5. 在一次数学活动课上,为了测量河宽AB,小聪采用了如下方法:如图,从点A处沿与
AB垂直的直线方向走45 m到达点C处,插一根标杆,然后沿同方向继续走15 m到
达点D处,再右转90°走到点E处,使点B、C、E恰好在一条直线上.量得DE=20 m,
这样就可以求出河宽AB.请说明理由,并计算出结果.

解：
∵AB⊥AD，DE⊥AD，
∴∠A=∠D=90°，
又∵∠ACB=∠DCE，
∴△ABC∽△DEC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DC}$，
已知AC=45m，DC=15m，DE=20m，
代入得：$\frac{AB}{20}=\frac{45}{15}$，
解得：AB=60m。
答：河宽AB为60m。

6. 如图,夜晚,小亮从点A出发,经过路灯C的正下方点D,沿直线走到点B停止,他的
影长y(m)随他与点A之间的距离x(m)的变化而变化.已知小亮的身高为1.6 m,路
灯C与地面的距离CD为4.8 m,AD=BD=60 m,求出y与x之间的函数表达式,并
写出自变量的取值范围.

解：分两种情况讨论：
1. 当$ 0 ≤ x ≤ 60 $时，
设小亮的位置为点$ E $，身高$ EF = 1.6 \, \mathrm{m} $，影长$ EG = y $，连接$ CF $并延长交地面于$ G $。
因为$ EF ⊥ AB $，$ CD ⊥ AB $，所以$ EF // CD $，则$ △ GEF ∼ △ GDC $。
由相似三角形的性质得：
$\frac{EF}{CD} = \frac{GE}{GD}$
代入$ EF = 1.6 $，$ CD = 4.8 $，$ GE = y $，$ GD = 60 - x + y $，得：
$\frac{1.6}{4.8} = \frac{y}{60 - x + y}$
化简得$ \frac{1}{3} = \frac{y}{60 - x + y} $，交叉相乘整理得：
$y = -\frac{1}{2}x + 30 \quad (0 ≤ x ≤ 60)$
2. 当$ 60 ＜ x ≤ 120 $时，
设小亮的位置为点$ E $，身高$ EF = 1.6 \, \mathrm{m} $，影长$ EH = y $，连接$ CF $并延长交地面于$ H $。
因为$ EF ⊥ AB $，$ CD ⊥ AB $，所以$ EF // CD $，则$ △ HEF ∼ △ HDC $。
由相似三角形的性质得：
$\frac{EF}{CD} = \frac{EH}{HD}$
代入$ EF = 1.6 $，$ CD = 4.8 $，$ EH = y $，$ HD = x - 60 + y $，得：
$\frac{1.6}{4.8} = \frac{y}{x - 60 + y}$
化简得$ \frac{1}{3} = \frac{y}{x - 60 + y} $，交叉相乘整理得：
$y = \frac{1}{2}x - 30 \quad (60 ＜ x ≤ 120)$
综上，$ y $与$ x $之间的函数表达式为：
$y=\begin{cases}-\dfrac{1}{2}x + 30 & (0 ≤ x ≤ 60) \\\dfrac{1}{2}x - 30 & (60 ＜ x ≤ 120)\end{cases}$

例1 已知:如图6-22,在$△ ABC$中,点D、E分别在边AB、AC上,且$∠ ADE=∠ C$.
求证:$AD· AB=AE· AC$.
证明 $\because ∠ ADE=∠ C,∠ A=∠ A$,
$\therefore △ ADE ∽ △ ACB$.
$\therefore \dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}$.
$\therefore AD· AB=AE· AC$.

证明：
∵ ∠ADE=∠C，∠A=∠A，
∴ △ADE ∽ △ACB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}$，
∴ AD·AB=AE·AC。