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【变式训练 1】下列不等式组中是一元一次不等式组的是
①$\begin{cases}x + 3 ＜ 4x, \\y ＜ 2;\end{cases}$ ②$\begin{cases}x^{2} + 5 ＞ 3x, \\x ＜ 4;\end{cases}$
③$\begin{cases}x + 2 ＞ 3x, \\x ＜ 1;\end{cases}$ ④$\begin{cases}x + 2 ＞ 0, \\x - 5 ＜ 1, \\x - 4 ＞ 3x - 1;\end{cases}$
⑤$\begin{cases}x + 3 ≤ 6x, \frac{1}{x} ＞ 2。\end{cases}$
③④
(填序号)。①$\begin{cases}x + 3 ＜ 4x, \\y ＜ 2;\end{cases}$ ②$\begin{cases}x^{2} + 5 ＞ 3x, \\x ＜ 4;\end{cases}$
③$\begin{cases}x + 2 ＞ 3x, \\x ＜ 1;\end{cases}$ ④$\begin{cases}x + 2 ＞ 0, \\x - 5 ＜ 1, \\x - 4 ＞ 3x - 1;\end{cases}$
⑤$\begin{cases}x + 3 ≤ 6x, \frac{1}{x} ＞ 2。\end{cases}$
答案
变式训练 1 ③④
例 2 解不等式组$\begin{cases}2x ≤ 10, \\3(x - 1) ＞ 0,\end{cases}$并把解集表示在数轴上。
答案
【点拨】先分别求出每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集，最后把解集在数轴上表示出来即可。
【解】由$2x ≤ 10$，得$x ≤ 5$。
由$3(x - 1) ＞ 0$，得$x ＞ 1$。
所以不等式组的解集为$1 ＜ x ≤ 5$，在数轴上表示如图所示。
【变式训练 2】将不等式组$\begin{cases}x - 1 ＞ 0, \\2x ≤ 4\end{cases}$的解集表示在数轴上，正确的是( )
答案
变式训练 2 A
解析
解不等式组：
1. 解不等式 $x - 1 ＞ 0$，得 $x ＞ 1$。
2. 解不等式 $2x ≤ 4$，得 $x ≤ 2$。
所以不等式组的解集为 $1 ＜ x ≤ 2$。
在数轴上表示为：1处为空心圆圈向右画线，2处为实心圆点向左画线，两线重合部分为解集。
答案：A
1. 解不等式 $x - 1 ＞ 0$，得 $x ＞ 1$。
2. 解不等式 $2x ≤ 4$，得 $x ≤ 2$。
所以不等式组的解集为 $1 ＜ x ≤ 2$。
在数轴上表示为：1处为空心圆圈向右画线，2处为实心圆点向左画线，两线重合部分为解集。
答案：A
1. 下列不等式组中是一元一次不等式组的是(
A.$\begin{cases}x + 3 ＜ 2, \frac{1}{x} + 2 ＞ 5\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + y ＞ 4, \\x - y ＜ 6\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + 4 ＞ -3, \\6 ＜ 12\end{cases}$
D.$\begin{cases}x - 6 ＞ 3, \\x + 1 ＜ 8\end{cases}$
D
)A.$\begin{cases}x + 3 ＜ 2, \frac{1}{x} + 2 ＞ 5\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + y ＞ 4, \\x - y ＜ 6\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + 4 ＞ -3, \\6 ＜ 12\end{cases}$
D.$\begin{cases}x - 6 ＞ 3, \\x + 1 ＜ 8\end{cases}$
答案
1. D
2. 不等式组$\begin{cases}12 - 2x ＜ 20, \\3x - 6 ≤ 0\end{cases}$的解集是( )
A.$-4 ＜ x ≤ 6$
B.$x ≤ -4$或$x ＞ 2$
C.$-4 ＜ x ≤ 2$
D.$2 ≤ x ＜ 4$
A.$-4 ＜ x ≤ 6$
B.$x ≤ -4$或$x ＞ 2$
C.$-4 ＜ x ≤ 2$
D.$2 ≤ x ＜ 4$
答案
2. C
解析
解不等式组：
1. 解不等式 $12 - 2x ＜ 20$：
$-2x ＜ 20 - 12$
$-2x ＜ 8$
$x ＞ -4$
2. 解不等式 $3x - 6 ≤ 0$：
$3x ≤ 6$
$x ≤ 2$
综上，不等式组的解集为 $-4 ＜ x ≤ 2$。
C
1. 解不等式 $12 - 2x ＜ 20$：
$-2x ＜ 20 - 12$
$-2x ＜ 8$
$x ＞ -4$
2. 解不等式 $3x - 6 ≤ 0$：
$3x ≤ 6$
$x ≤ 2$
综上，不等式组的解集为 $-4 ＜ x ≤ 2$。
C
3. 若关于$x$的不等式组$\begin{cases}2x - 4 ＞ 0, \\a - x ＞ -1\end{cases}$的解集是$2 ＜ x ＜ 4$，则$a$的值为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
3. A
解析
解不等式组：
1. 解$2x - 4 ＞ 0$，得$x ＞ 2$；
2. 解$a - x ＞ -1$，得$x ＜ a + 1$。
因为不等式组的解集是$2 ＜ x ＜ 4$，所以$a + 1 = 4$，解得$a = 3$。
A
1. 解$2x - 4 ＞ 0$，得$x ＞ 2$；
2. 解$a - x ＞ -1$，得$x ＜ a + 1$。
因为不等式组的解集是$2 ＜ x ＜ 4$，所以$a + 1 = 4$，解得$a = 3$。
A
4. 已知点$M(3a - 9,1 - a)$在第三象限，则$a$的取值范围是
1 ＜ a ＜ 3
。答案
4. 1 ＜ a ＜ 3
解析
解：因为点$M(3a - 9,1 - a)$在第三象限，所以$\begin{cases}3a - 9 ＜ 0 \\ 1 - a ＜ 0\end{cases}$
解$3a - 9 ＜ 0$，得$3a ＜ 9$，$a ＜ 3$；
解$1 - a ＜ 0$，得$-a ＜ -1$，$a ＞ 1$；
所以$a$的取值范围是$1 ＜ a ＜ 3$。
解$3a - 9 ＜ 0$，得$3a ＜ 9$，$a ＜ 3$；
解$1 - a ＜ 0$，得$-a ＜ -1$，$a ＞ 1$；
所以$a$的取值范围是$1 ＜ a ＜ 3$。
5. 不等式组$\begin{cases}x - 3 ＜ 0, \\x + 1 ≥ 0\end{cases}$的非负整数解是 ______ 。
答案
5. 0,1,2
解析
解不等式组：
解不等式$x - 3 ＜ 0$，得$x ＜ 3$；
解不等式$x + 1 ≥ 0$，得$x ≥ -1$；
所以不等式组的解集为$-1 ≤ x ＜ 3$，其非负整数解是$0,1,2$。
解不等式$x - 3 ＜ 0$，得$x ＜ 3$；
解不等式$x + 1 ≥ 0$，得$x ≥ -1$；
所以不等式组的解集为$-1 ≤ x ＜ 3$，其非负整数解是$0,1,2$。
6. 若关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x + y = 2k - 1, \\x - y = k + 2\end{cases}$的解满足$x ＜ 0$，$y ＜ 0$，则$k$的取值范围为 ______ 。
答案
6. k ＜ -$\frac{1}{3}$
解析
解：解方程组$\begin{cases}x + y = 2k - 1 \\x - y = k + 2\end{cases}$，
两式相加得：$2x = 3k + 1$，解得$x = \frac{3k + 1}{2}$，
两式相减得：$2y = k - 3$，解得$y = \frac{k - 3}{2}$，
因为$x ＜ 0$，$y ＜ 0$，所以$\begin{cases}\frac{3k + 1}{2} ＜ 0 \\ \frac{k - 3}{2} ＜ 0\end{cases}$，
解$\frac{3k + 1}{2} ＜ 0$得$3k + 1 ＜ 0$，$3k ＜ -1$，$k ＜ -\frac{1}{3}$，
解$\frac{k - 3}{2} ＜ 0$得$k - 3 ＜ 0$，$k ＜ 3$，
综上，$k$的取值范围为$k ＜ -\frac{1}{3}$。
两式相加得：$2x = 3k + 1$，解得$x = \frac{3k + 1}{2}$，
两式相减得：$2y = k - 3$，解得$y = \frac{k - 3}{2}$，
因为$x ＜ 0$，$y ＜ 0$，所以$\begin{cases}\frac{3k + 1}{2} ＜ 0 \\ \frac{k - 3}{2} ＜ 0\end{cases}$，
解$\frac{3k + 1}{2} ＜ 0$得$3k + 1 ＜ 0$，$3k ＜ -1$，$k ＜ -\frac{1}{3}$，
解$\frac{k - 3}{2} ＜ 0$得$k - 3 ＜ 0$，$k ＜ 3$，
综上，$k$的取值范围为$k ＜ -\frac{1}{3}$。
7. 下面是解不等式组$\begin{cases}2x - 1 ≤ x + 1,① \\3x + 4 ≥ 2x + 1②\end{cases}$的过程，请结合题意完成填空。
(1)解不等式①，得
(2)解不等式②，得
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为
(1)解不等式①，得
x ≤ 2
；(2)解不等式②，得
x ≥ -3
；(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为
-3 ≤ x ≤ 2
。答案
7. (1) x ≤ 2 (2) x ≥ -3
(3)
(4) -3 ≤ x ≤ 2
