1. 正方形的对称轴有().
A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 4条

D

2. 下列说法正确的是().
A. 四条边都相等的四边形是正方形
B. 四个角都相等的四边形是正方形
C. 对角线垂直的平行四边形是正方形
D. 对角线相等的菱形是正方形

D

3. 如图,正方形ABCD的面积为34,四边形DEFG也是正方形,且顶点A,E,G三点在同一条直线上,$CG= 2$,则正方形DEFG的面积等于____.

18

4. 如图,E为正方形ABCD的边AB上的点,$DF⊥DE$,交BC的延长线于点F. 求证:$AE= CF$.

解：
因为四边形$ABCD$是正方形，
所以$AD = CD$，$\angle A=\angle DCF = 90^{\circ}$。
因为$DF\perp DE$，
所以$\angle EDF = 90^{\circ}$，
则$\angle ADE+\angle EDC=\angle CDF+\angle EDC = 90^{\circ}$，
所以$\angle ADE=\angle CDF$。
在$\triangle ADE$和$\triangle CDF$中，
$\begin{cases}\angle A=\angle DCF\\AD = CD\\\angle ADE=\angle CDF\end{cases}$
所以$\triangle ADE\cong\triangle CDF$（$ASA$）。
所以$AE = CF$。

5. 在在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点O作直线EF,GH,分别交平行四边形的四条边于E,F,G,H四点,连结EG,GF,FH,HE.
(1) 如图甲,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由.
(2) 如图乙,当$EF⊥GH$时,四边形EGFH的形状是____.
(3) 如图丙,在(2)的条件下,若$AC= BD$,则四边形EGFH的形状是____.
(4) 如图丁,在(3)的条件下,若$AC⊥BD$,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由.

1. （1）
解：四边形$EGFH$是平行四边形。
理由：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$OA = OC$，$AD// BC$。
则$\angle OAE=\angle OCF$，又$\angle AOE=\angle COF$。
在$\triangle AOE$和$\triangle COF$中，$\begin{cases}\angle OAE = \angle OCF\\OA = OC\\\angle AOE=\angle COF\end{cases}$，根据$ASA$（角 - 边 - 角）定理可得$\triangle AOE\cong\triangle COF$。
所以$OE = OF$，同理可证$OG = OH$。
根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，所以四边形$EGFH$是平行四边形。
2. （2）
菱形。
理由：由（1）知四边形$EGFH$是平行四边形，又因为$EF\perp GH$，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，所以四边形$EGFH$是菱形。
3. （3）
菱形。
理由：因为$AC = BD$，四边形$ABCD$是平行四边形，所以四边形$ABCD$是矩形，但由（2）中$EF\perp GH$，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，此时四边形$EGFH$的形状还是菱形（$AC = BD$这个条件在判断$EGFH$形状时，不影响其为菱形的结论，因为判断依据是$EF\perp GH$且$EGFH$是平行四边形）。
4. （4）
解：四边形$EGFH$是正方形。
理由：因为$AC = BD$，四边形$ABCD$是平行四边形，所以四边形$ABCD$是矩形；又因为$AC\perp BD$，所以四边形$ABCD$是正方形。
所以$\angle BOC = 90^{\circ}$，$\angle OBC=\angle OCD = 45^{\circ}$，$OB = OC$。
因为$EF\perp GH$，所以$\angle GOF = 90^{\circ}$，$\angle BOG+\angle BOF=\angle COF+\angle BOF = 90^{\circ}$，则$\angle BOG=\angle COF$。
在$\triangle BOG$和$\triangle COF$中，$\begin{cases}\angle BOG=\angle COF\\OB = OC\\\angle OBG=\angle OCF = 45^{\circ}\end{cases}$，根据$ASA$定理可得$\triangle BOG\cong\triangle COF$。
所以$OG = OF$，同理可得$OE = OF = OG = OH$，又$EF\perp GH$。
因为四边形$EGFH$是平行四边形（已证），$EF = GH$（$OE = OF = OG = OH$，$EF=OE + OF$，$GH=OG + OH$）且$EF\perp GH$，根据“对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形”，所以四边形$EGFH$是正方形。
综上，答案依次为：（1）平行四边形，理由见上述；（2）菱形；（3）菱形；（4）正方形，理由见上述。