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1. 下列说法中,正确的是 ()
A.相等的弦所对的弧相等
B.在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等
C.在同圆或等圆中,较长的弧所对的弦较长
D.相等的圆心角所对的弧相等
A.相等的弦所对的弧相等
B.在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等
C.在同圆或等圆中,较长的弧所对的弦较长
D.相等的圆心角所对的弧相等
答案
B
解析
A选项缺少在同圆或等圆中这个前提条件，
所以相等的弦所对的弧不一定相等，A错误。
B选项在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，这是圆的基本性质，B正确。
C选项在同圆或等圆中，较长的弧所对的弦不一定较长，因为弧有优弧和劣弧之分，C错误。
D选项缺少在同圆或等圆中这个前提条件，所以相等的圆心角所对的弧不一定相等，D错误。
所以相等的弦所对的弧不一定相等，A错误。
B选项在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，这是圆的基本性质，B正确。
C选项在同圆或等圆中，较长的弧所对的弦不一定较长，因为弧有优弧和劣弧之分，C错误。
D选项缺少在同圆或等圆中这个前提条件，所以相等的圆心角所对的弧不一定相等，D错误。
2. 在$\odot O$中,弦AB的长等于圆的半径,则该弦所对的弧的度数为 ()
A.$30^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.以上都不对
A.$30^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.以上都不对
答案
D
解析
连接OA、OB，OA=OB=AB，△OAB是等边三角形，∠AOB=60°。弦AB所对的弧有优弧和劣弧，劣弧AB度数为60°，优弧AB度数为360°-60°=300°，选项中无300°，且题目未明确优弧或劣弧，故以上都不对。
3. (2024·苏州工业园区期中)如图,AB是$\odot O$的直径,D、C是$\overset{\frown}{EB}$的三等分点.如果$∠BOC=35^{\circ}$,那么$∠AOE$的度数为.
答案
75$^{\circ}$
解析
1. 已知 $D$、$C$ 是 $\overset{\frown}{EB}$ 的三等分点，所以 $\angle BOC = \angle COD = \angle DOE = 35°$。
2. 因此，$\angle BOE = \angle BOC + \angle COD + \angle DOE = 3 × 35° = 105°$。
3. 由于 $AB$ 是直径，所以 $\angle AOE = 180° - \angle BOE = 180° - 105° = 75°$。
2. 因此，$\angle BOE = \angle BOC + \angle COD + \angle DOE = 3 × 35° = 105°$。
3. 由于 $AB$ 是直径，所以 $\angle AOE = 180° - \angle BOE = 180° - 105° = 75°$。
4. 如图,在$\odot O$中,AB、CD为弦,且$AB=CD$,则ACBD(填“＞”“＜”或“=”).
答案
=
解析
连接OA、OB、OC、OD。因为AB=CD，所以∠AOB=∠COD（在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等）。则∠AOB-∠COB=∠COD-∠COB，即∠AOC=∠BOD。又因为OA=OC=OB=OD（同圆半径相等），所以△AOC≌△BOD（SAS），故AC=BD。
5. 已知$\odot O$的一条弦AB把圆的周长分成$1:4$的两部分,则弦AB所对的圆心角的度数为.
答案
$72°$
解析
设弦$AB$将圆的周长分成的两部分分别为$C_1$和$C_2$，且$C_1:C_2 = 1:4$。
由于圆的周长被弦$AB$分成$1:4$的两部分，所以整个圆周被分成了$1+4=5$等份。
弦$AB$所对的圆周（优弧与劣弧）的份数分别为$1$等份和$4$等份。
由于一个完整的圆周长对应的圆心角为$360°$，所以弦$AB$所对的劣弧的圆心角为$\frac{1}{5} × 360° = 72°$。
而弦所对的圆心角指的是劣弧所对的圆心角，所以弦$AB$所对的圆心角的度数为$72°$。
由于圆的周长被弦$AB$分成$1:4$的两部分，所以整个圆周被分成了$1+4=5$等份。
弦$AB$所对的圆周（优弧与劣弧）的份数分别为$1$等份和$4$等份。
由于一个完整的圆周长对应的圆心角为$360°$，所以弦$AB$所对的劣弧的圆心角为$\frac{1}{5} × 360° = 72°$。
而弦所对的圆心角指的是劣弧所对的圆心角，所以弦$AB$所对的圆心角的度数为$72°$。
6. 如图,正方形ABCD的四个顶点都在$\odot O$上,M为$\overset{\frown}{AD}$的中点,连接BM、CM.求证:$BM=CM$.
答案
证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DC}$（等弦所对的劣弧相等）。
∵M为$\overset{\frown}{AD}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$。
∴$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DC}+\overset{\frown}{DM}$，即$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$。
∴BM=CM（等弧所对的弦相等）。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DC}$（等弦所对的劣弧相等）。
∵M为$\overset{\frown}{AD}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$。
∴$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DC}+\overset{\frown}{DM}$，即$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$。
∴BM=CM（等弧所对的弦相等）。
7. 如图,在$\odot O$中,C是$\overset{\frown}{AB}$的中点,$∠A=50^{\circ}$,则$∠BOC$的度数为 ()
A.$40^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
A.$40^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
答案
A
解析
连接OA，OB。
∵OA=OB，∠A=50°，
∴∠B=∠A=50°，∠AOB=180°-50°-50°=80°。
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=40°。
∵OA=OB，∠A=50°，
∴∠B=∠A=50°，∠AOB=180°-50°-50°=80°。
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=40°。
8. 如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}$的度数是$\overset{\frown}{CD}$度数的2倍,则AB与2CD之间的数量关系为 ()
A.$AB＞2CD$
B.$AB=2CD$
C.$AB＜2CD$
D.$AB\leqslant 2CD$
A.$AB＞2CD$
B.$AB=2CD$
C.$AB＜2CD$
D.$AB\leqslant 2CD$
答案
C
解析
设弧CD的度数为n，则弧AB的度数为2n，故圆心角∠COD=n，∠AOB=2n。在⊙O上取弧AB的中点E，连接AE、BE，由等弧对等弦得AE=BE。因为弧AE=弧BE=n（弧AB=2n，E为中点），且弧CD=n，所以弧AE=弧CD，故AE=CD（等弧对等弦），同理BE=CD。在△AEB中，AE+BE＞AB（三角形两边之和大于第三边），即CD+CD＞AB，所以2CD＞AB，即AB＜2CD。
