1. 菱形ABCD的一个锐角为$60^{\circ }$,边长为1cm,则其较短对角线的长为____cm.

1

2. 一个菱形的两条对角线长分别为6cm,8cm,则这个菱形的周长是().
A. 5cm
B. 10cm
C. 15cm
D. 20cm

D

3. 如图,四边形ABCD的对角线互相垂直,且$OB= OD$,请你添加一个适当的条件,使ABCD成为菱形：____.(只需添加一个即可)

答案不唯一，如：$OA = OC$

4. 如图,四边形ABCD中,$AC= a$,$BD= b$,且$AC⊥BD$,顺次连结四边形ABCD各边中点,得到四边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$；再顺次连结四边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$各边中点,得到四边形$A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$……如此进行下去,得到四边形$A_{n}B_{n}C_{n}D_{n}$. 给出下列结论：①四边形$A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$是矩形；②四边形$A_{4}B_{4}C_{4}D_{4}$是菱形；③四边形$A_{5}B_{5}C_{5}D_{5}的周长是\frac {a+b}{4}$；④四边形$A_{n}B_{n}C_{n}D_{n}的面积是\frac {ab}{2^{n+1}}$. 其中正确的结论有().

A. ①②
B. ②③
C. ②③④
D. ①②③④

C

5. 如图,在菱形ABCD中,$∠BAD= 2∠B$,E为BC的中点. 求证：$AE⊥BC$.

解：
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AD// BC$，则$\angle BAD + \angle B = 180^{\circ}$。
又因为$\angle BAD = 2\angle B$，所以$2\angle B+\angle B = 180^{\circ}$，即$3\angle B = 180^{\circ}$，解得$\angle B = 60^{\circ}$。
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AB = BC$。
又因为$E$为$BC$的中点，所以$BE=\frac{1}{2}BC$，$AB = BC$，则$BE=\frac{1}{2}AB$。
在$\triangle ABE$中，$\angle B = 60^{\circ}$，$BE=\frac{1}{2}AB$，根据直角三角形的判定（如果一个三角形中，一条边是另一条边的一半，且夹角为$60^{\circ}$，那么这个三角形是直角三角形），可得$\triangle ABE$是直角三角形，且$\angle AEB = 90^{\circ}$，所以$AE\perp BC$。

6. 如图,在$△ABC$中,D,E分别是AB,AC的中点,$BE= 2DE$,延长DE到点F,使得$EF= BE$,连结CF.
(1)四边形BCFE是什么形状的特殊四边形？请证明你的结论.
(2)若$CE= 4$,$∠BCF= 120^{\circ }$,求四边形BCFE的面积.

（1）是菱形. 因为 $DE$ 是 $\triangle ABC$ 中位线，所以 $DE // BC$ 且 $2DE = BC$，所以 $BC$ 和 $EF$ 平行且相等，故四边形 $BCFE$ 是平行四边形，又因为 $BE = FE$，所以四边形 $BCFE$ 是菱形；（2）$8\sqrt{3}$