例2 如图6-23,有一块锐角三角形铁皮$ABC$,$BC=80\ \mathrm{cm}$,$AD=60\ \mathrm{cm}$.要把该铁皮加工成矩形零件$PSRQ$,使$PQ$与$PS$的比为$2:1$,且$SR$在边$BC$上,点$P$、$Q$分别在边$AB$、$AC$上.求这个矩形零件的边长.
解 $△ ABC$的高$AD$交$PQ$于点$E$.设$PS$为$x\ \mathrm{cm}$,则$PQ$为$2x\ \mathrm{cm}$.
$\because PQ // BC$,
$\therefore ∠ AEQ=∠ ADC$.
又$AD ⊥ DC$,
$\therefore ∠ ADC=90^{ \circ }$.
$\therefore ∠ AEQ=90^{ \circ }$.
$\therefore AE ⊥ PQ$.
$\because PQ // BC$,
$\therefore △ APQ ∽ △ ABC$.
$\therefore \dfrac{PQ}{BC}=\dfrac{AE}{AD}$,
即$\dfrac{2x}{80}=\dfrac{60-x}{60}$.
解得$x=24$,$PQ=2x=48$.
所以这个矩形零件的边长分别是$48\ \mathrm{cm}$和$24\ \mathrm{cm}$.
解 $△ ABC$的高$AD$交$PQ$于点$E$.设$PS$为$x\ \mathrm{cm}$,则$PQ$为$2x\ \mathrm{cm}$.
$\because PQ // BC$,
$\therefore ∠ AEQ=∠ ADC$.
又$AD ⊥ DC$,
$\therefore ∠ ADC=90^{ \circ }$.
$\therefore ∠ AEQ=90^{ \circ }$.
$\therefore AE ⊥ PQ$.
$\because PQ // BC$,
$\therefore △ APQ ∽ △ ABC$.
$\therefore \dfrac{PQ}{BC}=\dfrac{AE}{AD}$,
即$\dfrac{2x}{80}=\dfrac{60-x}{60}$.
解得$x=24$,$PQ=2x=48$.
所以这个矩形零件的边长分别是$48\ \mathrm{cm}$和$24\ \mathrm{cm}$.
答案
解：设$PS$为$x\ \mathrm{cm}$，则$PQ$为$2x\ \mathrm{cm}$，$△ ABC$的高$AD$交$PQ$于点$E$。
$\because PQ // BC$，$AD ⊥ BC$，
$\therefore AE ⊥ PQ$，$△ APQ ∽ △ ABC$。
$\therefore \dfrac{PQ}{BC}=\dfrac{AE}{AD}$，
其中$AE=AD-PS=60-x$，将$BC=80\ \mathrm{cm}$，$AD=60\ \mathrm{cm}$代入得：
$\dfrac{2x}{80}=\dfrac{60-x}{60}$，
解得$x=24$，则$PQ=2x=48$。
答：这个矩形零件的边长分别是$48\ \mathrm{cm}$和$24\ \mathrm{cm}$。
$\because PQ // BC$，$AD ⊥ BC$，
$\therefore AE ⊥ PQ$，$△ APQ ∽ △ ABC$。
$\therefore \dfrac{PQ}{BC}=\dfrac{AE}{AD}$，
其中$AE=AD-PS=60-x$，将$BC=80\ \mathrm{cm}$，$AD=60\ \mathrm{cm}$代入得：
$\dfrac{2x}{80}=\dfrac{60-x}{60}$，
解得$x=24$，则$PQ=2x=48$。
答：这个矩形零件的边长分别是$48\ \mathrm{cm}$和$24\ \mathrm{cm}$。
(1) 已知$4x-3y=0$,$x ≠ 0$,则$\dfrac{y}{x}=$.
答案
解：
∵$4x - 3y = 0$，
∴$3y = 4x$，
又∵$x ≠ 0$，
∴两边同时除以$3x$，得$\dfrac{y}{x}=\dfrac{4}{3}$。
∵$4x - 3y = 0$，
∴$3y = 4x$，
又∵$x ≠ 0$，
∴两边同时除以$3x$，得$\dfrac{y}{x}=\dfrac{4}{3}$。
(2) 已知$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=3$,则$\dfrac{a+b}{b}=$,$\dfrac{c+d}{c}=$.
答案
解：
$\because \dfrac{a}{b}=3$，
$\therefore \dfrac{a+b}{b}=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{b}=3+1=4$；
$\because \dfrac{c}{d}=3$，$\therefore \dfrac{d}{c}=\dfrac{1}{3}$，
$\therefore \dfrac{c+d}{c}=\dfrac{c}{c}+\dfrac{d}{c}=1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}$。
最终结论：$\dfrac{a+b}{b}=4$，$\dfrac{c+d}{c}=\dfrac{4}{3}$
$\because \dfrac{a}{b}=3$，
$\therefore \dfrac{a+b}{b}=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{b}=3+1=4$；
$\because \dfrac{c}{d}=3$，$\therefore \dfrac{d}{c}=\dfrac{1}{3}$，
$\therefore \dfrac{c+d}{c}=\dfrac{c}{c}+\dfrac{d}{c}=1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}$。
最终结论：$\dfrac{a+b}{b}=4$，$\dfrac{c+d}{c}=\dfrac{4}{3}$
(3) 已知点$P$是线段$AB$的黄金分割点,$AP ＞ PB$,$AB=1$,则$BP=$.
答案
解：
∵点$P$是线段$AB$的黄金分割点，且$AP＞PB$，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
又∵$AB=1$，
∴$AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
则$BP=AB-AP=1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{2-(\sqrt{5}-1)}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
最终结论：$BP=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
∵点$P$是线段$AB$的黄金分割点，且$AP＞PB$，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
又∵$AB=1$，
∴$AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
则$BP=AB-AP=1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{2-(\sqrt{5}-1)}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
最终结论：$BP=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
(4) 如图,为测量电视塔$AB$的高度,小亮在自己与电视塔之间竖立一根$5\ \mathrm{m}$高的标杆.当他距标杆$2\ \mathrm{m}$时,塔尖$A$、标杆的顶端$E$与小亮的眼睛$F$恰好在一条直线上.已知小亮的眼睛距地面的高度是$1.6\ \mathrm{m}$,标杆与电视塔之间的距离是$108\ \mathrm{m}$,则电视塔的高度是$\mathrm{m}$.
答案
解：
过点F作FG⊥AB于点G，交EC于点H。
由题意可知：
FH = DC = 2m，FG = DB = DC + CB = 2 + 108 = 110m，
EH = EC - HC = 5 - 1.6 = 3.4m，GB = FD = 1.6m。
∵ EC//AB，
∴ △FEH∽△FAG，
∴ $\frac{EH}{AG} = \frac{FH}{FG}$，
即 $\frac{3.4}{AG} = \frac{2}{110}$，
解得 AG = 187m，
∴ AB = AG + GB = 187 + 1.6 = 188.6m。
答：电视塔的高度是188.6m。
过点F作FG⊥AB于点G，交EC于点H。
由题意可知：
FH = DC = 2m，FG = DB = DC + CB = 2 + 108 = 110m，
EH = EC - HC = 5 - 1.6 = 3.4m，GB = FD = 1.6m。
∵ EC//AB，
∴ △FEH∽△FAG，
∴ $\frac{EH}{AG} = \frac{FH}{FG}$，
即 $\frac{3.4}{AG} = \frac{2}{110}$，
解得 AG = 187m，
∴ AB = AG + GB = 187 + 1.6 = 188.6m。
答：电视塔的高度是188.6m。
(5) 学校平面图的比例尺是$1:500$,平面图上校园面积是$1\ 300\ \mathrm{cm}^{2}$,学校的实际面积是$\mathrm{m}^{2}$.
答案
解：
因为比例尺是$1:500$，所以面积的比例尺为$(1:500)^2 = 1:250000$。
设学校实际面积为$x\ \mathrm{cm}^2$，则
$\frac{1300}{x} = \frac{1}{250000}$
解得$x = 1300×250000 = 325000000\ \mathrm{cm}^2$
因为$1\ \mathrm{m}^2 = 10000\ \mathrm{cm}^2$，所以$325000000\ \mathrm{cm}^2 = 325000000÷10000 = 32500\ \mathrm{m}^2$
答：学校的实际面积是$32500\ \mathrm{m}^2$。
因为比例尺是$1:500$，所以面积的比例尺为$(1:500)^2 = 1:250000$。
设学校实际面积为$x\ \mathrm{cm}^2$，则
$\frac{1300}{x} = \frac{1}{250000}$
解得$x = 1300×250000 = 325000000\ \mathrm{cm}^2$
因为$1\ \mathrm{m}^2 = 10000\ \mathrm{cm}^2$，所以$325000000\ \mathrm{cm}^2 = 325000000÷10000 = 32500\ \mathrm{m}^2$
答：学校的实际面积是$32500\ \mathrm{m}^2$。
