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9. 用配方法解下列方程:
(1)$m^{2}=8m+20;$
(2)$x^{2}-2=-10x;$
(3)$y^{2}+1=-2\sqrt {2}y;$
(4)$x^{2}+\frac {1}{2}=\frac {5}{2}x.$
(1)$m^{2}=8m+20;$
(2)$x^{2}-2=-10x;$
(3)$y^{2}+1=-2\sqrt {2}y;$
(4)$x^{2}+\frac {1}{2}=\frac {5}{2}x.$
答案
(1)
原方程$m^{2}=8m + 20$，移项得$m^{2}-8m = 20$，
配方：$m^{2}-8m + 16=20 + 16$，即$(m - 4)^{2}=36$，
开方得$m - 4=\pm6$，
解得$m_{1}=10$，$m_{2}=-2$。
(2)
原方程$x^{2}-2=-10x$，移项得$x^{2}+10x = 2$，
配方：$x^{2}+10x + 25=2 + 25$，即$(x + 5)^{2}=27$，
开方得$x + 5=\pm3\sqrt{3}$，
解得$x_{1}=-5 + 3\sqrt{3}$，$x_{2}=-5 - 3\sqrt{3}$。
(3)
原方程$y^{2}+1=-2\sqrt{2}y$，移项得$y^{2}+2\sqrt{2}y=-1$，
配方：$y^{2}+2\sqrt{2}y + 2=-1 + 2$，即$(y+\sqrt{2})^{2}=1$，
开方得$y+\sqrt{2}=\pm1$，
解得$y_{1}=- \sqrt{2}+1$，$y_{2}=-\sqrt{2}-1$。
(4)
原方程$x^{2}+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}x$，移项得$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{1}{2}$，
配方：$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{25}{16}$，即$(x - \frac{5}{4})^{2}=\frac{17}{16}$，
开方得$x-\frac{5}{4}=\pm\frac{\sqrt{17}}{4}$，
解得$x_{1}=\frac{5 + \sqrt{17}}{4}$，$x_{2}=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$。
原方程$m^{2}=8m + 20$，移项得$m^{2}-8m = 20$，
配方：$m^{2}-8m + 16=20 + 16$，即$(m - 4)^{2}=36$，
开方得$m - 4=\pm6$，
解得$m_{1}=10$，$m_{2}=-2$。
(2)
原方程$x^{2}-2=-10x$，移项得$x^{2}+10x = 2$，
配方：$x^{2}+10x + 25=2 + 25$，即$(x + 5)^{2}=27$，
开方得$x + 5=\pm3\sqrt{3}$，
解得$x_{1}=-5 + 3\sqrt{3}$，$x_{2}=-5 - 3\sqrt{3}$。
(3)
原方程$y^{2}+1=-2\sqrt{2}y$，移项得$y^{2}+2\sqrt{2}y=-1$，
配方：$y^{2}+2\sqrt{2}y + 2=-1 + 2$，即$(y+\sqrt{2})^{2}=1$，
开方得$y+\sqrt{2}=\pm1$，
解得$y_{1}=- \sqrt{2}+1$，$y_{2}=-\sqrt{2}-1$。
(4)
原方程$x^{2}+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}x$，移项得$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{1}{2}$，
配方：$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{25}{16}$，即$(x - \frac{5}{4})^{2}=\frac{17}{16}$，
开方得$x-\frac{5}{4}=\pm\frac{\sqrt{17}}{4}$，
解得$x_{1}=\frac{5 + \sqrt{17}}{4}$，$x_{2}=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$。
10. 有n个关于x的一元二次方程:$x^{2}+2x-8=0;x^{2}+2×2x-8×2^{2}=0;... ;x^{2}+2nx-8n^{2}=0.$小静同学解第1个方程$x^{2}+2x-8=0$的步骤如下:①$x^{2}+2x=8$;②$x^{2}+2x+1=8+1$;③$(x+1)^{2}=9$;④$x+1=\pm 3$;⑤$x=1\pm 3$;⑥$x_{1}=4,x_{2}=-2.$
(1) 小静同学的解法是从步骤开始出现错误的(填序号);
(2) 用配方法解第n个方程$x^{2}+2nx-8n^{2}=0$(用含n的式子表示方程的根).
(1) 小静同学的解法是从步骤开始出现错误的(填序号);
(2) 用配方法解第n个方程$x^{2}+2nx-8n^{2}=0$(用含n的式子表示方程的根).
答案
(1) ⑤
(2) $x^{2}+2nx-8n^{2}=0$
移项，得$x^{2}+2nx=8n^{2}$
配方，得$x^{2}+2nx+n^{2}=8n^{2}+n^{2}$
即$(x+n)^{2}=9n^{2}$
开平方，得$x+n=\pm 3n$
解得$x=-n\pm 3n$
$\therefore x_{1}=2n$，$x_{2}=-4n$
(2) $x^{2}+2nx-8n^{2}=0$
移项，得$x^{2}+2nx=8n^{2}$
配方，得$x^{2}+2nx+n^{2}=8n^{2}+n^{2}$
即$(x+n)^{2}=9n^{2}$
开平方，得$x+n=\pm 3n$
解得$x=-n\pm 3n$
$\therefore x_{1}=2n$，$x_{2}=-4n$
11. (易错题)(2023·巴中)先化简,再求值:$(\frac {1}{x+1}+x-1)÷\frac {x^{2}}{x^{2}+2x+1}$,其中x的值是方程$x^{2}-2x-3=0$的根.
答案
4
解析
化简过程：
$\begin{aligned}&\left(\frac{1}{x+1}+x-1\right)÷\frac{x^2}{x^2+2x+1}\\=&\left[\frac{1}{x+1}+\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}\right]×\frac{(x+1)^2}{x^2}\\=&\frac{1+x^2-1}{x+1}×\frac{(x+1)^2}{x^2}\\=&\frac{x^2}{x+1}×\frac{(x+1)^2}{x^2}\\=&x+1\end{aligned}$
解方程$x^2 - 2x - 3 = 0$（配方法）：
移项得$x^2 - 2x = 3$，
配方得$x^2 - 2x + 1 = 3 + 1$，即$(x - 1)^2 = 4$，
开平方得$x - 1 = \pm2$，
解得$x_1 = 3$，$x_2 = -1$。
求值：
当$x = -1$时，原代数式分母$x + 1 = 0$，无意义，舍去；
当$x = 3$时，代入化简结果$x + 1$，得$3 + 1 = 4$。
$\begin{aligned}&\left(\frac{1}{x+1}+x-1\right)÷\frac{x^2}{x^2+2x+1}\\=&\left[\frac{1}{x+1}+\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}\right]×\frac{(x+1)^2}{x^2}\\=&\frac{1+x^2-1}{x+1}×\frac{(x+1)^2}{x^2}\\=&\frac{x^2}{x+1}×\frac{(x+1)^2}{x^2}\\=&x+1\end{aligned}$
解方程$x^2 - 2x - 3 = 0$（配方法）：
移项得$x^2 - 2x = 3$，
配方得$x^2 - 2x + 1 = 3 + 1$，即$(x - 1)^2 = 4$，
开平方得$x - 1 = \pm2$，
解得$x_1 = 3$，$x_2 = -1$。
求值：
当$x = -1$时，原代数式分母$x + 1 = 0$，无意义，舍去；
当$x = 3$时，代入化简结果$x + 1$，得$3 + 1 = 4$。
