6. 用配方法求$2x^2 -7x +2$的最小值.

6. $-\frac{33}{8}$

【分析】
要使用配方法求二次多项式的最小值，首先需将二次项系数化为1，因此先提取二次项系数2，再对剩余含x的项进行配方，凑成完全平方的形式，结合完全平方的非负性，即可求出多项式的最小值。解题步骤为：①提取二次项系数，分离常数项；②对含x的项配常数，构成完全平方式；③整理为“a(完全平方)+常数”的形式，根据a的正负判断最值。
【解析】
解：对代数式进行配方：
第一步，提取二次项系数2，得：
$2x^2 -7x +2 = 2(x^2 - \frac{7}{2}x) + 2$
第二步，对括号内的式子配方，加上并减去一次项系数一半的平方$(\frac{7}{4})^2$：
$=2[x^2 - \frac{7}{2}x + (\frac{7}{4})^2 - (\frac{7}{4})^2] + 2$
第三步，将括号内的前三项写成完全平方形式：
$=2[(x - \frac{7}{4})^2 - \frac{49}{16}] + 2$
第四步，去括号整理：
$=2(x - \frac{7}{4})^2 - 2×\frac{49}{16} + 2$
$=2(x - \frac{7}{4})^2 - \frac{49}{8} + \frac{16}{8}$
$=2(x - \frac{7}{4})^2 - \frac{33}{8}$
$\because (x - \frac{7}{4})^2 ≥ 0$，且$2＞0$
$\therefore 2(x - \frac{7}{4})^2 ≥ 0$
$\therefore 2(x - \frac{7}{4})^2 - \frac{33}{8} ≥ -\frac{33}{8}$
即当$x = \frac{7}{4}$时，$2x^2 -7x +2$取得最小值。
【答案】
$-\frac{33}{8}$
【知识点】
配方法，完全平方的非负性，二次式最值求解
【点评】
本题是配方法的典型应用，解题核心是正确对二次多项式配方，注意提取二次项系数后，配方时加减的常数项不要漏乘系数，最后结合完全平方的非负性即可快速求出最值，是二次函数最值求解的基础题型。
【难度系数】
0.7

1. 已知$x,y$为实数，$\sqrt{3x+4} + y^2 -6y +9 =0$，则$xy=$.

1. $-4$

2. 当$x$的值为________时，代数式$x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$的值为0.

2. $1或-\frac{1}{2}$

【分析】
要让代数式的值为0，首先可根据题意列出关于x的一元二次方程，本题要求用配方法求解，解题思路为：①先移项，把常数项移到方程右侧；②因为二次项系数已经是1，所以给方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，把方程左侧配成完全平方式；③用直接开平方法求解方程，即可得到x的取值。
【解析】
根据题意列方程得：
$x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = 0$
移项，得：
$x^2 - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}$
配方，方程两边同时加$(\frac{-\frac{1}{2}}{2})^2=\frac{1}{16}$，得：
$x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} = \frac{1}{2} + \frac{1}{16}$
整理为完全平方式：
$(x - \frac{1}{4})^2 = \frac{9}{16}$
开平方得：
$x - \frac{1}{4} = \pm\frac{3}{4}$
解得：$x_1=1$，$x_2=-\frac{1}{2}$
【答案】
$1或-\frac{1}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、代数式求值、直接开平方法
【点评】
本题属于基础题型，核心是将代数式值为0的条件转化为一元二次方程，重点考察配方法的规范使用，解题时要注意配方时方程两边需同时加相同的常数，开平方时不要漏掉负根。
【难度系数】
0.8

3. $x^2 + 6x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；$x^2 - 3x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$

3. $9$ $3$ $\frac{9}{4}$ $\frac{3}{2}$

【分析】
本题考查配方法填常数项，核心是利用完全平方公式的结构特征解题。完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，当二次项系数为1时，需要添加的常数项是一次项系数一半的平方，括号内的常数就是一次项系数的一半，按照这个规律分别计算两个式子即可。
【解析】
根据完全平方公式$(x+a)^2=x^2+2ax+a^2$分步计算：
1. 处理第一个等式$x^2+6x+\_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$：
一次项系数为6，它的一半为$6÷2=3$，需要添加的常数项为$3^2=9$，因此有$x^2+6x+9=(x+3)^2$。
2. 处理第二个等式$x^2 - 3x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$：
一次项系数为3，它的一半为$3÷2=\frac{3}{2}$，需要添加的常数项为$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，因此有$x^2 - 3x + \frac{9}{4} = (x - \frac{3}{2})^2$。
【答案】
$9$；$3$；$\frac{9}{4}$；$\frac{3}{2}$
【知识点】
完全平方公式；配方法的应用
【点评】
本题是配方法的基础题型，熟练掌握二次项系数为1时的配方规则（常数项为一次项系数一半的平方）是解题的关键，这类知识是后续用配方法解一元二次方程、求二次函数最值的基础，需牢固掌握。
【难度系数】
0.9

4. 用配方法解一元二次方程$x^2 -6x -4=0$，下列变形正确的是 （）

A.$(x-6)^2=-4+36$
B.$(x-6)^2=4+36$
C.$(x-3)^2=-4+9$
D.$(x-3)^2=4+9$

4. D

【分析】
要解决这道题，需按照配方法的步骤逐步变形后匹配选项：首先回忆配方法解二次项系数为1的一元二次方程的流程：第一步先把常数项移到方程的右侧，第二步给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧凑成完全平方的形式，最后对比各选项选出正确变形即可。
【解析】
解：对于方程$x^2 -6x -4=0$
第一步：移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 -6x = 4$
第二步：配方，一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2=9$，给方程左右两边同时加9，得：
$x^2 -6x +9 = 4 +9$
第三步：将左侧写成完全平方式，得：
$(x-3)^2=4+9$
对比选项可知D选项变形正确。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的性质
【点评】
本题是配方法的基础考查题，熟练掌握配方法的操作步骤是解题的核心，这类基础运算的掌握也为后续一元二次方程求根公式推导、二次函数最值求解等内容的学习打好基础。
【难度系数】
0.8

5. 一元二次方程$x^2 -8x -1=0$配方后可变形为 （）

A.$(x+7)^2=17$
B.$(x+4)^2=15$
C.$(x-4)^2=17$
D.$(x-4)^2=15$

5. C

【分析】
要解决一元二次方程的配方问题，首先回忆配方法的操作步骤：首先确认二次项系数为1（本题已经满足），接着将常数项移到等号右侧，再给等式左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式，最后整理得到变形后的式子，对应选项即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 -8x -1=0$进行配方：
第一步，移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 -8x = 1$
第二步，配方，等式两边同时加上一次项系数$-8$一半的平方，即$(\frac{-8}{2})^2=16$，得：
$x^2 -8x +16 = 1 +16$
第三步，将左侧写成完全平方形式，右侧计算结果，得：
$(x-4)^2=17$
因此变形后的式子对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.配方法解一元二次方程；2.完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考查配方法的操作步骤，牢记“二次项系数化1→移项→加一次项系数一半的平方凑完全平方”的流程即可快速解题，属于方程模块的基础考点。
【难度系数】
0.8

6. 用配方法解下列方程：
(1) $x^2 + 2x - 2 = 0$；
(2) $x^2 - 3x - 1 = 0$。

6. (1) $x_1=-1+\sqrt{3},x_2=-1-\sqrt{3}$
(2) $x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$

【分析】
配方法解二次项系数为1的一元二次方程，核心是将方程左边转化为完全平方式，右边为常数，再用直接开平方法求解。解题步骤可分为三步：①移项：将常数项移到等号右侧，含未知数的项留在左侧；②配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边写成完全平方的形式；③开方求解：对完全平方式开平方，转化为两个一元一次方程，分别求解得到原方程的根。本题两个方程二次项系数均为1，直接按上述步骤计算即可。
【解析】
(1) 解方程$x^2 + 2x - 2 = 0$
第一步：移项，得 $x^2 + 2x = 2$
第二步：配方，一次项系数为2，一半的平方为$1^2=1$，两边同时加1，得
$x^2 + 2x + 1 = 2 + 1$
即 $(x+1)^2 = 3$
第三步：开平方，得 $x+1 = \pm\sqrt{3}$
解得 $x_1=-1+\sqrt{3}$，$x_2=-1-\sqrt{3}$
(2) 解方程$x^2 - 3x - 1 = 0$
第一步：移项，得 $x^2 - 3x = 1$
第二步：配方，一次项系数为-3，一半的平方为$(-\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，两边同时加$\frac{9}{4}$，得
$x^2 - 3x + \frac{9}{4} = 1 + \frac{9}{4}$
即 $(x-\frac{3}{2})^2 = \frac{13}{4}$
第三步：开平方，得 $x-\frac{3}{2} = \pm\frac{\sqrt{13}}{2}$
解得 $x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$
【答案】
(1) $x_1=-1+\sqrt{3},x_2=-1-\sqrt{3}$
(2) $x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$
【知识点】
配方法解方程，完全平方公式，直接开平方法
【点评】
本题属于配方法解方程的基础训练题，重点考查配方法的标准步骤，解题时需注意移项要变号，配方时添加的是一次项系数一半的平方，左右两边要同时添加，避免漏加导致计算错误。
【难度系数】
0.8

7. 用配方法证明：
（1）$-x^2 + 2x - 2$的值恒小于零；
（2）$4x^2 -12x + \frac{19}{2}$的值恒大于零。

7. (1) $\because$原式$=-(x-1)^2-1,-(x-1)^2≤0,\therefore-(x-1)^2-1≤-1$,即$-x^2+2x-2$的值恒小于零.
(2) $\because$原式$=(2x-3)^2+\frac{1}{2},(2x-3)^2≥0,\therefore(2x-3)^2+\frac{1}{2}≥\frac{1}{2}$,即$4x^2-12x+\frac{19}{2}$的值恒大于零.

8. 对于多项式$x^2+y^2+x^2y^2-6xy+5$，小亮说不论$x,y$取何值，这个多项式的值不会是负数，你是否赞同？说明理由。

8. 赞同,理由:$\because$原式$=(x-y)^2+(xy-2)^2+1＞0$,$\therefore$无论$x,y$为何值,这个多项式的值不会是负数.

【分析】
要判断多项式的值是否恒为非负数，可利用完全平方公式将多项式配方，转化为若干个非负式子的和的形式，结合平方的非负性即可判断取值范围。首先观察多项式的结构：含有$x^2+y^2$和含$xy$的项，可先将$x^2+y^2-2xy$配成$(x-y)^2$，再将剩余的$x^2y^2-4xy$和常数项组合，凑成完全平方式，最终整理为非负项加正数的形式即可证明结论。
【解析】
赞同，理由如下：
对多项式进行配方变形：
$\begin{aligned}原式&=x^2 - 2xy + y^2 + x^2y^2 - 4xy + 4 + 1\\&=(x-y)^2 + (xy-2)^2 + 1\end{aligned}$
根据平方的非负性可知：$(x-y)^2≥0$，$(xy-2)^2≥0$，
因此$(x-y)^2 + (xy-2)^2 + 1≥ 0+0+1=1＞0$，
即不论$x,y$取何值，这个多项式的值都大于0，不会是负数。
【答案】
赞同,理由:$\because$原式$=(x-y)^2+(xy-2)^2+1＞0$,$\therefore$无论$x,y$为何值,这个多项式的值不会是负数.
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 平方的非负性
3. 配方法的应用
【点评】
本题是配方法的典型应用题型，解题核心是通过合理拆分中间项和常数项，将多项式凑成多个完全平方式的和，再利用非负数的性质判断代数式的取值范围，需要掌握对多项式结构的观察分析能力和配方的技巧。
【难度系数】
0.7