登录
3. 估算$\sqrt{24} + 3$的值(
A.在 5 和 6 之间
B.在 6 和 7 之间
C.在 7 和 8 之间
D.在 8 和 9 之间
C
)。A.在 5 和 6 之间
B.在 6 和 7 之间
C.在 7 和 8 之间
D.在 8 和 9 之间
答案
3. C
解析
【解析】
因为$16 ＜ 24 ＜ 25$，所以$\sqrt{16} ＜ \sqrt{24} ＜ \sqrt{25}$，即$4 ＜ \sqrt{24} ＜ 5$。
不等式两边同时加3可得：$4 + 3 ＜ \sqrt{24} + 3 ＜ 5 + 3$，即$7 ＜ \sqrt{24} + 3 ＜ 8$，所以$\sqrt{24} + 3$的值在7和8之间。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算、二次根式估值
【点评】
本题主要考查无理数的估算能力，通过找出与24相邻的两个完全平方数确定$\sqrt{24}$的取值范围，进而求出代数式的范围，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
因为$16 ＜ 24 ＜ 25$，所以$\sqrt{16} ＜ \sqrt{24} ＜ \sqrt{25}$，即$4 ＜ \sqrt{24} ＜ 5$。
不等式两边同时加3可得：$4 + 3 ＜ \sqrt{24} + 3 ＜ 5 + 3$，即$7 ＜ \sqrt{24} + 3 ＜ 8$，所以$\sqrt{24} + 3$的值在7和8之间。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算、二次根式估值
【点评】
本题主要考查无理数的估算能力，通过找出与24相邻的两个完全平方数确定$\sqrt{24}$的取值范围，进而求出代数式的范围，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
4. 下列计算错误的是(
A.$\sqrt{14} × \sqrt{7} = 7\sqrt{2}$
B.$\sqrt{60} ÷ \sqrt{5} = 2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{9a} + \sqrt{25a} = 8\sqrt{a}$
D.$3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 3$
D
)。A.$\sqrt{14} × \sqrt{7} = 7\sqrt{2}$
B.$\sqrt{60} ÷ \sqrt{5} = 2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{9a} + \sqrt{25a} = 8\sqrt{a}$
D.$3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 3$
答案
4. D
解析
【解析】
分别计算各选项：
A. $\sqrt{14} × \sqrt{7} = \sqrt{14×7} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$，计算正确；
B. $\sqrt{60} ÷ \sqrt{5} = \sqrt{60÷5} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$，计算正确；
C. $\sqrt{9a} + \sqrt{25a} = 3\sqrt{a} + 5\sqrt{a} = 8\sqrt{a}$，计算正确；
D. $3\sqrt{2} - \sqrt{2} = (3-1)\sqrt{2} = 2\sqrt{2} ≠ 3$，计算错误。
【答案】
D
【知识点】
二次根式四则运算
【点评】
本题考查二次根式的加减乘除运算，需熟练掌握二次根式的运算法则：同类二次根式才可合并，乘除运算可先将被开方数进行相应运算后再化简。
【难度系数】
0.8
分别计算各选项：
A. $\sqrt{14} × \sqrt{7} = \sqrt{14×7} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$，计算正确；
B. $\sqrt{60} ÷ \sqrt{5} = \sqrt{60÷5} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$，计算正确；
C. $\sqrt{9a} + \sqrt{25a} = 3\sqrt{a} + 5\sqrt{a} = 8\sqrt{a}$，计算正确；
D. $3\sqrt{2} - \sqrt{2} = (3-1)\sqrt{2} = 2\sqrt{2} ≠ 3$，计算错误。
【答案】
D
【知识点】
二次根式四则运算
【点评】
本题考查二次根式的加减乘除运算，需熟练掌握二次根式的运算法则：同类二次根式才可合并，乘除运算可先将被开方数进行相应运算后再化简。
【难度系数】
0.8
5. 计算：
(1) $6\sqrt{2} - 5\sqrt{2} - \sqrt{5} + 3\sqrt{5} =$
(2) $\sqrt{2} + \sqrt{8} - \sqrt{18} =$
(1) $6\sqrt{2} - 5\sqrt{2} - \sqrt{5} + 3\sqrt{5} =$
$\sqrt{2} + 2\sqrt{5}$
。(2) $\sqrt{2} + \sqrt{8} - \sqrt{18} =$
$0$
。答案
5. (1) $\sqrt{2} + 2\sqrt{5}$ (2) $0$
解析
【解析】
(1) 合并同类二次根式：
$6\sqrt{2} - 5\sqrt{2} - \sqrt{5} + 3\sqrt{5}=(6-5)\sqrt{2}+(-1+3)\sqrt{5}=\sqrt{2}+2\sqrt{5}$
(2) 先化简二次根式，再合并同类二次根式：
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，
则$\sqrt{2}+\sqrt{8}-\sqrt{18}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}-3\sqrt{2}=(1+2-3)\sqrt{2}=0$
【答案】
(1) $\sqrt{2} + 2\sqrt{5}$；(2) $0$
【知识点】
同类二次根式合并、二次根式化简
【点评】
本题考查二次根式的加减运算，解题关键是先将非最简二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，属于基础运算题，需熟练掌握相关运算法则。
【难度系数】
0.8
(1) 合并同类二次根式：
$6\sqrt{2} - 5\sqrt{2} - \sqrt{5} + 3\sqrt{5}=(6-5)\sqrt{2}+(-1+3)\sqrt{5}=\sqrt{2}+2\sqrt{5}$
(2) 先化简二次根式，再合并同类二次根式：
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，
则$\sqrt{2}+\sqrt{8}-\sqrt{18}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}-3\sqrt{2}=(1+2-3)\sqrt{2}=0$
【答案】
(1) $\sqrt{2} + 2\sqrt{5}$；(2) $0$
【知识点】
同类二次根式合并、二次根式化简
【点评】
本题考查二次根式的加减运算，解题关键是先将非最简二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，属于基础运算题，需熟练掌握相关运算法则。
【难度系数】
0.8
6. 方程$(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)x = 4\sqrt{3} - 2(x + 2)$的解为
$x = \sqrt{3} - 1$
。答案
6. $x = \sqrt{3} - 1$
解析
【解析】
1. 利用平方差公式化简方程左边：
$(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)=(\sqrt{3})^2 - 1^2=3-1=2$，
原方程化为：$2x = 4\sqrt{3} - 2(x + 2)$
2. 展开方程右边的括号：
$2x = 4\sqrt{3} - 2x - 4$
3. 移项并合并同类项：
$2x + 2x = 4\sqrt{3} - 4$
$4x = 4(\sqrt{3} - 1)$
4. 系数化为1：
$x = \sqrt{3} - 1$
【答案】
$x = \sqrt{3} - 1$
【知识点】
平方差公式，一元一次方程解法
【点评】
本题结合平方差公式与一元一次方程的求解，需先运用平方差公式简化方程左边，再通过常规的一元一次方程求解步骤得出结果，计算时要注意根式运算的准确性。
【难度系数】
0.6
1. 利用平方差公式化简方程左边：
$(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)=(\sqrt{3})^2 - 1^2=3-1=2$，
原方程化为：$2x = 4\sqrt{3} - 2(x + 2)$
2. 展开方程右边的括号：
$2x = 4\sqrt{3} - 2x - 4$
3. 移项并合并同类项：
$2x + 2x = 4\sqrt{3} - 4$
$4x = 4(\sqrt{3} - 1)$
4. 系数化为1：
$x = \sqrt{3} - 1$
【答案】
$x = \sqrt{3} - 1$
【知识点】
平方差公式，一元一次方程解法
【点评】
本题结合平方差公式与一元一次方程的求解，需先运用平方差公式简化方程左边，再通过常规的一元一次方程求解步骤得出结果，计算时要注意根式运算的准确性。
【难度系数】
0.6
7. 计算：
(1) $\sqrt{6} × 2\sqrt{3} - \sqrt{24} ÷ \sqrt{3}$。
(2) $\sqrt{27} - \sqrt{12} - \sqrt{\frac{4}{3}}$。
(3) $(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})^2$。
(4) $(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})$。
(5) $(3 - \sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})$。
(6) $\frac{\sqrt{6}}{2 - \sqrt{3}}$。
(1) $\sqrt{6} × 2\sqrt{3} - \sqrt{24} ÷ \sqrt{3}$。
(2) $\sqrt{27} - \sqrt{12} - \sqrt{\frac{4}{3}}$。
(3) $(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})^2$。
(4) $(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})$。
(5) $(3 - \sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})$。
(6) $\frac{\sqrt{6}}{2 - \sqrt{3}}$。
答案
(1) 先计算二次根式的乘除，再合并同类二次根式：
$\begin{aligned}&\sqrt{6} × 2\sqrt{3} - \sqrt{24} ÷ \sqrt{3}\\=&2\sqrt{18} - \sqrt{8}\\=&6\sqrt{2} - 2\sqrt{2}\\=&4\sqrt{2}\end{aligned}$
(2) 先化简各二次根式，再合并同类二次根式：
$\begin{aligned}&\sqrt{27} - \sqrt{12} - \sqrt{\frac{4}{3}}\\=&3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - \frac{2\sqrt{3}}{3}\\=&\sqrt{3} - \frac{2\sqrt{3}}{3}\\=&\frac{\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
(3) 利用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开计算：
$\begin{aligned}&(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})^2\\=&(3\sqrt{2})^2 - 2×3\sqrt{2}×2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2\\=&18 - 12\sqrt{6} + 12\\=&30 - 12\sqrt{6}\end{aligned}$
(4) 利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$计算：
$\begin{aligned}&(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})\\=&(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2\\=&18 - 12\\=&6\end{aligned}$
(5) 利用多项式乘多项式法则展开，再合并同类项：
$\begin{aligned}&(3 - \sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})\\=&3×3 + 3×2\sqrt{2} - \sqrt{2}×3 - \sqrt{2}×2\sqrt{2}\\=&9 + 6\sqrt{2} - 3\sqrt{2} - 4\\=&5 + 3\sqrt{2}\end{aligned}$
(6) 对分母进行有理化，分子分母同乘$2+\sqrt{3}$：
$\begin{aligned}&\frac{\sqrt{6}}{2 - \sqrt{3}}\\=&\frac{\sqrt{6}(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}\\=&\frac{2\sqrt{6} + \sqrt{18}}{4 - 3}\\=&2\sqrt{6} + 3\sqrt{2}\end{aligned}$
8. 已知$x = \sqrt{3}$，求下列代数式的值：$(x - 2)^2 - (x - 2)(x + 2) + 2\sqrt{3}$。
答案
解：
$\begin{aligned}&(x - 2)^2 - (x - 2)(x + 2) + 2\sqrt{3}\\=&x^2 - 4x + 4 - (x^2 - 4) + 2\sqrt{3}\\=&x^2 - 4x + 4 - x^2 + 4 + 2\sqrt{3}\\=&-4x + 8 + 2\sqrt{3}\end{aligned}$
当$x = \sqrt{3}$时，
$\begin{aligned}&-4×\sqrt{3}+8 + 2\sqrt{3}\\=&8 - 2\sqrt{3}\end{aligned}$
所以，原式的值为$8 - 2\sqrt{3}$。
$\begin{aligned}&(x - 2)^2 - (x - 2)(x + 2) + 2\sqrt{3}\\=&x^2 - 4x + 4 - (x^2 - 4) + 2\sqrt{3}\\=&x^2 - 4x + 4 - x^2 + 4 + 2\sqrt{3}\\=&-4x + 8 + 2\sqrt{3}\end{aligned}$
当$x = \sqrt{3}$时，
$\begin{aligned}&-4×\sqrt{3}+8 + 2\sqrt{3}\\=&8 - 2\sqrt{3}\end{aligned}$
所以，原式的值为$8 - 2\sqrt{3}$。
1. 计算：
(1) $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$。
(2) $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} - \sqrt{8}$。
(3) $(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)^2$。
(4) $\frac{7 + 4\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$。
(5) $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + ··· + \frac{1}{\sqrt{999} + \sqrt{1000}}$。
(1) $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$。
(2) $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} - \sqrt{8}$。
(3) $(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)^2$。
(4) $\frac{7 + 4\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$。
(5) $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + ··· + \frac{1}{\sqrt{999} + \sqrt{1000}}$。
答案
1. (1)原式$=[(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})][(\sqrt{3}+\sqrt{2})-(\sqrt{3}-\sqrt{2})]$
$=(2\sqrt{3})(2\sqrt{2})=4\sqrt{6}$；
(2)原式$=\sqrt{2}+1-2\sqrt{2}=1-\sqrt{2}$
(3) 原式$=[(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)](\sqrt{2}+1)=(2-1)(\sqrt{2}+1)=\sqrt{2}+1$
(4) 原式$=\frac{(7+4\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{14-7\sqrt{3}+8\sqrt{3}-12}{4-3}=2+\sqrt{3}$
(5)原式$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{1000}-\sqrt{999})$
$=(2\sqrt{3})(2\sqrt{2})=4\sqrt{6}$；
(2)原式$=\sqrt{2}+1-2\sqrt{2}=1-\sqrt{2}$
(3) 原式$=[(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)](\sqrt{2}+1)=(2-1)(\sqrt{2}+1)=\sqrt{2}+1$
(4) 原式$=\frac{(7+4\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{14-7\sqrt{3}+8\sqrt{3}-12}{4-3}=2+\sqrt{3}$
(5)原式$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{1000}-\sqrt{999})$
$=\sqrt{1000}-1=10\sqrt{10}-1$
