2. 如图，已知：$AB ＞ AC$，延长$BC$到点$E$，使得$CE = CA$，延长$CB$到点$D$，使得$BD = AB$. 求证：$AD ＞ AE$.

2.
∵ AB＞AC，
∴ ∠ACB＞∠ABC（在三角形中，大边对大角）.
∵ BD=AB，
∴ ∠D=∠DAB（等边对等角）.
∴ ∠ABC=∠D+∠DAB=2∠D（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）.
同理，∠ACB=2∠E.
∴ ∠E＞∠D.
∴ AD＞AE（在三角形中，大角对大边）.

3. 如图，已知：在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$CD ⊥ AB$，垂足为$D$，$∠ ABC$的平分线交边$AC$于点$E$，交$CD$于点$F$. 若$G$是$EF$的中点，求证：$CG ⊥ EF$.

3.
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDB=90°.
∵ ∠FBD+∠FDB+∠BFD=180°（三角形的内角和等于180°），
∴ ∠FBD+∠BFD=90°.
同理，∠CBE+∠CEB=90°.
∵ BE平分∠CBA，
∴ ∠FBD=∠CBE.
∴ ∠BFD=∠CEB.
又
∵ ∠BFD=∠CFE（对顶角相等），
∴ ∠CEB=∠CFE.
∴ CE=CF（等角对等边）.
又
∵ G是EF中点，
∴ CG⊥EF（等腰三角形三线合一）.

4. 如图，在$△ ABC$中，点$G$、$F$在边$AC$上，点$D$在边$AB$上. 若$∠ A = ∠ EGF$，$F$为$BE$、$CG$的中点，且$DB = 5$，$DE = 8$，求$AD$的长.

4.
∵ F为BE、CG的中点，
∴ EF=BF，GF=CF.
在△GFE和△CFB中，
∵ $\begin{cases} GF=CF, \\ ∠ GFE=∠ CFB（对顶角相等）, \\ EF=BF, \end{cases}$
∴ △GFE≌△CFB（SAS）.
∴ GE=BC，∠EGF=∠C（全等三角形的对应边相等，对应角相等）.
∵ ∠A=∠EGF，∠AGD=∠EGF（对顶角相等），
∴ ∠A=∠C，∠A=∠AGD.
∴ BA=BC，DA=DG（等角对等边）.
又
∵ BA=BD+DA，DE=DG+GE，
∴ DE=AD+BC=AD+BA=AD+BD+AD=2AD+DB.
∵ DB=5，DE=8，
∴ $AD=\dfrac{1}{2}× (8 - 5)=\dfrac{3}{2}$.