1. 下列等式一定成立的是().

A.$2m + 3n = 5mn$
B.$(m^3)^2 = m^6$
C.$m^2 · m^3 = m^6$
D.$(m - n)^2 = m^2 - n^2$

1. B

2. 若使分式 $\dfrac{x}{x + 3}$ 有意义，则 x 的取值范围是().
A. $x ≠ 3$
B. $x ≠ -3$
C. $x ≠ 0$
D. $x ＞ -3$

B

3. 若 $-x^3y^a$ 与 $x^by$ 是同类项，则 $a + b$ 的值为().
A.2
B.3
C.4
D.5

C

4. 下列计算正确的是().
A.$a · a^2 = a^2$
B.$2a · a = 2a^2$
C.$(2a^2)^2 = 2a^4$
D.$6a^8 ÷ 3a^2 = 2a^4$

B

5. 下列计算正确的是().
A.$(-x^3)^2 = x^5$
B.$(-3x^2)^2 = 6x^4$
C.$(-x)^{-2} = \dfrac{1}{x^2}$
D.$x^8 ÷ x^4 = x^2$

C

6. 如果分式 $\dfrac{x^2 - 4}{x + 2}$ 的值为 0，那么 x 的值为 .

6. 2

7. 计算：
（1）$(2a - b)^2 - (8a^3b - 4a^2b^2) ÷ 2ab$；
（2）$(x + 1)(x - 1) - (x - 2)^2$.

7. (1) $ b^{2} - 2ab $. (2) $ 4x - 5 $.

8. 计算：
（1）$\dfrac{2a}{a + 1} ÷ (a - 1) + \dfrac{a^2 - 1}{a^2 + 2a + 1}$；
（2）$(\dfrac{2x - 1}{x + 1} - x + 1) ÷ \dfrac{x - 2}{x^2 + 2x + 1}$.

1. （1）
解：
首先，根据除法运算法则$a÷ b=a×\frac{1}{b}$，将$\frac{2a}{a + 1}÷(a - 1)$变形为$\frac{2a}{a + 1}×\frac{1}{a - 1}=\frac{2a}{(a + 1)(a - 1)}$。
然后，对$\frac{a^{2}-1}{a^{2}+2a + 1}$进行化简，根据平方差公式$m^{2}-n^{2}=(m + n)(m - n)$，这里$m=a$，$n = 1$，则$a^{2}-1=(a + 1)(a - 1)$；根据完全平方公式$(m + n)^{2}=m^{2}+2mn + n^{2}$，这里$m=a$，$n = 1$，则$a^{2}+2a + 1=(a + 1)^{2}$，所以$\frac{a^{2}-1}{a^{2}+2a + 1}=\frac{(a + 1)(a - 1)}{(a + 1)^{2}}=\frac{a - 1}{a + 1}$。
最后，计算$\frac{2a}{(a + 1)(a - 1)}+\frac{a - 1}{a + 1}$，通分，分母为$(a + 1)(a - 1)$，则$\frac{2a}{(a + 1)(a - 1)}+\frac{(a - 1)(a - 1)}{(a + 1)(a - 1)}$。
展开$(a - 1)(a - 1)=a^{2}-2a + 1$，所以$\frac{2a+(a^{2}-2a + 1)}{(a + 1)(a - 1)}=\frac{a^{2}+1}{a^{2}-1}$。
2. （2）
解：
先化简括号内的式子$\frac{2x-1}{x + 1}-x + 1$，通分，$\frac{2x-1-(x - 1)(x + 1)}{x + 1}$。
根据平方差公式$(x - 1)(x + 1)=x^{2}-1$，则$\frac{2x-1-(x^{2}-1)}{x + 1}=\frac{2x-1-x^{2}+1}{x + 1}=\frac{2x-x^{2}}{x + 1}=\frac{x(2 - x)}{x + 1}$。
再将除法变为乘法，$(\frac{2x-1}{x + 1}-x + 1)÷\frac{x - 2}{x^{2}+2x + 1}=\frac{x(2 - x)}{x + 1}×\frac{(x + 1)^{2}}{x - 2}$。
因为$2 - x=-(x - 2)$，所以$\frac{x(2 - x)}{x + 1}×\frac{(x + 1)^{2}}{x - 2}=\frac{-x(x - 2)}{x + 1}×\frac{(x + 1)^{2}}{x - 2}$。
约分可得$-x(x + 1)=-x^{2}-x$。
综上，（1）的结果为$\frac{a^{2}+1}{a^{2}-1}$；（2）的结果为$-x^{2}-x$。

9. 先化简，再求值：$\dfrac{x^2 + x}{x^2 - 2x + 1} ÷ (\dfrac{2}{x - 1} - \dfrac{1}{x})$，请你从 $-1 ≤ x ＜ 3$ 的范围内选取一个你喜欢的整数作为 x 的值.

解：
$\begin{aligned}&\dfrac{x^2 + x}{x^2 - 2x + 1} ÷ (\dfrac{2}{x - 1} - \dfrac{1}{x})\\=&\dfrac{x(x + 1)}{(x - 1)^2} ÷ (\dfrac{2x}{x(x - 1)} - \dfrac{x - 1}{x(x - 1)})\\=&\dfrac{x(x + 1)}{(x - 1)^2} ÷ \dfrac{2x - (x - 1)}{x(x - 1)}\\=&\dfrac{x(x + 1)}{(x - 1)^2} ÷ \dfrac{x + 1}{x(x - 1)}\\=&\dfrac{x(x + 1)}{(x - 1)^2} × \dfrac{x(x - 1)}{x + 1}\\=&\dfrac{x^2}{x - 1}\end{aligned}$
因为分母不能为$0$，即$x≠0$，$x≠1$，$x≠ - 1$，在$-1≤ x＜3$范围内取$x = 2$。
当$x = 2$时，$\dfrac{x^2}{x - 1}=\dfrac{2^2}{2 - 1}=4$。