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4. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ BC = 5 \mathrm{ cm} $，$ BP $、$ CP $ 分别是 $ ∠ ABC $、$ ∠ ACB $ 的平分线，且 $ PD // AB $，$ PE // AC $，点 $ D $、$ E $ 在边 $ BC $ 上. 求 $ △ PDE $ 的周长.
答案
4.
∵ BP是∠ABC的平分线，
∴ ∠PBD = ∠PBA.
∵ PD // AB，
∴ ∠DPB = ∠PBA (两直线平行，内错角相等).
∴ ∠PBD = ∠DPB.
∴ PD = BD (等角对等边).
同理，PE = CE.
∴ △PDE的周长 = PD + DE + PE = BD + DE + CE = BC = 5(cm).
∵ BP是∠ABC的平分线，
∴ ∠PBD = ∠PBA.
∵ PD // AB，
∴ ∠DPB = ∠PBA (两直线平行，内错角相等).
∴ ∠PBD = ∠DPB.
∴ PD = BD (等角对等边).
同理，PE = CE.
∴ △PDE的周长 = PD + DE + PE = BD + DE + CE = BC = 5(cm).
5. 过如图(1)所示的三角形的一个顶点画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形.
答案
5. 两种情况，分别如图(1)(2)所示.
1. 如图，已知：$AB = AC$，$∠ B = ∠ C$. 求证：$BD = CD$.
答案
1. 如图，连接BC.
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB（等边对等角）.
∵ ∠ABD=∠ACD，
∴ ∠ABD−∠ABC=∠ACD−∠ACB.
∴ ∠DBC=∠DCB.
∴ BD=CD（等角对等边）.
