10. 如图,AB=AC,AB⊥AC,AD⊥AE,且∠ABD=∠ACE.求证:BD=CE.
答案
10.
∵ AB⊥AC，AD⊥AE，
∴ ∠DAE = ∠BAC = 90°，
∴ ∠DAE - ∠BAE = ∠BAC - ∠BAE，
∴ ∠BAD = ∠CAE.
在△ABD和△ACE中，$\begin{cases} \angle BAD = \angle CAE, \\ AB = AC, \\ \angle ABD = \angle ACE, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ACE(ASA)，
∴ BD = CE
∵ AB⊥AC，AD⊥AE，
∴ ∠DAE = ∠BAC = 90°，
∴ ∠DAE - ∠BAE = ∠BAC - ∠BAE，
∴ ∠BAD = ∠CAE.
在△ABD和△ACE中，$\begin{cases} \angle BAD = \angle CAE, \\ AB = AC, \\ \angle ABD = \angle ACE, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ACE(ASA)，
∴ BD = CE
11. 如图,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB,交AB的延长线于点E,DF⊥AC,交AC的延长线于点F.求证:DE=DF.
答案
11. 如图，连接AD. 在△ABD和△ACD中，$\begin{cases} AB = AC, \\ BD = CD, \\ AD = AD, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ACD(SSS)，
∴ ∠BAD = ∠CAD.
∵ DE⊥AE，DF⊥AF，
∴ ∠E = ∠F = 90°. 在△AED和△AFD中，
$\begin{cases} \angle E = \angle F, \\ \angle EAD = \angle FAD, \\ AD = AD, \end{cases}$
∴ △AED≌△AFD(AAS)，
∴ DE = DF
12. 如图,在△ABC中,l₁是AB的垂直平分线,l₂是AC的垂直平分线,l₁与l₂交于点O,则点O在 (
A.∠A的平分线上
B.BC的垂直平分线上
C.边BC的中线上
D.边BC的高上
B
)A.∠A的平分线上
B.BC的垂直平分线上
C.边BC的中线上
D.边BC的高上
答案
12. B
解析
证明：
∵$l_1$是$AB$的垂直平分线，
∴$OA=OB$（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
∵$l_2$是$AC$的垂直平分线，
∴$OA=OC$（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
∴$OB=OC$。
∴点$O$在$BC$的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在该线段的垂直平分线上）。
B
∵$l_1$是$AB$的垂直平分线，
∴$OA=OB$（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
∵$l_2$是$AC$的垂直平分线，
∴$OA=OC$（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
∴$OB=OC$。
∴点$O$在$BC$的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在该线段的垂直平分线上）。
B
13. 如图,依据尺规作图的痕迹,可得∠α的度数为
60°
.答案
13. 60°
14. 如图,∠AOE=15°,OE平分∠AOB,DE//OB交OA于点D,EC⊥OB,垂足为C.若EC=2,则OD的长为
4
.答案
14. 4
解析
解：过点E作EF⊥OA于点F，
∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，EF⊥OA，
∴EF=EC=2，
∵∠AOE=15°，
∴∠AOB=2∠AOE=30°，
∵DE//OB，
∴∠ADE=∠AOB=30°，∠OED=∠AOE=15°，
∴OD=DE，
在Rt△DEF中，∠EDF=30°，EF=2，
∴DE=2EF=4，
∴OD=4.
∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，EF⊥OA，
∴EF=EC=2，
∵∠AOE=15°，
∴∠AOB=2∠AOE=30°，
∵DE//OB，
∴∠ADE=∠AOB=30°，∠OED=∠AOE=15°，
∴OD=DE，
在Rt△DEF中，∠EDF=30°，EF=2，
∴DE=2EF=4，
∴OD=4.
15. 如图,在△ABC中,AF平分∠BAC,AC的垂直平分线交BC于点E,交AC于点D,∠B=70°,∠FAE=19°,则∠C的度数为
24°
.答案
15. 24°
解析
解：设∠C=x。
∵DE垂直平分AC，
∴EA=EC，∠EAC=∠C=x。
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF=∠FAC=∠FAE+∠EAC=19°+x，∠BAC=2(19°+x)。
在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°，即70°+2(19°+x)+x=180°，
解得x=24°。
∠C的度数为24°。
∵DE垂直平分AC，
∴EA=EC，∠EAC=∠C=x。
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF=∠FAC=∠FAE+∠EAC=19°+x，∠BAC=2(19°+x)。
在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°，即70°+2(19°+x)+x=180°，
解得x=24°。
∠C的度数为24°。
16. (分类讨论思想)在△ABC中,AB=AC,O为平面上一点,且OB=OC.点A到BC的距离为8,点O到BC的距离为3,求AO的长.
答案
16.
∵ AB = AC，
∴ 点A在线段BC的垂直平分线上.
∵ OB = OC，
∴ 点O也在线段BC的垂直平分线上，
∴ AO所在的直线即为线段BC的垂直平分线. 设直线AO与线段BC交于点M.
由题意，得AM = 8，OM = 3. 如图①，当点A，O在BC的同侧时，AO = AM - OM = 8 - 3 = 5；如图②，当点A，O在BC的异侧时，AO = AM + OM = 8 + 3 = 11. 综上所述，AO的长为5或11
