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7. 方程$x^2 - \sqrt{49} = 0$的根是()
A.$x_1 = -7$，$x_2 = 7$
B.$x_1 = x_2 = 7$
C.$x_1 = x_2 = \sqrt{7}$
D.$x_1 = \sqrt{7}$，$x_2 = -\sqrt{7}$
A.$x_1 = -7$，$x_2 = 7$
B.$x_1 = x_2 = 7$
C.$x_1 = x_2 = \sqrt{7}$
D.$x_1 = \sqrt{7}$，$x_2 = -\sqrt{7}$
答案
D
解析
方程$x^2 - \sqrt{49} = 0$可化简为$x^2 - 7 = 0$，移项得$x^2 = 7$，直接开平方得$x = \pm\sqrt{7}$，即$x_1 = \sqrt{7}$，$x_2 = -\sqrt{7}$。
8. 已知关于$x$的一元二次方程$(2x + 5)^2 + 3n - 4 = 0$有实数根，则$n$的取值范围是.
答案
$n \leq \frac{4}{3}$（的填写方式根据题目要求可能不同，若为选择题则根据选项填写对应字母）
解析
由题意，将方程$(2x + 5)^2 + 3n - 4 = 0$进行整理，得：
$(2x + 5)^2 = 4 - 3n$，
由于方程有实数根，那么方程右边的表达式必须满足非负性，即：
$4 - 3n \geq 0$，
（因为平方数总是非负的，所以要使方程有实数根，其右边必须非负），
解这个不等式，得到：
$n \leq \frac{4}{3} × \frac{1}{1}$
$n \leq \frac{4}{3}$
$(2x + 5)^2 = 4 - 3n$，
由于方程有实数根，那么方程右边的表达式必须满足非负性，即：
$4 - 3n \geq 0$，
（因为平方数总是非负的，所以要使方程有实数根，其右边必须非负），
解这个不等式，得到：
$n \leq \frac{4}{3} × \frac{1}{1}$
$n \leq \frac{4}{3}$
9. 如果关于$x$的一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$的两个根分别是$x_1 = m + 1$，$x_2 = 2m - 4$，那么$\frac{b}{a}$的值为.
答案
4
解析
方程$ax^2 = b$可化为$x^2 = \frac{b}{a}$，其两根互为相反数，即$x_1 + x_2 = 0$。
由$x_1 = m + 1$，$x_2 = 2m - 4$，得$(m + 1) + (2m - 4) = 0$，解得$m = 1$。
则$x_1 = 2$，$x_2 = -2$，代入$x^2 = \frac{b}{a}$，得$\frac{b}{a} = 2^2 = 4$。
由$x_1 = m + 1$，$x_2 = 2m - 4$，得$(m + 1) + (2m - 4) = 0$，解得$m = 1$。
则$x_1 = 2$，$x_2 = -2$，代入$x^2 = \frac{b}{a}$，得$\frac{b}{a} = 2^2 = 4$。
10. 用直接开平方法解下列方程：
（1）$(x + \frac{1}{9})^2 = 0$；
（2）$\frac{1}{2}(x - 5)^2 - 16 = 0$；
（3）$(y + 0.3)(y - 0.3) - 0.16 = 0$；
（4）$4(2m - 3)^2 = 9(m - 1)^2$.
（1）$(x + \frac{1}{9})^2 = 0$；
（2）$\frac{1}{2}(x - 5)^2 - 16 = 0$；
（3）$(y + 0.3)(y - 0.3) - 0.16 = 0$；
（4）$4(2m - 3)^2 = 9(m - 1)^2$.
答案
（1）$(x + \frac{1}{9})^2 = 0$
$x + \frac{1}{9} = 0$
$x = -\frac{1}{9}$
（2）$\frac{1}{2}(x - 5)^2 - 16 = 0$
$\frac{1}{2}(x - 5)^2 = 16$
$(x - 5)^2 = 32$
$x - 5 = \pm 4\sqrt{2}$
$x_1 = 5 + 4\sqrt{2}$，$x_2 = 5 - 4\sqrt{2}$
（3）$(y + 0.3)(y - 0.3) - 0.16 = 0$
$y^2 - 0.09 - 0.16 = 0$
$y^2 = 0.25$
$y = \pm 0.5$
$y_1 = 0.5$，$y_2 = -0.5$
（4）$4(2m - 3)^2 = 9(m - 1)^2$
$2(2m - 3) = \pm 3(m - 1)$
当$2(2m - 3) = 3(m - 1)$时：
$4m - 6 = 3m - 3$
$m = 3$
当$2(2m - 3) = -3(m - 1)$时：
$4m - 6 = -3m + 3$
$7m = 9$
$m = \frac{9}{7}$
$m_1 = 3$，$m_2 = \frac{9}{7}$
$x + \frac{1}{9} = 0$
$x = -\frac{1}{9}$
（2）$\frac{1}{2}(x - 5)^2 - 16 = 0$
$\frac{1}{2}(x - 5)^2 = 16$
$(x - 5)^2 = 32$
$x - 5 = \pm 4\sqrt{2}$
$x_1 = 5 + 4\sqrt{2}$，$x_2 = 5 - 4\sqrt{2}$
（3）$(y + 0.3)(y - 0.3) - 0.16 = 0$
$y^2 - 0.09 - 0.16 = 0$
$y^2 = 0.25$
$y = \pm 0.5$
$y_1 = 0.5$，$y_2 = -0.5$
（4）$4(2m - 3)^2 = 9(m - 1)^2$
$2(2m - 3) = \pm 3(m - 1)$
当$2(2m - 3) = 3(m - 1)$时：
$4m - 6 = 3m - 3$
$m = 3$
当$2(2m - 3) = -3(m - 1)$时：
$4m - 6 = -3m + 3$
$7m = 9$
$m = \frac{9}{7}$
$m_1 = 3$，$m_2 = \frac{9}{7}$
11. 若$(a^2 + b^2 - 1)^2 = 17$，求$a^2 + b^2$的值.
答案
设 $a^2 + b^2 = m$，代入原方程 $(a^2 + b^2 - 1)^2 = 17$，得：
$(m - 1)^2 = 17$，
开方得：
$m - 1 = \pm \sqrt{17}$，
即$m = 1 \pm \sqrt{17}$，
由于 $a^2 + b^2$ 表示实数的平方和，其值必然非负，因此：
$m = 1 + \sqrt{17}$，
所以，$a^2 + b^2 = 1 + \sqrt{17}$。
$(m - 1)^2 = 17$，
开方得：
$m - 1 = \pm \sqrt{17}$，
即$m = 1 \pm \sqrt{17}$，
由于 $a^2 + b^2$ 表示实数的平方和，其值必然非负，因此：
$m = 1 + \sqrt{17}$，
所以，$a^2 + b^2 = 1 + \sqrt{17}$。
12. （新考法·新定义题）定义$[x]$为不超过实数$x$的最大整数，如$[1.8] = 1$，$[-1.4] = -2$，$[-3] = -3$. 函数$y = [x]$在$-2\leqslant x＜2$范围内的图像如图所示，试求当$-2\leqslant x＜2$时，$[x] = \frac{1}{2}x^2$的$x$的值.
答案
$x=0$或$x=\sqrt{2}$
解析
分情况讨论：
1. 当$-2\leqslant x ＜ -1$时，$[x]=-2$，方程为$-2=\frac{1}{2}x^2$，即$x^2=-4$，无解；
2. 当$-1\leqslant x ＜ 0$时，$[x]=-1$，方程为$-1=\frac{1}{2}x^2$，即$x^2=-2$，无解；
3. 当$0\leqslant x ＜ 1$时，$[x]=0$，方程为$0=\frac{1}{2}x^2$，解得$x=0$，且$0\in[0,1)$，有效；
4. 当$1\leqslant x ＜ 2$时，$[x]=1$，方程为$1=\frac{1}{2}x^2$，即$x^2=2$，解得$x=\sqrt{2}$（$x=-\sqrt{2}$舍去），且$\sqrt{2}\in[1,2)$，有效。
综上，$x=0$或$x=\sqrt{2}$。
1. 当$-2\leqslant x ＜ -1$时，$[x]=-2$，方程为$-2=\frac{1}{2}x^2$，即$x^2=-4$，无解；
2. 当$-1\leqslant x ＜ 0$时，$[x]=-1$，方程为$-1=\frac{1}{2}x^2$，即$x^2=-2$，无解；
3. 当$0\leqslant x ＜ 1$时，$[x]=0$，方程为$0=\frac{1}{2}x^2$，解得$x=0$，且$0\in[0,1)$，有效；
4. 当$1\leqslant x ＜ 2$时，$[x]=1$，方程为$1=\frac{1}{2}x^2$，即$x^2=2$，解得$x=\sqrt{2}$（$x=-\sqrt{2}$舍去），且$\sqrt{2}\in[1,2)$，有效。
综上，$x=0$或$x=\sqrt{2}$。
