1. (2024·苏州期末)用配方法解方程$x^{2}-2x-3=0$时,配方结果正确的是 ()

A.$(x-1)^{2}=4$
B.$(x-1)^{2}=2$
C.$(x-2)^{2}=1$
D.$(x-2)^{2}=7$

A

原方程为$x^{2}-2x-3=0$，移项得$x^{2}-2x=3$。
配方：$x^{2}-2x+1=3+1$，即$(x-1)^{2}=4$。

2. 将一元二次方程$y^{2}-y-\frac {3}{4}=0$配方后可化为 ()

A.$(y+\frac {1}{2})^{2}=1$
B.$(y-\frac {1}{2})^{2}=1$
C.$(y+\frac {1}{2})^{2}=\frac {3}{4}$
D.$(y-\frac {1}{2})^{2}=\frac {3}{4}$

B

原方程为 $y^{2} - y - \frac{3}{4} = 0$。
将常数项移到方程右边得：$y^{2} - y = \frac{3}{4}$，
为了配方，使左边成为一个完全平方项，需要加上和减去一次项系数一半的平方，即$(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$，
$y^{2} - y + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$，
$y^{2} - y + \frac{1}{4} = 1$，
将左边写成完全平方的形式得：$(y - \frac{1}{2})^{2} = 1$。

3. 若将关于x的一元二次方程$x^{2}+16x+c=0$配方后得到方程$(x+8)^{2}=3c$,则c的值为.

16

方程$x^{2}+16x+c=0$配方，得$x^{2}+16x+64=-c+64$，即$(x+8)^{2}=64 - c$。已知配方后方程为$(x+8)^{2}=3c$，所以$64 - c = 3c$，解得$c=16$。

4. 若$x=0$是关于x的方程$(m-3)x^{2}+3x+m^{2}+2m-15=0$的一个根,则m的值为.

-5

将$x=0$代入方程$(m - 3)x^2 + 3x + m^2 + 2m - 15 = 0$，得$m^2 + 2m - 15 = 0$。因式分解得$(m + 5)(m - 3) = 0$，解得$m_1 = -5$，$m_2 = 3$。因为方程是二次方程（隐含条件二次项系数不为$0$），所以$m - 3 \neq 0$，即$m \neq 3$，故$m = -5$。

5. 用配方法解下列方程:
(1)(2023·广州)$x^{2}-6x+5=0;$
(2)(2024·徐州)$x^{2}+2x-1=0;$
(3)$x^{2}+\frac {10}{3}x+1=0;$
(4)$x^{2}+\frac {1}{2}=\frac {3}{2}x.$

(1)移项，得$x^{2}-6x=-5$，配方，得$x^{2}-6x+9=-5+9$，即$(x-3)^{2}=4$，开平方，得$x-3=\pm 2$，解得$x_{1}=5$，$x_{2}=1$。
(2)移项，得$x^{2}+2x=1$，配方，得$x^{2}+2x+1=1+1$，即$(x+1)^{2}=2$，开平方，得$x+1=\pm \sqrt{2}$，解得$x_{1}=-1+\sqrt{2}$，$x_{2}=-1-\sqrt{2}$。
(3)移项，得$x^{2}+\frac{10}{3}x=-1$，配方，得$x^{2}+\frac{10}{3}x+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=-1+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$，即$(x+\frac{5}{3})^{2}=\frac{16}{9}$，开平方，得$x+\frac{5}{3}=\pm \frac{4}{3}$，解得$x_{1}=-\frac{1}{3}$，$x_{2}=-3$。
(4)移项，得$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{1}{2}$，配方，得$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$，即$(x-\frac{3}{4})^{2}=\frac{1}{16}$，开平方，得$x-\frac{3}{4}=\pm \frac{1}{4}$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{1}{2}$。

6. (2024·东营)用配方法解一元二次方程$x^{2}-2x-2023=0$,将它转化为$(x+h)^{2}=k$的形式,则$h^{k}$的值为 ()

A.-2024
B.2024
C.-1
D.1

D

原方程为 $x^{2} - 2x - 2023 = 0$。
将常数项移到等式右边：$x^{2} - 2x = 2023$。
在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，即 $1$，得到：$x^{2} - 2x + 1 = 2023 + 1$，
即$(x - 1)^{2} = 2024$，
对照$(x+h)^{2}=k$的形式，我们有$h = -1$，$k = 2024$。
所以$h^{k} = (-1)^{2024} = 1$。

7. 若代数式$x^{2}+(k^{2}-1)x+9$是完全平方式,则实数k的值为.

$\pm\sqrt{7}$

因为代数式$x^{2}+(k^{2}-1)x+9$是完全平方式，所以$x^{2}+(k^{2}-1)x+9=(x\pm3)^{2}$。展开得$x^{2}\pm6x + 9$，则$k^{2}-1=\pm6$。当$k^{2}-1=6$时，$k^{2}=7$，$k=\pm\sqrt{7}$；当$k^{2}-1=-6$时，$k^{2}=-5$（无解）。综上，$k=\pm\sqrt{7}$。

8. 将代数式$x^{2}+6x+7$进行如下变形:$x^{2}+6x+7=x^{2}+2\cdot x\cdot 3+9-9+7=(x+3)^{2}-2$.当x的值为时,$(x+3)^{2}$取得最小值,最小值为0,即$(x+3)^{2}-2$的最小值为-2,从而代数式$x^{2}+6x+7$的最小值为.

第一个填空：$-3$，第二个填空：$-2$（由于原题为填空题格式，按题目要求直接提供答案值。）
最终答案放置于要求格式中：
第一个空：`-3`
第二个空：`-2`
（由于要求答案放置于 `@@`（实际为`

将代数式 $x^2 + 6x + 7$ 变形为 $(x+3)^2 - 2$。
由于 $(x+3)^2 \geq 0$，当 $x+3=0$ 即 $x=-3$ 时，$(x+3)^2$ 取得最小值 $0$。
此时，代数式的最小值为 $0 - 2 = -2$。