23. (2024·安徽)在凸五边形ABCDE中,AB=AE,BC=DE,F是CD的中点.补充下列条件后,不能得到AF与CD一定垂直的是 (
A.∠ABC=∠AED
B.∠BAF=∠EAF
C.∠BCF=∠EDF
D.∠ABD=∠AEC
D
)A.∠ABC=∠AED
B.∠BAF=∠EAF
C.∠BCF=∠EDF
D.∠ABD=∠AEC
答案
23. D
24. 如图,P为△ABC内一点,过点P的线段MN分别交AB,BC于点M,N,且点M,N分别在PA,PC的垂直平分线上.若∠ABC=80°,则∠APC的度数为 (
A.120°
B.125°
C.130°
D.135°
C
)A.120°
B.125°
C.130°
D.135°
答案
24. C
解析
证明：连接PM、PN。
∵点M在PA的垂直平分线上，
∴PM=AM，
∴∠MAP=∠MPA。
同理，点N在PC的垂直平分线上，
∴PN=CN，
∴∠NCP=∠NPC。
设∠MAP=∠MPA=α，∠NCP=∠NPC=β，
则∠AMP=180°-2α，∠CNP=180°-2β。
在△ABC中，∠ABC=80°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-80°=100°，
即∠MAP+∠BCA+∠NCP=100°，
α+∠BCA+β=100°，
∠BCA=100°-α-β。
在四边形ABNM中，∠B+∠BMN+∠MNC+∠BCA=360°，
∠BMN=180°-∠AMP=180°-(180°-2α)=2α，
∠MNC=180°-∠CNP=180°-(180°-2β)=2β，
∴80°+2α+2β+∠BCA=360°，
将∠BCA=100°-α-β代入，
80°+2α+2β+100°-α-β=360°，
180°+α+β=360°，
α+β=180°。
在△APC中，∠APC=180°-∠PAC-∠PCA=180°-α-β=180°-(α+β)，
∵α+β=50°，
∴∠APC=180°-50°=130°。
答案：C
∵点M在PA的垂直平分线上，
∴PM=AM，
∴∠MAP=∠MPA。
同理，点N在PC的垂直平分线上，
∴PN=CN，
∴∠NCP=∠NPC。
设∠MAP=∠MPA=α，∠NCP=∠NPC=β，
则∠AMP=180°-2α，∠CNP=180°-2β。
在△ABC中，∠ABC=80°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-80°=100°，
即∠MAP+∠BCA+∠NCP=100°，
α+∠BCA+β=100°，
∠BCA=100°-α-β。
在四边形ABNM中，∠B+∠BMN+∠MNC+∠BCA=360°，
∠BMN=180°-∠AMP=180°-(180°-2α)=2α，
∠MNC=180°-∠CNP=180°-(180°-2β)=2β，
∴80°+2α+2β+∠BCA=360°，
将∠BCA=100°-α-β代入，
80°+2α+2β+100°-α-β=360°，
180°+α+β=360°，
α+β=180°。
在△APC中，∠APC=180°-∠PAC-∠PCA=180°-α-β=180°-(α+β)，
∵α+β=50°，
∴∠APC=180°-50°=130°。
答案：C
25. (2024·临夏改编)如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,将△ABC沿其底边的中线AD向下平移,使点A的对应点A'满足AA'= $\frac{1}{3}$AD,A'B'与BD的交点为M,则B'M的长为
$\frac{2}{3}$
.答案
25. $\frac{2}{3}$
26. 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AC=5,∠DAB=∠DCB=90°,则四边形ABCD的面积为
12.5
.答案
26. 12.5 解析：如图，过点A作AE⊥AC，交CB的延长线于点E，则∠CAE = ∠DAB = 90°.
∴ ∠CAE - ∠CAB = ∠DAB - ∠CAB，即∠BAE = ∠DAC.
∵ ∠CAE = 90°，
∴ ∠ACB + ∠E = 90°.
∵ ∠DCB = 90°，
∴ ∠ACD + ∠ACB = 90°，
∴ ∠E = ∠ACD. 在△ABE和△ADC中，
$\begin{cases} \angle E = \angle ACD, \\ \angle BAE = \angle DAC, \\ AB = AD, \end{cases}$
∴ △ABE≌△ADC(AAS)，
∴ AE = AC = 5，$S_{\triangle ABE} = S_{\triangle ADC}$，
∴ $S_{四边形ABCD} = S_{\triangle ADC} + S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABE} + S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ACE} = \frac{1}{2} × AC · AE = \frac{1}{2} × 5 × 5 = 12.5$.
27. (易错题)如图,AB=6 cm,AC=BD=4 cm,∠CAB=∠DBA=60°,点P在线段AB上以1 cm/s的速度由点A向点B运动.同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动.设运动的时间为t s,则当点Q的运动速度为
1或$\frac{4}{3}$
cm/s时,A,C,P三点构成的三角形能与B,P,Q三点构成的三角形全等.答案
27. 1或$\frac{4}{3}$ [易错分析]本题需要分△ACP≌△BPQ与△ACP≌△BQP两种情况讨论，容易忽视△ACP≌△BQP这种情况的存在.
解析
解：设点Q的运动速度为$v$ cm/s。
由题意得：$AP = t$ cm，$BP = (6 - t)$ cm，$BQ = vt$ cm。
情况一：$\triangle ACP \cong \triangle BPQ$
则$AC = BP$，$AP = BQ$。
$\because AC = 4$ cm，$\therefore 4 = 6 - t$，解得$t = 2$。
$\because AP = BQ$，$\therefore t = vt$，即$2 = 2v$，解得$v = 1$。
情况二：$\triangle ACP \cong \triangle BQP$
则$AC = BQ$，$AP = BP$。
$\because AP = BP$，$\therefore t = 6 - t$，解得$t = 3$。
$\because AC = BQ$，$\therefore 4 = vt$，即$4 = 3v$，解得$v = \frac{4}{3}$。
综上，$v = 1$或$v = \frac{4}{3}$。
故答案为：$1$或$\frac{4}{3}$。
由题意得：$AP = t$ cm，$BP = (6 - t)$ cm，$BQ = vt$ cm。
情况一：$\triangle ACP \cong \triangle BPQ$
则$AC = BP$，$AP = BQ$。
$\because AC = 4$ cm，$\therefore 4 = 6 - t$，解得$t = 2$。
$\because AP = BQ$，$\therefore t = vt$，即$2 = 2v$，解得$v = 1$。
情况二：$\triangle ACP \cong \triangle BQP$
则$AC = BQ$，$AP = BP$。
$\because AP = BP$，$\therefore t = 6 - t$，解得$t = 3$。
$\because AC = BQ$，$\therefore 4 = vt$，即$4 = 3v$，解得$v = \frac{4}{3}$。
综上，$v = 1$或$v = \frac{4}{3}$。
故答案为：$1$或$\frac{4}{3}$。
28. (2023·滨州)已知P是等边三角形ABC的边BC上的一点.若∠APC=104°,则在以线段AP,BP,CP为边的三角形中,最小内角的度数为
16°
.答案
28. 16° 解析：如图，过点P作PD//AB交AC于点D，过点P作PE//AC交AB于点E，则△BPE，△CPD均为等边三角形，
∴ BP = PE，CP = PD，∠PDC = ∠DPC = 60°. 证△AEP≌△PDA，得PE = AD，
∴ BP = AD，
∴ △ADP就是以线段AP，BP，CP 为边的三角形.
∵ ∠APD = ∠APC - 60° = 44°，
∠ADP = 180° - ∠PDC = 120°，
∴ ∠PAD = 180° - ∠APD - ∠ADP = 16°，
∴ 在满足题意的三角形中，最小内角的度数为16°.
29. 如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=40°,点D在线段BC上运动(不与点B,C重合),连接AD,作∠ADE=40°,DE交线段AC于点E.
(1) 当DC=2时,求证:△ABD≌△DCE.
(2) (分类讨论思想)在点D的运动过程中,△ADE的形状也在改变,当∠BAD的度数为多少时,△ADE是等腰三角形? 请说明理由.
(1) 当DC=2时,求证:△ABD≌△DCE.
(2) (分类讨论思想)在点D的运动过程中,△ADE的形状也在改变,当∠BAD的度数为多少时,△ADE是等腰三角形? 请说明理由.
答案
29. (1)
∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠C.
∵ ∠ADC是△ABD的外角，
∴ ∠ADC = ∠B + ∠BAD，即∠ADE + ∠CDE = ∠B + ∠BAD.
∵ ∠B = 40°，∠ADE = 40°，
∴ ∠CDE = ∠BAD.
∵ AB = 2，DC = 2，
∴ AB = DC. 在△ABD和△DCE中，
$\begin{cases} \angle BAD = \angle CDE, \\ AB = DC, \\ \angle B = \angle C \end{cases}$
∴ △ABD≌△DCE(ASA) (2) 当∠BAD的度数为30°或60°时，△ADE是等腰三角形 理由：
∵ 在△ABC中，AB = AC，
∴ ∠B = ∠C = 40°. ① 若AD = AE，则∠AED = ∠ADE = 40°.
∵ ∠AED是△DEC的外角，
∴ ∠AED = ∠EDC + ∠C，
∴ ∠EDC = 0°，此时点D，B重合，不符合题意，舍去. ② 若AD = ED，则∠DAE = ∠DEA = $\frac{1}{2}(180° - \angle ADE) = \frac{1}{2} × (180° - 40°) = 70°$.
∵ ∠AED = ∠EDC + ∠C，
∴ ∠EDC = 30°，
∴ ∠BAD = ∠EDC = 30°.
③ 若AE = DE，则∠DAE = ∠ADE = 40°.
∵ △ABC的内角和为180°，
∴ ∠BAC = 180° - 2×40° = 100°，
∴ ∠BAD = 100° - 40° = 60°. 综上所述，当∠BAD的度数为30°或60°时，△ADE是等腰三角形.
∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠C.
∵ ∠ADC是△ABD的外角，
∴ ∠ADC = ∠B + ∠BAD，即∠ADE + ∠CDE = ∠B + ∠BAD.
∵ ∠B = 40°，∠ADE = 40°，
∴ ∠CDE = ∠BAD.
∵ AB = 2，DC = 2，
∴ AB = DC. 在△ABD和△DCE中，
$\begin{cases} \angle BAD = \angle CDE, \\ AB = DC, \\ \angle B = \angle C \end{cases}$
∴ △ABD≌△DCE(ASA) (2) 当∠BAD的度数为30°或60°时，△ADE是等腰三角形 理由：
∵ 在△ABC中，AB = AC，
∴ ∠B = ∠C = 40°. ① 若AD = AE，则∠AED = ∠ADE = 40°.
∵ ∠AED是△DEC的外角，
∴ ∠AED = ∠EDC + ∠C，
∴ ∠EDC = 0°，此时点D，B重合，不符合题意，舍去. ② 若AD = ED，则∠DAE = ∠DEA = $\frac{1}{2}(180° - \angle ADE) = \frac{1}{2} × (180° - 40°) = 70°$.
∵ ∠AED = ∠EDC + ∠C，
∴ ∠EDC = 30°，
∴ ∠BAD = ∠EDC = 30°.
③ 若AE = DE，则∠DAE = ∠ADE = 40°.
∵ △ABC的内角和为180°，
∴ ∠BAC = 180° - 2×40° = 100°，
∴ ∠BAD = 100° - 40° = 60°. 综上所述，当∠BAD的度数为30°或60°时，△ADE是等腰三角形.
