17. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,CE平分∠ACD交AB于点E,则下列结论一定成立的是 (
A.BC=EC
B.EC=BE
C.BC=BE
D.AE=EC
C
)A.BC=EC
B.EC=BE
C.BC=BE
D.AE=EC
答案
17. C
解析
证明：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B。
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE=1/2∠ACD=1/2∠B。
∵∠CEB=∠A+∠ACE，∠A=90°-∠B，
∴∠CEB=90°-∠B+1/2∠B=90°-1/2∠B。
∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°-∠B+1/2∠B=90°-1/2∠B，
∴∠CEB=∠BCE，
∴BC=BE。
C
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B。
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE=1/2∠ACD=1/2∠B。
∵∠CEB=∠A+∠ACE，∠A=90°-∠B，
∴∠CEB=90°-∠B+1/2∠B=90°-1/2∠B。
∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°-∠B+1/2∠B=90°-1/2∠B，
∴∠CEB=∠BCE，
∴BC=BE。
C
18. 如图,∠ACB=∠ADB=90°,E为AB的中点,连接CD,CE,DE,若∠CDE=56°,则∠DCE的度数是 (
A.56°
B.62°
C.63°
D.72°
A
)A.56°
B.62°
C.63°
D.72°
答案
18. A
解析
证明：
∵∠ACB=∠ADB=90°，E为AB中点，
∴CE=DE=1/2AB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴△CDE为等腰三角形，
∴∠DCE=∠CDE=56°。
答案：A
∵∠ACB=∠ADB=90°，E为AB中点，
∴CE=DE=1/2AB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴△CDE为等腰三角形，
∴∠DCE=∠CDE=56°。
答案：A
19. 如图,在△ABC中,点D在BC上,且BD,CD的垂直平分线分别与AB,AC相交于点E,F.若△ABC的三个内角都不相等,则在∠1,∠2,∠3,∠4中,相等的角为
∠2 = ∠4
(用“=”连接).答案
19. ∠2 = ∠4
20. (2024·新疆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若点D在直线AB上(不与点A,B重合),且∠BCD=30°,则AD的长为
6或12
.答案
20. 6或12
解析
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，
∴BC=AB·sin30°=8×$\frac{1}{2}$=4，AC=AB·cos30°=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，∠B=60°.
情况1：点D在AB延长线上
∵∠BCD=30°，∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=120°.
在△ACD中，∠A=30°，∠ACD=120°，
∴∠ADC=180°-30°-120°=30°，
∴∠A=∠ADC，故AC=CD=4$\sqrt{3}$.
过点C作CE⊥AB于点E，
CE=BC·sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
AE=AC·cos30°=4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6，
在Rt△CDE中，CD=4$\sqrt{3}$，CE=2$\sqrt{3}$，
∴DE=$\sqrt{CD^2-CE^2}$=$\sqrt{(4\sqrt{3})^2-(2\sqrt{3})^2}$=6，
∴AD=AE+DE=6+6=12.
情况2：点D在BA延长线上
∵∠BCD=30°，∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=60°.
在△ACD中，∠A=30°，∠ACD=60°，
∴∠ADC=180°-30°-60°=90°，
∴△ACD为直角三角形，
AD=AC·cos30°=4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6.
综上，AD的长为6或12.
∴BC=AB·sin30°=8×$\frac{1}{2}$=4，AC=AB·cos30°=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，∠B=60°.
情况1：点D在AB延长线上
∵∠BCD=30°，∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=120°.
在△ACD中，∠A=30°，∠ACD=120°，
∴∠ADC=180°-30°-120°=30°，
∴∠A=∠ADC，故AC=CD=4$\sqrt{3}$.
过点C作CE⊥AB于点E，
CE=BC·sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
AE=AC·cos30°=4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6，
在Rt△CDE中，CD=4$\sqrt{3}$，CE=2$\sqrt{3}$，
∴DE=$\sqrt{CD^2-CE^2}$=$\sqrt{(4\sqrt{3})^2-(2\sqrt{3})^2}$=6，
∴AD=AE+DE=6+6=12.
情况2：点D在BA延长线上
∵∠BCD=30°，∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=60°.
在△ACD中，∠A=30°，∠ACD=60°，
∴∠ADC=180°-30°-60°=90°，
∴△ACD为直角三角形，
AD=AC·cos30°=4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6.
综上，AD的长为6或12.
21. 如图,在△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,∠A=50°,求∠CDE的度数.
答案
21.
∵ AC = CD = BD = BE，∠A = 50°，
∴ ∠A = ∠CDA = 50°，
∠B = ∠DCB，∠EDB = ∠DEB.
∵ ∠CDA是△BDC的外角，
∴ ∠CDA = ∠B + ∠DCB，
∴ ∠B = 25°.
∵ 在△BDE中，
∠B + ∠EDB + ∠DEB = 180°，
∴ ∠EDB = $\frac{1}{2} × (180° - 25°) = 77.5°$，
∴ ∠CDE = 180° - ∠CDA - ∠EDB = 180° - 50° - 77.5° = 52.5°
∵ AC = CD = BD = BE，∠A = 50°，
∴ ∠A = ∠CDA = 50°，
∠B = ∠DCB，∠EDB = ∠DEB.
∵ ∠CDA是△BDC的外角，
∴ ∠CDA = ∠B + ∠DCB，
∴ ∠B = 25°.
∵ 在△BDE中，
∠B + ∠EDB + ∠DEB = 180°，
∴ ∠EDB = $\frac{1}{2} × (180° - 25°) = 77.5°$，
∴ ∠CDE = 180° - ∠CDA - ∠EDB = 180° - 50° - 77.5° = 52.5°
22. (2024·新疆)已知△ABC和△ADE都是等边三角形.
(1) 如图①,当点D在BC上时,连接CE.请探究CA,CE和CD之间的数量关系,并说明理由.
(2) 如图②,当点D在线段BC的延长线上时,连接CE,则CA,CE和CD之间的数量关系是
(1) 如图①,当点D在BC上时,连接CE.请探究CA,CE和CD之间的数量关系,并说明理由.
(2) 如图②,当点D在线段BC的延长线上时,连接CE,则CA,CE和CD之间的数量关系是
CA + CD = CE
.答案
22. (1) CE + CD = CA 理由：
∵ △ABC和△ADE是等边三角形，
∴ AB = AC = BC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE = 60°，
∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，
∴ ∠BAD = ∠CAE.
在△ABD和△ACE中，$\begin{cases} AB = AC, \\ \angle BAD = \angle CAE, \\ AD = AE, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ACE(SAS)，
∴ CE = BD.
∵ BD + CD = BC，
∴ CE + CD = CA. (2) CA + CD = CE
∵ △ABC和△ADE是等边三角形，
∴ AB = AC = BC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE = 60°，
∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，
∴ ∠BAD = ∠CAE.
在△ABD和△ACE中，$\begin{cases} AB = AC, \\ \angle BAD = \angle CAE, \\ AD = AE, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ACE(SAS)，
∴ CE = BD.
∵ BD + CD = BC，
∴ CE + CD = CA. (2) CA + CD = CE
