式的核心是牢记完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab + b^2$。若已知二次项为$x^2$和一次项，需补充的常数项是一次项系数一半的平方；若已知常数项和完全平方的结果形式，可反向推导二次项和一次项的对应内容，每道小题对应公式拆分匹配即可。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab + b^2$逐一求解：
(1) 二次项为$x^2$，即$a=x$，一次项为$-\frac{1}{3}x=-2ab$，代入$a=x$得$b=\frac{1}{6}$，常数项为$b^2=(\frac{1}{6})^2=\frac{1}{36}$，故依次填$\frac{1}{36}$、$\frac{1}{6}$。
(2) 二次项为$x^2$，即$a=x$，一次项为$\frac{\sqrt{2}}{3}x=+2ab$，代入$a=x$得$b=\frac{\sqrt{2}}{6}$，常数项为$b^2=(\frac{\sqrt{2}}{6})^2=\frac{1}{18}$，故依次填$\frac{1}{18}$、$\frac{\sqrt{2}}{6}$。
(3) 右侧为$(x-b)^2=x^2-2bx+b^2$，已知常数项$\frac{81}{16}=b^2$，得$b=\frac{9}{4}$，一次项为$2bx=\frac{9}{2}x$，二次项为$x^2$，故依次填$x^2$、$\frac{9}{2}x$、$\frac{9}{4}$。
(4) 右侧为$(x+b)^2=x^2+2bx+b^2$，已知常数项$196=b^2$，得$b=14$，一次项为$2bx=28x$，二次项为$x^2$，故依次填$x^2$、$28x$、$14$。
【答案】
(1)$\frac{1}{36}$，$\frac{1}{6}$；(2)$\frac{1}{18}$，$\frac{\sqrt{2}}{6}$；(3)$x^2$，$\frac{9}{2}x$，$\frac{9}{4}$；(4)$x^2$，$28x$，$14$
【知识点】
完全平方公式、配方法
【点评】
本题是配方法的基础题型，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，准确匹配公式中各项的对应关系，计算时注意系数符号和分数、根式运算的准确性。
【难度系数】
0.75
本题考查完全平方公式的应用，配完全平方式的核心是牢记完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab + b^2$。若已知二次项为$x^2$和一次项，需补充的常数项是一次项系数一半的平方；若已知常数项和完全平方的结果形式，可反向推导二次项和一次项的对应内容，每道小题对应公式拆分匹配即可。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab + b^2$逐一求解：
(1) 二次项为$x^2$，即$a=x$，一次项为$-\frac{1}{3}x=-2ab$，代入$a=x$得$b=\frac{1}{6}$，常数项为$b^2=(\frac{1}{6})^2=\frac{1}{36}$，故依次填$\frac{1}{36}$、$\frac{1}{6}$。
(2) 二次项为$x^2$，即$a=x$，一次项为$\frac{\sqrt{2}}{3}x=+2ab$，代入$a=x$得$b=\frac{\sqrt{2}}{6}$，常数项为$b^2=(\frac{\sqrt{2}}{6})^2=\frac{1}{18}$，故依次填$\frac{1}{18}$、$\frac{\sqrt{2}}{6}$。
(3) 右侧为$(x-b)^2=x^2-2bx+b^2$，已知常数项$\frac{81}{16}=b^2$，得$b=\frac{9}{4}$，一次项为$2bx=\frac{9}{2}x$，二次项为$x^2$，故依次填$x^2$、$\frac{9}{2}x$、$\frac{9}{4}$。
(4) 右侧为$(x+b)^2=x^2+2bx+b^2$，已知常数项$196=b^2$，得$b=14$，一次项为$2bx=28x$，二次项为$x^2$，故依次填$x^2$、$28x$、$14$。
【答案】
(1)$\frac{1}{36}$，$\frac{1}{6}$；(2)$\frac{1}{18}$，$\frac{\sqrt{2}}{6}$；(3)$x^2$，$\frac{9}{2}x$，$\frac{9}{4}$；(4)$x^2$，$28x$，$14$
【知识点】
完全平方公式、配方法
【点评】
本题是配方法的基础题型，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，准确匹配公式中各项的对应关系，计算时注意系数符号和分数、根式运算的准确性。
【难度系数】
0.75
4. 用配方法解下列方程，配方错误的是 （
A.$x^2 + 2x -99=0$ 化为 $(x+1)^2=100$
B.$t^2 -7t -4=0$ 化为 $(t-\dfrac{7}{2})^2=\dfrac{65}{4}$
C.$x^2 +8x +9=0$ 化为 $(x+4)^2=25$
D.$3x^2 -4x -2=0$ 化为 $(x-\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{10}{9}$
C
）A.$x^2 + 2x -99=0$ 化为 $(x+1)^2=100$
B.$t^2 -7t -4=0$ 化为 $(t-\dfrac{7}{2})^2=\dfrac{65}{4}$
C.$x^2 +8x +9=0$ 化为 $(x+4)^2=25$
D.$3x^2 -4x -2=0$ 化为 $(x-\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{10}{9}$
答案
4. C
解析
【分析】
要判断配方错误的选项，需按照配方法解一元二次方程的步骤逐个验证每个选项：配方法的核心步骤是①若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到等号右侧；③左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边化为完全平方形式，再对比选项给出的配方结果即可。
【解析】
我们逐个验证各选项：
A选项：解方程$x^2 + 2x -99=0$，移项得$x^2+2x=99$，左右两边加一次项系数2的一半的平方$1^2=1$，得$x^2+2x+1=99+1$，即$(x+1)^2=100$，A配方正确。
B选项：解方程$t^2 -7t -4=0$，移项得$t^2-7t=4$，左右两边加一次项系数$-7$的一半的平方$(\frac{-7}{2})^2=\frac{49}{4}$，得$t^2-7t+\frac{49}{4}=4+\frac{49}{4}=\frac{65}{4}$，即$(t-\frac{7}{2})^2=\frac{65}{4}$，B配方正确。
C选项：解方程$x^2 +8x +9=0$，移项得$x^2+8x=-9$，左右两边加一次项系数8的一半的平方$4^2=16$，得$x^2+8x+16=-9+16=7$，即$(x+4)^2=7$，而非选项给出的$(x+4)^2=25$，C配方错误。
D选项：解方程$3x^2 -4x -2=0$，先将二次项系数化为1，得$x^2-\frac{4}{3}x-\frac{2}{3}=0$，移项得$x^2-\frac{4}{3}x=\frac{2}{3}$，左右两边加一次项系数$-\frac{4}{3}$的一半的平方$(-\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，得$x^2-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{2}{3}+\frac{4}{9}=\frac{10}{9}$，即$(x-\frac{2}{3})^2=\frac{10}{9}$，D配方正确。
综上，配方错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的应用，解题关键是熟练掌握配方法的步骤，尤其注意二次项系数不为1时要先化为1，配方时等式两边要同时加上一次项系数一半的平方，避免出现只加左边、常数项计算错误的问题。
【难度系数】
0.8
要判断配方错误的选项，需按照配方法解一元二次方程的步骤逐个验证每个选项：配方法的核心步骤是①若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到等号右侧；③左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边化为完全平方形式，再对比选项给出的配方结果即可。
【解析】
我们逐个验证各选项：
A选项：解方程$x^2 + 2x -99=0$，移项得$x^2+2x=99$，左右两边加一次项系数2的一半的平方$1^2=1$，得$x^2+2x+1=99+1$，即$(x+1)^2=100$，A配方正确。
B选项：解方程$t^2 -7t -4=0$，移项得$t^2-7t=4$，左右两边加一次项系数$-7$的一半的平方$(\frac{-7}{2})^2=\frac{49}{4}$，得$t^2-7t+\frac{49}{4}=4+\frac{49}{4}=\frac{65}{4}$，即$(t-\frac{7}{2})^2=\frac{65}{4}$，B配方正确。
C选项：解方程$x^2 +8x +9=0$，移项得$x^2+8x=-9$，左右两边加一次项系数8的一半的平方$4^2=16$，得$x^2+8x+16=-9+16=7$，即$(x+4)^2=7$，而非选项给出的$(x+4)^2=25$，C配方错误。
D选项：解方程$3x^2 -4x -2=0$，先将二次项系数化为1，得$x^2-\frac{4}{3}x-\frac{2}{3}=0$，移项得$x^2-\frac{4}{3}x=\frac{2}{3}$，左右两边加一次项系数$-\frac{4}{3}$的一半的平方$(-\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，得$x^2-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{2}{3}+\frac{4}{9}=\frac{10}{9}$，即$(x-\frac{2}{3})^2=\frac{10}{9}$，D配方正确。
综上，配方错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的应用，解题关键是熟练掌握配方法的步骤，尤其注意二次项系数不为1时要先化为1，配方时等式两边要同时加上一次项系数一半的平方，避免出现只加左边、常数项计算错误的问题。
【难度系数】
0.8
5. 用配方法解方程:$2x^2 -5x +2=0.$
答案
5. $x_1=\frac{1}{2},x_2=2$
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程时，若二次项系数不为1，需先将二次项系数化为1，再把常数项移到方程右侧，接着在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，最后通过直接开平方求出方程的解。本题首先将方程两边同时除以2把二次项系数化为1，再按配方法的标准步骤逐步计算即可。
【解析】
解：$2x^2 -5x +2=0$
1. 化二次项系数为1：方程两边同时除以2，得
$x^2 - \frac{5}{2}x + 1 = 0$
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得
$x^2 - \frac{5}{2}x = -1$
3. 配方：方程两边同时加一次项系数一半的平方，一次项系数为$-\frac{5}{2}$，其一半的平方为$\frac{25}{16}$，得
$x^2 - \frac{5}{2}x + \frac{25}{16} = -1 + \frac{25}{16}$
整理得$(x - \frac{5}{4})^2 = \frac{9}{16}$
4. 开平方：$x - \frac{5}{4} = \pm \frac{3}{4}$
5. 求解：
当$x - \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$时，$x = 2$；
当$x - \frac{5}{4} = -\frac{3}{4}$时，$x = \frac{1}{2}$。
【答案】
$x_1=\frac{1}{2},x_2=2$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，解题关键是牢记配方法的步骤，特别注意配方时方程两边要同时加一次项系数一半的平方，避免漏加右侧常数项，计算时注意分数运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
用配方法解一元二次方程时，若二次项系数不为1，需先将二次项系数化为1，再把常数项移到方程右侧，接着在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，最后通过直接开平方求出方程的解。本题首先将方程两边同时除以2把二次项系数化为1，再按配方法的标准步骤逐步计算即可。
【解析】
解：$2x^2 -5x +2=0$
1. 化二次项系数为1：方程两边同时除以2，得
$x^2 - \frac{5}{2}x + 1 = 0$
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得
$x^2 - \frac{5}{2}x = -1$
3. 配方：方程两边同时加一次项系数一半的平方，一次项系数为$-\frac{5}{2}$，其一半的平方为$\frac{25}{16}$，得
$x^2 - \frac{5}{2}x + \frac{25}{16} = -1 + \frac{25}{16}$
整理得$(x - \frac{5}{4})^2 = \frac{9}{16}$
4. 开平方：$x - \frac{5}{4} = \pm \frac{3}{4}$
5. 求解：
当$x - \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$时，$x = 2$；
当$x - \frac{5}{4} = -\frac{3}{4}$时，$x = \frac{1}{2}$。
【答案】
$x_1=\frac{1}{2},x_2=2$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，解题关键是牢记配方法的步骤，特别注意配方时方程两边要同时加一次项系数一半的平方，避免漏加右侧常数项，计算时注意分数运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
