1. 先观察下面各算式的特点，再计算它们的结果。
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=$

解析：
本题可通过图形分割或者找规律的方法来计算。
方法一：图形分割法（以分数表示部分与整体的关系来理解）
对于$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$，可以想象一个整体“$1$”，先取走一半即$\frac{1}{2}$，再从剩下的一半中取走一半就是$\frac{1}{4}$，那么总共取走的就是$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$，结果为$\frac{3}{4}$。
对于$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}$，在前面取走$\frac{3}{4}$的基础上，再从剩下的$\frac{1}{4}$中取走一半即$\frac{1}{8}$，总共取走的就是$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}$，结果为$\frac{7}{8}$。
对于$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}$，在前面取走$\frac{7}{8}$的基础上，再从剩下的$\frac{1}{8}$中取走一半即$\frac{1}{16}$，总共取走的就是$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}$，结果为$\frac{15}{16}$。
方法二：找规律法
观察这几个算式，可以发现后一个分数的分母是前一个分数分母的$2$倍，且分子都是$1$。
设$S = \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^n}$，给等式两边同时乘以$2$得$2S = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{n - 1}}$，用$2S - S$可得：
$2S - S=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{n - 1}})-(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^n})$
$S = 1-\frac{1}{2^n}$
当$n = 2$时，$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1-\frac{1}{2^2}=1 - \frac{1}{4}=\frac{3}{4}$；
当$n = 3$时，$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=1-\frac{1}{2^3}=1 - \frac{1}{8}=\frac{7}{8}$；
当$n = 4$时，$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=1-\frac{1}{2^4}=1 - \frac{1}{16}=\frac{15}{16}$。
答案：
$\frac{3}{4}$；$\frac{7}{8}$；$\frac{15}{16}$

2. 下面的每一个大正方形都表示1，把表示第2,3道算式的图画完整，再仔细观察对应的图形与算式，你发现了什么？

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=$

图略（在第二个图中，将正方形中未涂色的部分平均分成2份，涂其中的1份；在第三个图中，将第二个图未涂色的部分再平均分成2份，涂其中的1份）。
观察对应的图形与算式，发现：$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$ ，即算式中各分数的分母是2的幂次方，且后一个分数的分母是前一个分数分母的2倍，分子都是1，它们的和等于1减去最后一个分数所得的差。

3. 根据上面你发现的规律，你认为下面算式的得数是多少？为什么？
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots=$
理由：

1. 规律：从$\frac{1}{2}$开始，依次加上前一个数的一半，这些数的和越来越接近1。
2. 得数：1
3. 理由：随着加数的不断增加，和与1的差距越来越小，最终无限接近1，所以这个算式的得数是1。