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1. 计算。
（1）$1+3+5+7+\cdots +99=(
（2）$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}=1-(
（1）$1+3+5+7+\cdots +99=(
50
)^{2}=(2500
)$（2）$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}=1-(
$\frac{1}{128}$
)=($\frac{127}{128}$
)$答案
解析：
(1) 题目考查了等差数列的求和公式，特别是当等差数列的公差为2，首项为1，末项为99时的特殊情况。由于这是一个连续的奇数序列，其和可以表示为某个整数的平方。需要找到这个整数。
等差数列的项数可以通过公式 $\text{项数} = \frac{{\text{末项} - \text{首项}}}{\text{公差}} + 1$ 计算得到，即 $\frac{{99 - 1}}{2} + 1 = 50$。
由于这是连续的奇数序列，其和 $S_n = \left(\frac{\text{首项} + \text{末项}}{2}\right)^2 × \text{项数} ÷ \text{公差}$ 的特殊形式可以简化为 $S_n = \left(\frac{1 + 99}{2}\right)^2 = 50^2$。
(2) 题目考查了等比数列的求和，特别是公比为$\frac{1}{2}$的等比数列。
等比数列的和可以通过公式 $S = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$ 计算，其中 $a_1$ 是首项，$r$ 是公比，$n$ 是项数。但在这个特定问题中，我们可以利用等比数列的性质，将其表示为 $1 - \frac{1}{2^n}$ 的形式，其中 $n$ 是使得最后一项为 $\frac{1}{2^n}$ 的整数。
通过观察，我们可以看到最后一项是 $\frac{1}{128} = \frac{1}{2^7}$，所以 $n = 7$。因此，数列的和可以表示为 $1 - \frac{1}{2^7} = 1 - \frac{1}{128}$。
答案：
(1) $50$；$2500$
(2) $\frac{1}{128}$；$\frac{127}{128}$
(1) 题目考查了等差数列的求和公式，特别是当等差数列的公差为2，首项为1，末项为99时的特殊情况。由于这是一个连续的奇数序列，其和可以表示为某个整数的平方。需要找到这个整数。
等差数列的项数可以通过公式 $\text{项数} = \frac{{\text{末项} - \text{首项}}}{\text{公差}} + 1$ 计算得到，即 $\frac{{99 - 1}}{2} + 1 = 50$。
由于这是连续的奇数序列，其和 $S_n = \left(\frac{\text{首项} + \text{末项}}{2}\right)^2 × \text{项数} ÷ \text{公差}$ 的特殊形式可以简化为 $S_n = \left(\frac{1 + 99}{2}\right)^2 = 50^2$。
(2) 题目考查了等比数列的求和，特别是公比为$\frac{1}{2}$的等比数列。
等比数列的和可以通过公式 $S = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$ 计算，其中 $a_1$ 是首项，$r$ 是公比，$n$ 是项数。但在这个特定问题中，我们可以利用等比数列的性质，将其表示为 $1 - \frac{1}{2^n}$ 的形式，其中 $n$ 是使得最后一项为 $\frac{1}{2^n}$ 的整数。
通过观察，我们可以看到最后一项是 $\frac{1}{128} = \frac{1}{2^7}$，所以 $n = 7$。因此，数列的和可以表示为 $1 - \frac{1}{2^7} = 1 - \frac{1}{128}$。
答案：
(1) $50$；$2500$
(2) $\frac{1}{128}$；$\frac{127}{128}$
2. 每个小正方体的棱长是2cm。
小正方体个数：1 2 3 4 5
露在外面的正方形面的个数：6 (
几何体的表面积：$24\ \text{cm}^2$ (
如果用15个小正方体按上图所示方式拼成一个长方体，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米？
小正方体个数：1 2 3 4 5
露在外面的正方形面的个数：6 (
10
) (14
) (18
) (22
)几何体的表面积：$24\ \text{cm}^2$ (
40 cm²
) (56 cm²
) (72 cm²
) (88 cm²
)如果用15个小正方体按上图所示方式拼成一个长方体，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米？
248平方厘米
答案
解析：
题目考查的是数与形结合的问题，通过观察小正方体的个数与露在外面的正方形面的个数的关系，进而计算几何体的表面积。
对于露在外面的正方形面的个数：
1个小正方体时，露在外面的正方形面的个数为6。
2个小正方体时，露在外面的正方形面的个数为$6 + 4= 10$。
3个小正方体时，露在外面的正方形面的个数为$6+4×2 = 14$。
可以发现规律，每增加1个小正方体，露在外面的正方形面的个数增加4。
所以4个小正方体时，露在外面的正方形面的个数为$14 + 4=18$。
5个小正方体时，露在外面的正方形面的个数为$18+ 4=22$。
对于几何体的表面积：
已知每个小正方体的棱长是$2cm$，则每个面的面积为$2×2 = 4cm^{2}$。
1个小正方体时，表面积为$6×4=24cm^{2}$。
2个小正方体时，表面积为$10×4 = 40cm^{2}$。
3个小正方体时，表面积为$14×4=56cm^{2}$。
4个小正方体时，表面积为$18×4 = 72cm^{2}$。
5个小正方体时，表面积为$22×4=88cm^{2}$。
当用15个小正方体拼成一个长方体时：
此时长方体的长为$2×15 = 30cm$，宽为$2cm$，高为$2cm$。
根据长方体表面积公式$S=(ab + ah+bh)×2$（其中$a$为长，$b$为宽，$h$为高）可得：
$\;\;\;\;S$
$=(30×2+30×2 + 2×2)×2$
$=(60 + 60+4)×2$
$=124×2$
$=248cm^{2}$
答案：
露在外面的正方形面的个数：10，14，18，22；
几何体的表面积：$40cm^{2}$，$56cm^{2}$，$72cm^{2}$，$88cm^{2}$；
15个小正方体拼成的长方体表面积是$248cm^{2}$。
题目考查的是数与形结合的问题，通过观察小正方体的个数与露在外面的正方形面的个数的关系，进而计算几何体的表面积。
对于露在外面的正方形面的个数：
1个小正方体时，露在外面的正方形面的个数为6。
2个小正方体时，露在外面的正方形面的个数为$6 + 4= 10$。
3个小正方体时，露在外面的正方形面的个数为$6+4×2 = 14$。
可以发现规律，每增加1个小正方体，露在外面的正方形面的个数增加4。
所以4个小正方体时，露在外面的正方形面的个数为$14 + 4=18$。
5个小正方体时，露在外面的正方形面的个数为$18+ 4=22$。
对于几何体的表面积：
已知每个小正方体的棱长是$2cm$，则每个面的面积为$2×2 = 4cm^{2}$。
1个小正方体时，表面积为$6×4=24cm^{2}$。
2个小正方体时，表面积为$10×4 = 40cm^{2}$。
3个小正方体时，表面积为$14×4=56cm^{2}$。
4个小正方体时，表面积为$18×4 = 72cm^{2}$。
5个小正方体时，表面积为$22×4=88cm^{2}$。
当用15个小正方体拼成一个长方体时：
此时长方体的长为$2×15 = 30cm$，宽为$2cm$，高为$2cm$。
根据长方体表面积公式$S=(ab + ah+bh)×2$（其中$a$为长，$b$为宽，$h$为高）可得：
$\;\;\;\;S$
$=(30×2+30×2 + 2×2)×2$
$=(60 + 60+4)×2$
$=124×2$
$=248cm^{2}$
答案：
露在外面的正方形面的个数：10，14，18，22；
几何体的表面积：$40cm^{2}$，$56cm^{2}$，$72cm^{2}$，$88cm^{2}$；
15个小正方体拼成的长方体表面积是$248cm^{2}$。
小明家和小军家相距1200m。他们相约傍晚6时同时从家出发，相向而行。两人相遇后一起去公园散步。小明平均每分钟走60m，小军平均每分钟走40m。小明出发时，家中的小狗以每分钟100m的速度与小明同时出发，碰到小军后跑向小明，碰到小明后又跑向小军……如此下去，当小明与小军相遇时，小狗跑了多少米？
答案
解析：
本题主要考查相遇问题。
首先，我们需要确定小明和小军相遇的时间。
设小明和小军相遇时所用的时间为$t$分钟。
根据路程=速度×时间。
已知小明平均每分钟走60m，小军平均每分钟走40m，两家相距1200m。
因此，当他们相遇时，他们两人走过的路程之和应等于两家的距离，即：
$60t + 40t = 1200$
$100t = 1200$
$t = 12$
所以小明和小军相遇时所用的时间为12分钟。
接下来，我们计算小狗在这段时间内跑过的路程。
已知小狗以每分钟100m的速度与小明同时出发，并且在小明和小军相遇之前，它一直在不停地跑来跑去。
因此，小狗跑过的路程就是它的速度乘以时间，即：
$100 × 12 = 1200$（m）
所以，当小明与小军相遇时，小狗跑了1200m。
答案：
当小明与小军相遇时，小狗跑了1200m。
本题主要考查相遇问题。
首先，我们需要确定小明和小军相遇的时间。
设小明和小军相遇时所用的时间为$t$分钟。
根据路程=速度×时间。
已知小明平均每分钟走60m，小军平均每分钟走40m，两家相距1200m。
因此，当他们相遇时，他们两人走过的路程之和应等于两家的距离，即：
$60t + 40t = 1200$
$100t = 1200$
$t = 12$
所以小明和小军相遇时所用的时间为12分钟。
接下来，我们计算小狗在这段时间内跑过的路程。
已知小狗以每分钟100m的速度与小明同时出发，并且在小明和小军相遇之前，它一直在不停地跑来跑去。
因此，小狗跑过的路程就是它的速度乘以时间，即：
$100 × 12 = 1200$（m）
所以，当小明与小军相遇时，小狗跑了1200m。
答案：
当小明与小军相遇时，小狗跑了1200m。
