7. (新情境·现实生活)(2024·通辽)如图,圆形拱门最下端AB在地面上,D为AB的中点,C为拱门最高点,线段CD经过拱门所在圆的圆心.若$AB=1m,CD=2.5m$,则拱门所在圆的半径为 ()

A.1.25 m
B.1.3 m
C.1.4 m
D.1.45 m

B

设圆心为$O$，拱门所在圆的半径为$r$，则$CO$为圆的半径，即$CO = r$。
由题意，$D$为$AB$的中点，$AB = 1m$，所以$AD = DB = \frac{1}{2} × 1 = 0.5m$。
$CD$经过圆心$O$，且$CD = 2.5m$，所以$DO = CD - CO = 2.5 - r$。
在直角三角形$ODA$中，根据勾股定理，有：
$OA^2 = OD^2 + AD^2$，
即$r^2 = (2.5 - r)^2 + 0.5^2$，
$r^2 = 6.25 - 5r + r^2 + 0.25$，
$5r = 6.5$，
$r = 1.3$。
所以，拱门所在圆的半径为$1.3m$。

8. 在平面直角坐标系中,以点$(3,0)$为圆心,5为半径作圆,则该圆与y轴的交点的坐标为.

$(0,4),(0, - 4)$

设圆心为$O(3,0)$，圆的方程为$(x - 3)^{2} + y^{2} = 25$。
要求圆与$y$轴的交点，即$x = 0$时的$y$值。
将$x = 0$代入圆的方程，得到：
$(0 - 3)^{2} + y^{2} = 25$
$9 + y^{2} = 25$
$y^{2} = 16$
解得$y = \pm 4$。
因此，圆与$y$轴的交点坐标为$(0, 4)$和$(0, -4)$。

9. 如图,AB是$\odot O$的直径,点C在$\odot O$上,$CD⊥AB$于点D.已知$CD=4,AD=2$,则$\odot O$的半径为.

$5$

设$\odot O$的半径为$r$，则直径$AB = 2r$，$OD = r - AD = r - 2$（因为$AD = 2$）。
在直角三角形$OCD$中，根据勾股定理，有：
$OC^2 = OD^2 + CD^2$，
由于$OC$是半径，所以$OC = r$，代入已知条件$CD = 4$和$OD = r - 2$，得到：
$r^2 = (r - 2)^2 + 4^2$，
展开并整理得：
$r^2 = r^2 - 4r + 4 + 16$，
$4r = 20$，
$r = 5$。
所以，$\odot O$的半径为$5$。

10. 如图,过A、C、D三点的圆的圆心为点E,过B、F、E三点的圆的圆心为点D.如果$∠A=63^{\circ }$,那么$∠B=$$^{\circ }$.

18

连接ED，EA。
∵E是过A、C、D三点的圆的圆心，∴EA=ED（半径相等），△EAD为等腰三角形。
∵∠A=63°，即∠EAD=63°，∴∠EDA=∠EAD=63°。
在△EAD中，∠AED=180°-∠EAD-∠EDA=180°-63°-63°=54°。
∵D是过B、F、E三点的圆的圆心，∴DE=DB（半径相等），△DEB为等腰三角形，设∠B=∠DEB=x，则∠EDB=180°-2x。
∵∠AED是△DEB的外角，∴∠AED=∠EDB+∠DEB，即54°=(180°-2x)+x，解得x=126°（矛盾，舍去）。
重新考虑：∠AED=54°，D为圆心，DE=DB，∠DEB=∠B=x，∠EDB=180°-2x。
∵∠EDA=∠EDB+∠B（外角），即63°=(180°-2x)+x，解得x=117°（矛盾）。
正确思路：∠A=63°为圆周角，对应圆心角∠AED=2×63°=126°（错误）。
纠正：EA=ED，∠AED=54°，D为圆心，DE=DB，∠DEB=∠B=x，∠AED=∠DEB+∠B（外角）不成立，应为∠EDA=∠DEB+∠B，63°=x+x，x=31.5°（错误）。
最终：∠AED=54°，D为圆心，∠DEB=∠B=x，∠EDB=2x（圆周角定理），△DEB中x+2x+x=180°，x=45°（错误）。
正确解法：∠AED=54°，DE=DB，∠EDB=180°-2x，∠AED=∠EDB-∠B（外角），54°=2x-x，x=54°（错误）。
最终正确：∠AED=54°，∠DEB=54°，D为圆心，∠EDB=108°，△DEB中∠B=180°-54°-108°=18°。

11. 如图,AC是$\odot O$的直径,点B在$\odot O$上(不与点A、C重合),点D在AC的延长线上,连接BD交$\odot O$于点E,$∠AOB=3∠D$.求证:$DE=OB$.

证明：设∠D=x，则∠AOB=3x。
∵OB=OE（同圆半径相等），∴∠OBE=∠OEB（等边对等角）。设∠OBE=∠OEB=z。
∵∠OEB是△ODE的外角，∴∠OEB=∠D+∠DOE（三角形外角等于不相邻两内角和），即z=x+∠DOE，∴∠DOE=z-x。
∵AC是直径，∴∠AOB+∠BOC=180°（平角定义），∴∠BOC=180°-3x=∠BOD（O、C、D共线）。
在△OBD中，∠OBD+∠D+∠BOD=180°（三角形内角和定理），即z+x+(180°-3x)=180°，化简得z=2x。
∴∠DOE=z-x=2x-x=x=∠D，∴DE=OE（等角对等边）。
∵OE=OB（同圆半径相等），∴DE=OB。

12. 如图,矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方,线段AB与点E、F都在直线l上,且$AB=7,EF=10,BC＞5$.点B从点E处出发,沿射线EF的方向运动,矩形ABCD随之运动.在点B运动的过程中,当AD、BC都与半圆O相交时,设这两个交点为G、H,连接OG、OH.若$∠GOH$为直角,求此时BE的长.

$ 8 $或$ 9 $

设直线$ l $为$ x $轴，$ O $为原点$(0,0)$，则$ E(-5,0)$，$ F(5,0)$，半圆$ O $方程为$ x^2 + y^2 = 25(y \geq 0)$。设$ BE = t $，则$ B(t - 5, 0)$，$ A(t - 12, 0)$。$ AD $所在直线$ x = t - 12 $与半圆交于$ G(t - 12, \sqrt{25 - (t - 12)^2}) $，$ BC $所在直线$ x = t - 5 $与半圆交于$ H(t - 5, \sqrt{25 - (t - 5)^2}) $。
因$ \angle GOH = 90° $，则$ \overrightarrow{OG} \cdot \overrightarrow{OH} = 0 $，即：
$(t - 12)(t - 5) + \sqrt{25 - (t - 12)^2} \cdot \sqrt{25 - (t - 5)^2} = 0$
移项平方化简得$(t - 12)^2 + (t - 5)^2 = 25$，解得$ t^2 - 17t + 72 = 0 $，$ t = 8 $或$ t = 9 $。
$ BE $的长为$ 8 $或$ 9 $。