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1. 不等式组$\left\{\begin{array}{l} -3x≥2,\\ x-3＜1\end{array} \right. $的解集是____.
答案
【解析】：
对于不等式①：$-3x \geq 2$，
移项并除以-3（注意，当除以负数时，不等号方向要反转）得到：
$x \leq -\frac{2}{3}$，
对于不等式②：$x - 3 ＜ 1$，
移项得到：
$x ＜ 4$，
结合上述两个不等式的解，取交集，即同时满足两个不等式的x的范围，得到：
$x \leq -\frac{2}{3}$ ，
因为当 $x \leq -\frac{2}{3}$ 时，它自然满足 $x ＜ 4$ ，
所以不等式组的解集为：$x \leq -\frac{2}{3}$。
【答案】：$x \leq -\frac{2}{3}$。
对于不等式①：$-3x \geq 2$，
移项并除以-3（注意，当除以负数时，不等号方向要反转）得到：
$x \leq -\frac{2}{3}$，
对于不等式②：$x - 3 ＜ 1$，
移项得到：
$x ＜ 4$，
结合上述两个不等式的解，取交集，即同时满足两个不等式的x的范围，得到：
$x \leq -\frac{2}{3}$ ，
因为当 $x \leq -\frac{2}{3}$ 时，它自然满足 $x ＜ 4$ ，
所以不等式组的解集为：$x \leq -\frac{2}{3}$。
【答案】：$x \leq -\frac{2}{3}$。
2. 能使代数式$\frac {1}{2}×(3x-1)的值大于(5x-2)+\frac {1}{4}的值的最大整数x$是____.
答案
【解析】：
根据题意我们需要解不等式：
$\frac{1}{2} × (3x - 1) ＞ (5x - 2) + \frac{1}{4}$，
首先，将不等式两边的项进行合并与化简。
左边：
$\frac{1}{2} × (3x - 1) = \frac{3x}{2} - \frac{1}{2}$，
右边：
$(5x - 2) + \frac{1}{4} = 5x - 2 + \frac{1}{4} = 5x - \frac{8}{4} + \frac{1}{4} = 5x - \frac{7}{4}$，
将两边化简后的表达式代入原不等式，得到：
$\frac{3x}{2} - \frac{1}{2} ＞ 5x - \frac{7}{4}$，
为了消去分母，两边同时乘以4（即两个分母的最小公倍数）：
$4 × \left( \frac{3x}{2} - \frac{1}{2} \right) ＞ 4 × \left( 5x - \frac{7}{4} \right)$，
$6x - 2 ＞ 20x - 7$，
接下来，移项并合并同类项：
$6x - 20x ＞ -7 + 2$，
$-14x ＞ -5$，
最后，两边同时除以-14，并注意不等号方向的变化：
$x ＜ \frac{5}{14}$，
由于题目要求的是最大整数$x$，而$\frac{5}{14}$约等于0.357，小于它的最大整数是0。
【答案】：0。
根据题意我们需要解不等式：
$\frac{1}{2} × (3x - 1) ＞ (5x - 2) + \frac{1}{4}$，
首先，将不等式两边的项进行合并与化简。
左边：
$\frac{1}{2} × (3x - 1) = \frac{3x}{2} - \frac{1}{2}$，
右边：
$(5x - 2) + \frac{1}{4} = 5x - 2 + \frac{1}{4} = 5x - \frac{8}{4} + \frac{1}{4} = 5x - \frac{7}{4}$，
将两边化简后的表达式代入原不等式，得到：
$\frac{3x}{2} - \frac{1}{2} ＞ 5x - \frac{7}{4}$，
为了消去分母，两边同时乘以4（即两个分母的最小公倍数）：
$4 × \left( \frac{3x}{2} - \frac{1}{2} \right) ＞ 4 × \left( 5x - \frac{7}{4} \right)$，
$6x - 2 ＞ 20x - 7$，
接下来，移项并合并同类项：
$6x - 20x ＞ -7 + 2$，
$-14x ＞ -5$，
最后，两边同时除以-14，并注意不等号方向的变化：
$x ＜ \frac{5}{14}$，
由于题目要求的是最大整数$x$，而$\frac{5}{14}$约等于0.357，小于它的最大整数是0。
【答案】：0。
3. 若关于$x的不等式组\left\{\begin{array}{l} \frac {x+4}{3}＞\frac {x}{2}+1,\\ x-a＜0\end{array} \right. 的解集为x＜2$,则$a$的取值范围是____.
答案
【解析】：
首先解第一个不等式 $\frac{x+4}{3} \gt \frac{x}{2} + 1$，
两边同时乘以6（最小公倍数）得：
$2(x + 4) \gt 3x + 6$，
展开得：
$2x + 8 \gt 3x + 6$，
移项并合并同类项得：
$-x \gt -2$，
从而得到：
$x \lt 2$，
接下来解第二个不等式 $x - a \lt 0$，
移项得：
$x \lt a$，
由于题目给出不等式组的解集为 $x \lt 2$，这意味着两个不等式的交集也是 $x \lt 2$。
由于第一个不等式已经给出了 $x \lt 2$，那么第二个不等式 $x \lt a$ 必须满足 $a \geq 2$，才能保证交集仍然是 $x \lt 2$。
【答案】：
$a \geq 2$
首先解第一个不等式 $\frac{x+4}{3} \gt \frac{x}{2} + 1$，
两边同时乘以6（最小公倍数）得：
$2(x + 4) \gt 3x + 6$，
展开得：
$2x + 8 \gt 3x + 6$，
移项并合并同类项得：
$-x \gt -2$，
从而得到：
$x \lt 2$，
接下来解第二个不等式 $x - a \lt 0$，
移项得：
$x \lt a$，
由于题目给出不等式组的解集为 $x \lt 2$，这意味着两个不等式的交集也是 $x \lt 2$。
由于第一个不等式已经给出了 $x \lt 2$，那么第二个不等式 $x \lt a$ 必须满足 $a \geq 2$，才能保证交集仍然是 $x \lt 2$。
【答案】：
$a \geq 2$
4. 若不等式组$\left\{\begin{array}{l} 2x-a＜1,\\ x-2b＞3\end{array} \right. 的解集为-1＜x＜1$,则$(a-3)(b+3)$的值等于____.
答案
【解析】：
首先，我们解不等式组
$\left\{\begin{array}{l}2x - a ＜ 1, \\x - 2b ＞ 3,\end{array}\right.$
得到
$\left\{\begin{array}{l}x ＜ \frac{a + 1}{2}, \\x ＞ 3 + 2b.\end{array}\right.$
由于题目给出不等式组的解集为 $-1 ＜ x ＜ 1$，我们可以将这两个解集对应起来，得到
$\left\{\begin{array}{l}\frac{a + 1}{2} = 1, \\3 + 2b = -1.\end{array}\right.$
解这个方程组，我们得到 $a = 1$ 和 $b = -2$。
最后，我们求 $(a - 3)(b + 3)$ 的值，即
$(a - 3)(b + 3) = (1 - 3)(-2 + 3) = -2 × 1 = -2$。
【答案】：$-2$
首先，我们解不等式组
$\left\{\begin{array}{l}2x - a ＜ 1, \\x - 2b ＞ 3,\end{array}\right.$
得到
$\left\{\begin{array}{l}x ＜ \frac{a + 1}{2}, \\x ＞ 3 + 2b.\end{array}\right.$
由于题目给出不等式组的解集为 $-1 ＜ x ＜ 1$，我们可以将这两个解集对应起来，得到
$\left\{\begin{array}{l}\frac{a + 1}{2} = 1, \\3 + 2b = -1.\end{array}\right.$
解这个方程组，我们得到 $a = 1$ 和 $b = -2$。
最后，我们求 $(a - 3)(b + 3)$ 的值，即
$(a - 3)(b + 3) = (1 - 3)(-2 + 3) = -2 × 1 = -2$。
【答案】：$-2$
5. 若不等式$3(x+1)≥5x-2$,则化简$|2x-5|= $____.
答案
【解析】：
首先解不等式 $3(x+1) \geq 5x-2$，
$3x + 3 \geq 5x - 2$，
$3 - 5x + 2 +3x \geq 0$，
$-2x + 5 \geq 0$，
$2x \leq 5$，
$x \leq \frac{5}{2}$，
由此可知 $2x - 5 \leq 0$，
根据绝对值的定义，当 $2x - 5 \leq 0$ 时，有 $|2x - 5| = 5 - 2x$。
【答案】：$5 - 2x$。
首先解不等式 $3(x+1) \geq 5x-2$，
$3x + 3 \geq 5x - 2$，
$3 - 5x + 2 +3x \geq 0$，
$-2x + 5 \geq 0$，
$2x \leq 5$，
$x \leq \frac{5}{2}$，
由此可知 $2x - 5 \leq 0$，
根据绝对值的定义，当 $2x - 5 \leq 0$ 时，有 $|2x - 5| = 5 - 2x$。
【答案】：$5 - 2x$。
1. 不等式$9-\frac {11}{4}x＞x+\frac {2}{3}$的正整数解的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
【解析】：
首先，我们需要解不等式 $9 - \frac{11}{4}x ＞ x + \frac{2}{3}$。
将所有项移到不等式的一侧，得到：
$9 - \frac{11}{4}x - x ＞ \frac{2}{3}$
合并同类项，得到：
$9 - \frac{15}{4}x ＞ \frac{2}{3}$
为了消去分数，我们可以将整个不等式两边同时乘以 $12$（即 $4$ 和 $3$ 的最小公倍数）：
$108 - 45x ＞ 8$
移项，得到：
$-45x ＞ -100$
除以 $-45$，注意当除以负数时，不等号的方向会反转：
$x ＜ \frac{20}{9}$
由于题目要求正整数解，我们只需要考虑小于 $\frac{20}{9}$ 的正整数。
这些正整数是 $1, 2$，共有 $2$ 个。
【答案】：B
首先，我们需要解不等式 $9 - \frac{11}{4}x ＞ x + \frac{2}{3}$。
将所有项移到不等式的一侧，得到：
$9 - \frac{11}{4}x - x ＞ \frac{2}{3}$
合并同类项，得到：
$9 - \frac{15}{4}x ＞ \frac{2}{3}$
为了消去分数，我们可以将整个不等式两边同时乘以 $12$（即 $4$ 和 $3$ 的最小公倍数）：
$108 - 45x ＞ 8$
移项，得到：
$-45x ＞ -100$
除以 $-45$，注意当除以负数时，不等号的方向会反转：
$x ＜ \frac{20}{9}$
由于题目要求正整数解，我们只需要考虑小于 $\frac{20}{9}$ 的正整数。
这些正整数是 $1, 2$，共有 $2$ 个。
【答案】：B
2. 若$a,b,c$是三角形三边的长,则代数式$a^{2}+b^{2}-c^{2}-2ab$的值( )
A.大于0
B.小于0
C.大于或等于0
D.小于或等于0
A.大于0
B.小于0
C.大于或等于0
D.小于或等于0
答案
【解析】：首先对代数式进行变形，$a^{2} + b^{2} - c^{2} - 2ab = (a^{2} - 2ab + b^{2}) - c^{2} = (a - b)^{2} - c^{2}$。根据平方差公式，进一步分解可得$(a - b + c)(a - b - c)$。
因为$a$、$b$、$c$是三角形三边的长，根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。所以$a + c ＞ b$，即$a - b + c ＞ 0$；同时$b + c ＞ a$，移项可得$a - b - c = a - (b + c) ＜ 0$。
两个因式中，一个大于$0$，一个小于$0$，它们的乘积小于$0$，所以代数式的值小于$0$。
【答案】：B
因为$a$、$b$、$c$是三角形三边的长，根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。所以$a + c ＞ b$，即$a - b + c ＞ 0$；同时$b + c ＞ a$，移项可得$a - b - c = a - (b + c) ＜ 0$。
两个因式中，一个大于$0$，一个小于$0$，它们的乘积小于$0$，所以代数式的值小于$0$。
【答案】：B
3. 若方程$7x+2m= 5+x的解在-1和1$之间,则$m$的取值范围是( )
A.$\frac {1}{2}＜m＜3$
B.$-\frac {1}{2}＜m＜3$
C.$-\frac {1}{2}＜m＜\frac {11}{2}$
D.$-\frac {11}{2}＜m＜\frac {1}{2}$
A.$\frac {1}{2}＜m＜3$
B.$-\frac {1}{2}＜m＜3$
C.$-\frac {1}{2}＜m＜\frac {11}{2}$
D.$-\frac {11}{2}＜m＜\frac {1}{2}$
答案
【解析】：
首先解方程$7x + 2m = 5 + x$。
移项得：$6x = 5 - 2m$。
解得：$x = \frac{5 - 2m}{6}$。
根据题意，方程的解$x$在$-1$和$1$之间，即：
$-1 ＜ \frac{5 - 2m}{6} ＜ 1$。
解这个不等式组，首先解左侧不等式：
$-1 ＜ \frac{5 - 2m}{6}$，
$-6 ＜ 5 - 2m$，
$-11 ＜ -2m$，
$m ＜ \frac{11}{2}$。
然后解右侧不等式：
$\frac{5 - 2m}{6} ＜ 1$，
$5 - 2m ＜ 6$，
$-2m ＜ 1$，
$m ＞ -\frac{1}{2}$。
综合两个不等式，得到$m$的取值范围为：
$-\frac{1}{2} ＜ m ＜ \frac{11}{2}$。
【答案】：C.$-\frac{1}{2} ＜ m ＜ \frac{11}{2}$。
首先解方程$7x + 2m = 5 + x$。
移项得：$6x = 5 - 2m$。
解得：$x = \frac{5 - 2m}{6}$。
根据题意，方程的解$x$在$-1$和$1$之间，即：
$-1 ＜ \frac{5 - 2m}{6} ＜ 1$。
解这个不等式组，首先解左侧不等式：
$-1 ＜ \frac{5 - 2m}{6}$，
$-6 ＜ 5 - 2m$，
$-11 ＜ -2m$，
$m ＜ \frac{11}{2}$。
然后解右侧不等式：
$\frac{5 - 2m}{6} ＜ 1$，
$5 - 2m ＜ 6$，
$-2m ＜ 1$，
$m ＞ -\frac{1}{2}$。
综合两个不等式，得到$m$的取值范围为：
$-\frac{1}{2} ＜ m ＜ \frac{11}{2}$。
【答案】：C.$-\frac{1}{2} ＜ m ＜ \frac{11}{2}$。
4. 下列不等式中,与不等式$2x+3≤7$有相同解集的是( )
A.$1+\frac {x-2}{2}≥\frac {x}{3}$
B.$\frac {7x-2}{2}-\frac {x-2}{3}≥2(x+1)$
C.$3x-\frac {2(x-2)}{3}≤6$
D.$1-\frac {x-1}{3}≤\frac {1-x}{2}$
A.$1+\frac {x-2}{2}≥\frac {x}{3}$
B.$\frac {7x-2}{2}-\frac {x-2}{3}≥2(x+1)$
C.$3x-\frac {2(x-2)}{3}≤6$
D.$1-\frac {x-1}{3}≤\frac {1-x}{2}$
答案
【解析】：
首先解不等式$2x + 3 \leq 7$，得到：
$2x \leq 4$，
$x \leq 2$，
接下来，分别解四个选项中的不等式：
A. $1 + \frac{x - 2}{2} \geq \frac{x}{3}$，
两边同时乘以6（最小公倍数）得：
$6 + 3(x - 2) \geq 2x$，
$6 + 3x - 6 \geq 2x$，
$x \geq 0$，
此不等式的解集为$x \geq 0$，与$x \leq 2$不同，故A错误；
B. $\frac{7x - 2}{2} - \frac{x - 2}{3} \geq 2(x + 1)$，
两边同时乘以6（最小公倍数）得：
$3(7x - 2) - 2(x - 2) \geq 12(x + 1)$，
$21x - 6 - 2x + 4 \geq 12x + 12$，
$7x \geq 14$，
$x \geq 2$，
但此不等式在$x=2$时取等号，解集方向是大于等于，与$x \leq 2$的解集方向不同，但考虑到题目要求的是相同解集，而此选项在$x＞2$时无解，在$x＜2$时也不满足，仅在$x=2$时满足，但由于解集方向不同，故B错误；但为了严谨性，我们更侧重于解集表达式的完全一致，因此继续判断C选项；
C. $3x - \frac{2(x - 2)}{3} \leq 6$，
两边同时乘以3得：
$9x - 2(x - 2) \leq 18$，
$9x - 2x + 4 \leq 18$，
$7x \leq 14$，
$x \leq 2$，
此不等式的解集为$x \leq 2$，与$2x + 3 \leq 7$的解集相同，故C正确；
D. $1 - \frac{x - 1}{3} \leq \frac{1 - x}{2}$，
两边同时乘以6（最小公倍数）得：
$6 - 2(x - 1) \leq 3(1 - x)$，
$6 - 2x + 2 \leq 3 - 3x$，
$x \leq -5$，
此不等式的解集为$x \leq -5$，与$x \leq 2$不同，故D错误。
【答案】：C
首先解不等式$2x + 3 \leq 7$，得到：
$2x \leq 4$，
$x \leq 2$，
接下来，分别解四个选项中的不等式：
A. $1 + \frac{x - 2}{2} \geq \frac{x}{3}$，
两边同时乘以6（最小公倍数）得：
$6 + 3(x - 2) \geq 2x$，
$6 + 3x - 6 \geq 2x$，
$x \geq 0$，
此不等式的解集为$x \geq 0$，与$x \leq 2$不同，故A错误；
B. $\frac{7x - 2}{2} - \frac{x - 2}{3} \geq 2(x + 1)$，
两边同时乘以6（最小公倍数）得：
$3(7x - 2) - 2(x - 2) \geq 12(x + 1)$，
$21x - 6 - 2x + 4 \geq 12x + 12$，
$7x \geq 14$，
$x \geq 2$，
但此不等式在$x=2$时取等号，解集方向是大于等于，与$x \leq 2$的解集方向不同，但考虑到题目要求的是相同解集，而此选项在$x＞2$时无解，在$x＜2$时也不满足，仅在$x=2$时满足，但由于解集方向不同，故B错误；但为了严谨性，我们更侧重于解集表达式的完全一致，因此继续判断C选项；
C. $3x - \frac{2(x - 2)}{3} \leq 6$，
两边同时乘以3得：
$9x - 2(x - 2) \leq 18$，
$9x - 2x + 4 \leq 18$，
$7x \leq 14$，
$x \leq 2$，
此不等式的解集为$x \leq 2$，与$2x + 3 \leq 7$的解集相同，故C正确；
D. $1 - \frac{x - 1}{3} \leq \frac{1 - x}{2}$，
两边同时乘以6（最小公倍数）得：
$6 - 2(x - 1) \leq 3(1 - x)$，
$6 - 2x + 2 \leq 3 - 3x$，
$x \leq -5$，
此不等式的解集为$x \leq -5$，与$x \leq 2$不同，故D错误。
【答案】：C
5. 若方程组$\left\{\begin{array}{l} 3x+y= k+1,\\ x+3y= 3\end{array} \right. 的解x,y满足0＜x+y＜1$,则$k$的取值范围是( )
A.$-4＜k＜0$
B.$-1＜k＜0$
C.$0＜k＜8$
D.$k＞-4$
A.$-4＜k＜0$
B.$-1＜k＜0$
C.$0＜k＜8$
D.$k＞-4$
答案
【解析】：将方程组中的两个方程相加可得：$3x + y + x + 3y = k + 1 + 3$，化简得$4x + 4y = k + 4$，两边同时除以4，得到$x + y = \frac{k + 4}{4}$。
因为$0 ＜ x + y ＜ 1$，所以$0 ＜ \frac{k + 4}{4} ＜ 1$。
解不等式$0 ＜ \frac{k + 4}{4}$，两边同时乘以4得$0 ＜ k + 4$，即$k ＞ -4$；
解不等式$\frac{k + 4}{4} ＜ 1$，两边同时乘以4得$k + 4 ＜ 4$，即$k ＜ 0$。
综上，$k$的取值范围是$-4 ＜ k ＜ 0$。
【答案】：A
因为$0 ＜ x + y ＜ 1$，所以$0 ＜ \frac{k + 4}{4} ＜ 1$。
解不等式$0 ＜ \frac{k + 4}{4}$，两边同时乘以4得$0 ＜ k + 4$，即$k ＞ -4$；
解不等式$\frac{k + 4}{4} ＜ 1$，两边同时乘以4得$k + 4 ＜ 4$，即$k ＜ 0$。
综上，$k$的取值范围是$-4 ＜ k ＜ 0$。
【答案】：A
